НДС железобетонного сечения

Задача НДС ищет такую плоскость деформаций, при которой интегральные усилия сечения совпадают с заданными N, Mx, My.

Это обратная задача. Прямая — «дана плоскость деформаций, найти усилия» — решается одним интегрированием без итераций (см. фибровый метод и контурное интегрирование). Здесь известен результат интегрирования, а искать нужно его аргумент, поэтому без итераций не обойтись.

Идентификаторы задач: strain_state для одного набора усилий и strain_state_batch для всего набора.

Формульная проверка таврового сечения

Для чистого изгиба таврового сечения доступна отдельная задача sp63_normal. Она предназначена для прозрачной проверки по упрощённым формулам СП 63: сначала определяется эффективная ширина полки, затем выбирается случай расположения границы сжатой зоны и рассчитываются x и M_u. Результат содержит ветвь формулы, промежуточные величины A_ov и b_f,eff, поэтому его можно сопоставить с ручной трассировкой. Справочно проверяются минимальный процент армирования по п. 10.3.6, защитный слой и расстановка стержней — см. конструктивные требования.

Задача ограничена чистым изгибом (N = 0, один изгибающий момент) и не заменяет деформационную модель strain_state. Два самостоятельных нормативных примера с исходными сечениями, эпюрами и реальными контрольными числами приведены на страницах пример 9 СП 63.13330.2018 и пример IV.Б.8.1 пособия Краковского.

Формульная проверка круглого и кольцевого сечений

Та же задача sp63_normal с формой «Круглое сплошное» (circular) или «Кольцевое» (annular) проверяет прочность нормального сечения колонны по рекомендуемому приложению Д СП 63.13330.2018: п. Д.2 для круга и п. Д.1 для кольца.

Условия применимости

Условие	Круг	Кольцо	Если не выполнено
Одна бетонная область	да	да	`NotApplicable`
Отверстия	нет	ровно одно	`NotApplicable`
Контур — окружность: отклонение радиусов вершин и площади многоугольника от круга не более 1 %	внешний контур	внешний контур и отверстие	`NotApplicable`; шаблон «Круг» на 32 сегмента проходит, на 16 — нет
Отверстие концентрично: смещение центров не более 1 % `r₂`	—	да	`NotApplicable`
`r₁/r₂ ≥ 0,5`	—	да	`NotApplicable`, расчёт по общим правилам 8.1 (примечание 3 приложения Д)
Не менее 7 точечных стержней с одинаковыми сопротивлениями, без преднапряжения	да	да	`NotApplicable`
Равномерная раскладка: центр стержней совпадает с центром сечения (2 % `r_s`), площади равны (1 %), стержни на одной окружности (2 %), угловой шаг равномерен (5 %)	да	да	`NotApplicable`
Класс арматуры не выше А400	`R_s` характеристик `C` не более 350 МПа	не требуется	`NotApplicable`
Продольная сила	сжатие или `N = 0`	сжатие или `N = 0`	растяжение — `NotApplicable`

Класс арматуры в модели материала не хранится, поэтому условие п. Д.2 проверяется косвенно — по расчётному сопротивлению для первой группы предельных состояний (характеристики C), независимо от того, на какие характеристики выполняется сама задача. По табл. 6.14 (в ред. Изменения № 1) у А400 R_s = 340 МПа; порог 350 МПа учитывает и прежнюю редакцию таблицы.

При любой неприменимости результат сопровождается рекомендацией выполнить расчёт по деформационной модели.

Геометрия, усилия и прогиб

Площадь бетона A — фактическая площадь многоугольника (внешний контур минус отверстие). В формулы подставляются эквивалентные по площади радиусы r₂ = √(A_контура/π) и r₁ = √(A_отверстия/π); r_s — среднее расстояние центров стержней до центра их раскладки.
Сечение и раскладка осесимметричны, поэтому моменты сводятся к результирующему M₀ = √(Mx² + My²); выбор оси для этих форм не используется. Моменты отсчитываются от центра сечения, как и в деформационной модели.
При сжатии учитываются случайный эксцентриситет по п. 8.1.7 с h = D и, в режиме учёта гибкости элемента, коэффициент η по п. 8.1.15 (δe = e₀/D): M = η·|N|·e₀. Гибкость проверяется по п. 8.1.2 как l₀/i, где i — радиус инерции бетонного сечения брутто (для круга i = D/4); порог гибкости задаётся прямо в единицах l₀/i и по умолчанию равен 14.
При N = 0 расчёт выполняется по тем же формулам как расширение: приложение Д предназначено для внецентренно сжатых колонн, и результат содержит соответствующее сообщение.

Формулы

Кольцо (п. Д.1):

\[ \xi_{cir}=\frac{N+R_sA_{s,tot}}{R_bA+(R_{sc}+1{,}7R_s)A_{s,tot}}, \qquad K=R_bAr_m+R_{sc}A_{s,tot}r_s, \qquad r_m=\frac{r_1+r_2}{2}. \]

Ветвь	Условие	Предельный момент
а), (Д.2)	`0,15 < ξ_cir < 0,6`	`K·sin(πξ_cir)/π + R_s·A_s,tot·r_s·(1 − 1,7ξ_cir)(0,2 + 1,3ξ_cir)`
б), (Д.3)	`ξ_cir ≤ 0,15`	`K·sin(πξ_cir1)/π + 0,295·R_s·A_s,tot·r_s`, где `ξ_cir1 = (N + 0,75R_sA_s,tot)/(R_bA + R_scA_s,tot)`
в), (Д.4)	`ξ_cir ≥ 0,6`	`K·sin(πξ_cir2)/π`, где `ξ_cir2 = N/(R_bA + R_scA_s,tot)`

Круг (п. Д.2):

\[ M_{ult}=\frac{2}{3}R_bAr\frac{\sin^3\pi\xi_{cir}}{\pi} +R_sA_{s,tot}\left(\frac{\sin\pi\xi_{cir}}{\pi}+\varphi\right)r_s, \]

где ξ_cir — корень уравнения (Д.8) при выполнении условия (Д.7) N ≤ 0,77R_bA + 0,645R_sA_s,tot и уравнения (Д.9) в противном случае; φ = 1,6(1 − 1,55ξ_cir)ξ_cir, но не более 1,0, при выполнении (Д.7), иначе φ = 0. Уравнения решаются бисекцией на отрезке [0; 1]: невязка монотонна, корень единственный.

Если сжимающая сила превышает несущую способность сечения (кольцо: ξ_cir2 ≥ 1; круг: уравнение (Д.9) не имеет корня на [0; 1]), результат остаётся расчётным с M_ult = 0 и проверкой «не выполнено» — это отказ сечения, а не неприменимость метода.

Результат

Ветвь расчёта (circular_bending, circular_compression, annular_bending, annular_compression), формула ((Д.2)–(Д.4) или (Д.6)), проверка M ≤ M_ult с Кисп, а также промежуточные величины: A, r₁, r₂, r_s, A_s,tot, ξ_cir, φ, номер уравнения, e_a, e₀, η, N_cr, признак превышения порога гибкости l₀/i и фактические отклонения геометрии и раскладки. Справочно проверяются минимальный процент армирования по п. 10.3.6, защитный слой и расстановка стержней — см. конструктивные требования.

Сверка с деформационной моделью OpenCS на типовых сечениях (круг D = 500 мм и кольцо 600/400 мм, по 8 стержней, изгиб и внецентренное сжатие) даёт расхождение предельного момента от −7,6 % до +4,1 %. Сравнение с пособием Краковского приведено на странице примеров IV.Г.2.1 и IV.Г.2.2.

Бетонные элементы без рабочей арматуры (раздел 7)

Задача sp63_normal проверяет и бетонные элементы — без рабочей арматуры — по разделу 7 СП 63.13330.2018. Режим выбирается явно полем «Вид конструкции» (elementType): «Железобетонный (раздел 8)» (reinforced, по умолчанию и для задач, сохранённых раньше) или «Бетонный, без рабочей арматуры (раздел 7)» (concrete). Железобетонное сечение без арматуры не пересчитывается как бетонное автоматически: в режиме reinforced оно остаётся неприменимым для формульной проверки.

Условия применимости

прямоугольное, тавровое или двутавровое сплошное сечение (форма задаётся так же, как для железобетона), один момент Mx или My в плоскости симметрии (п. 7.1.2); круг, кольцо и другие формы — «неприменимо» (concrete_shape_not_supported);
сжатие или изгиб; растягивающая сила — «неприменимо» (concrete_tension_not_supported): раздел 7 не рассматривает растянутые бетонные элементы;
арматура, если она есть в сечении, считается конструктивной и в расчёте не участвует (п. 7.1.6) — об этом выводится справочное сообщение.

Формулы

Расчётное сопротивление сжатию принимается с коэффициентом γb3 = 0,9 для бетонных конструкций (п. 6.1.12): R_b = 0,9·R_b,материал. R_bt берётся из материала без этого коэффициента. Коэффициент γb1 для длительной нагрузки учитывается через характеристики материала вида расчёта CL/NL.

Внецентренное сжатие (сжатие — N < 0). Эксцентриситет e_0 определяется с учётом случайного e_a по п. 7.1.7 (как и для железобетона: сумма для статически определимой схемы, максимум — для неопределимой). При гибкости l_0/i больше порога (по умолчанию 14, п. 7.1.8) e_0 умножается на η по (7.6)/(7.7); жёсткость D — по п. 8.1.15 без слагаемого арматуры:

\[\eta = \frac{1}{1 - N/N_{cr}},\qquad N_{cr} = \frac{\pi^2 D}{l_0^2},\qquad D = \frac{0{,}15}{\varphi_l(0{,}3+\delta_e)}\,E_b I.\]

Если N ≥ N_cr, элемент неустойчив и прочность не обеспечена.

Сила в пределах сечения (2e_0η < h) — без учёта растянутой зоны, (7.1) и (7.2): $$N \le R_b A_b,\qquad A_b = b\,h\left(1 - \frac{2 e_0 \eta}{h}\right).$$
Сила за пределами сечения (2e_0η ≥ h, п. 7.1.10) — с учётом растянутой зоны, (7.5): $$N \le \frac{R_{bt}\,b\,h}{6 e_0 \eta / h - 1}.$$
Справочно, вне вердикта: при e_0 ≤ h/30 и l_0 ≤ 20h — упрощённое условие (7.3) N ≤ φ·R_b·A. φ при длительном действии нагрузки (вид расчёта CL/NL) — по таблице 7.1 с линейной интерполяцией (l_0/h = 6; 10; 15; 20 → 0,92; 0,9; 0,8; 0,6), при кратковременном — по линейному закону через 0,9 при l_0/h = 10 и 0,85 при l_0/h = 20. При l_0/h < 6 принимается значение при 6.

Изгиб (N = 0), (7.8)–(7.10):

\[M \le M_{ult} = R_{bt} W,\qquad W = \frac{b h^2}{6}.\]

Элементы, в которых трещины не допускаются. Флаг задачи «Трещины не допускаются (п. 7.1.9)» (cracksNotAllowed, по умолчанию выключен) предназначен для элементов, где трещины недопустимы по условиям эксплуатации. При силе в пределах сечения к (7.1) добавляется условие (7.5) для прямоугольника или (7.4) для тавра, и оно входит в вердикт:

\[N \le \frac{R_{bt}\,A}{\dfrac{A\,e_0\eta\,y_t}{I} - 1}.\]

Если сила приложена в пределах ядра сечения (знаменатель не больше нуля), растянутой зоны нет, условие выполняется, и выводится справочное сообщение.

Тавровые и двутавровые сечения

Тавр и двутавр рассчитываются по тем же пунктам (п. 7.1.2 допускает любую форму сечения с плоскостью симметрии). Сечение описывается полосами постоянной ширины от сжатой грани. Полки учитываются полной шириной: раздел 7 свесы не ограничивает.

Сжатая грань определяется знаком момента: Mx > 0 сжимает нижнюю грань. При M = 0 (действует только случайный эксцентриситет) проверяются обе грани, и выводится худший результат.
Сила в пределах сечения — (7.1) N ≤ R_b A_b. Здесь A_b — площадь участка от сжатой грани, центр тяжести которого совпадает с точкой приложения силы; её высота находится точно, полоса за полосой.
Сила за пределами сечения — (7.4) с A, I и расстоянием y_t от центра тяжести до наиболее растянутого волокна.
Изгиб — (7.9) с W = I/y_t для крайнего растянутого волокна.
Упрощённое условие (7.3) для тавра не применяется: норма даёт его только для прямоугольника.

Поперечная сила (п. 7.1.4)

Если в строке усилий задана поперечная сила в плоскости изгиба (Vy для Mx, Vx для My), проверяется условие п. 7.1.4 по главным напряжениям — в форме (3.12)/(3.12а) Пособия к СП 63.13330.2018 (п. 3.1.13):

\[\frac{\sigma_{mt}}{R_{bt}} + \frac{\sigma_{mc}}{R_b} \le 1,\qquad \sigma_{mt,\,mc} = \mp\frac{\sigma_x}{2} + \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2 + \tau^2}.\]

Напряжения определяются как для упругого материала, σ_x — со знаком «плюс» при сжатии:

\[\sigma_x = \frac{N}{A} + \frac{M\,(y_c - y)}{I},\qquad \tau = \frac{Q\,S}{I\,b},\]

где y — расстояние от сжатой грани до проверяемого волокна, y_c — до центра тяжести, S — статический момент части сечения между сжатой гранью и волокном, b — ширина на уровне волокна. При сжатии принимается M = N·e_0·η, то есть с тем же эксцентриситетом, что и в проверке прочности.

Прямоугольник — волокно на уровне центра тяжести; там σ_x = N/A, при чистом изгибе σ_x = 0 и τ = 1,5·Q/(b·h).
Тавр и двутавр — волокно в месте примыкания сжатой полки к стенке, b — ширина стенки. Если у сжатой грани полки нет (например, у тавра сжата грань ребра), проверяется уровень центра тяжести; об этом выводится справочное сообщение.
Для изгибаемого тавра и двутавра дополнительно проверяется (3.14) Пособия — τ ≤ R_bt на уровне центра тяжести.

Обе проверки входят в вердикт прочности и выполняются во всех ветвях: сжатие с силой в пределах и за пределами сечения, изгиб. Если поперечная сила равна нулю, они не выводятся. R_b в (3.12) принимается с γb3, как и в остальных проверках. Примера расчёта по (3.12) в Пособии нет, поэтому проверка покрыта модульными тестами с ручным счётом прямоугольника и тавра (CScore.Tests/Sp63Normal/Sp63ConcreteNormalCheckerTests.cs).

Результат

Ветвь расчёта (concrete_compression, concrete_compression_outside, concrete_bending), формулы, проверки с Кисп, промежуточные величины R_b (с γb3), R_bt, e_a, e_0, η, N_cr, e_0η, A_b, N_ult или W, M_ult. Для тавра дополнительно выводятся I, y_c, y_t и высота сжатой зоны x. При поперечной силе выводятся Q, уровень волокна y, S, b, σ_x, τ, σ_mt, σ_mc, а для тавра — τ на уровне центра тяжести. В отчёте условие (3.12) безразмерно, (3.14) — в кПа. Конструктивные проверки раздела 10 для бетонного элемента не выполняются.

Не реализованы: местное сжатие (п. 7.1.5, пп. 8.1.43–8.1.45) и конструктивное армирование по п. 10.3.7. Сверка с Пособием — пример 1, бетонная панель.

Конструктивные требования раздела 10 (справочно)

Помимо проверки прочности задача sp63_normal выводит отдельную таблицу конструктивных требований раздела 10.3 СП 63.13330.2018. В итоговый вердикт прочности эти проверки не входят. Элемент, не удовлетворяющий минимальному проценту армирования, норма относит к бетонным, а не к разрушенным железобетонным. Проверки выполняются только для рассчитанного результата: при неприменимости формульного режима их нет.

Минимальный процент армирования, п. 10.3.6

Фактический процент армирования $\mu_s = A_s / A_b \cdot 100\,\%$ сравнивается с $\mu_{s,min}$. Площадь бетона $A_b$ и требуемое значение зависят от формы сечения и ветви расчёта:

Форма	Ветвь	Какая арматура	Площадь бетона `A_b`	`μs,min`
Прямоугольник	изгиб, внецентренное растяжение	растянутая `As`; сжатая `A's` — если она есть	`b·h0`	0,1 %
Прямоугольник	внецентренное сжатие	то же	`b·h0`	0,1–0,25 % по `l0/h` ∈ [5; 25]
Прямоугольник	центральное растяжение	вся продольная	`b·h`	0,2 %
Тавр, двутавр	изгиб	растянутая `As`; сжатая `A's` — если она есть	`bw·h0` (ширина ребра)	0,1 %
Круг, кольцо	изгиб (`N = 0`)	вся продольная `A_s,tot`	полная площадь бетона `A`	0,2 %
Круг, кольцо	внецентренное сжатие	вся продольная `A_s,tot`	полная площадь бетона `A`	0,2–0,5 % по `l0/i` ∈ [17; 87]

Норма задаёт 0,1 % при гибкости $l_0/i \le 17$ и 0,25 % при $l_0/i \ge 87$, а между ними — линейную интерполяцию. Для прямоугольника те же границы выражены через высоту сечения: $l_0/h = 5$ и $25$. Для круга и кольца используется радиус инерции бетонного сечения брутто $i = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}/2$ (у круга $r_1 = 0$ и $i = D/4$), то же значение, что и в проверке гибкости по п. 8.1.2.

У круглых и кольцевых сечений арматура по условиям применимости приложения Д расположена равномерно по окружности. Для такого армирования норма требует удвоенного значения, отнесённого к полной площади сечения бетона, поэтому в таблице стоят 0,2 % и 0,2–0,5 %.

Сжатая арматура прямоугольника и тавра проверяется, если она есть в сечении, хотя норма требует минимума только для сжатой арматуры, необходимой по расчёту. Если A's не нужна по расчёту, невыполненную строку для неё можно не учитывать.

Если при сжатии не задана расчётная длина l0 (например, в режиме без учёта гибкости элемента), проверка п. 10.3.6 не выполняется, а в справочных сообщениях появляется соответствующее уведомление.

Защитный слой и расстановка стержней (прямоугольник и тавр)

Для прямоугольного и таврового (двутаврового) сечений дополнительно проверяются:

защитный слой по п. 10.3.2 — не менее диаметра стержня, 10 мм и значения таблицы 10.1 для выбранных условий эксплуатации (для сборных элементов — с уменьшением на 5 мм). Слой отсчитывается от грани сечения по высоте: для растянутой арматуры — h − h0 − d/2, для сжатой — a' − d/2;
боковой защитный слой по п. 10.3.2 — наименьшее по всем стержням сечения (включая промежуточные уровни) расстояние от центра стержня до граней контура за вычетом d/2. Учитываются все грани, кроме двух крайних по высоте, которые уже проверены предыдущим пунктом: боковые грани прямоугольника, ребра и полок, а у тавра также поверхности свесов полок — так учитывается стержень, поставленный в свес. Требуемое значение то же; для условий «фундамент без бетонной подготовки» боковые грани считаются «в грунте» (40 мм);
не менее двух растянутых стержней по п. 10.3.9, если ширина бетона на уровне растянутой арматуры больше 150 мм. У тавра это ширина растянутой полки, если стержни лежат в её пределах по высоте, иначе ширина ребра bw;
если задан тип элемента (балка/плита или колонна) — минимальный зазор в свету по п. 10.3.5 и наибольший шаг стержней вдоль слоя по п. 10.3.8. Для балок и плит предельный шаг — 200 мм при h ≤ 150 мм, иначе min(1,5h; 400 мм), где h — полная высота сечения. Для колонн — 400 мм вдоль слоя и 500 мм между уровнями арматуры в плоскости изгиба.

Защитный слой и расстановка стержней (круг и кольцо)

Для круглого и кольцевого сечений стержни расположены по окружности, поэтому проверки строятся по каждому стержню:

защитный слой по п. 10.3.2 — наименьшее по стержням расстояние до внешнего контура $c = r_2 - \rho_i - d_i/2$, где $\rho_i$ — расстояние центра стержня до центра сечения. У кольца дополнительно проверяется слой до отверстия $c = \rho_i - r_1 - d_i/2$. Требуемое значение — то же, что у прямоугольника: не менее наибольшего диаметра, 10 мм и значения таблицы 10.1;
минимальный зазор в свету по п. 10.3.5 и наибольший шаг по п. 10.3.8 — между соседними по углу стержнями, по хорде. Проверяются, если задан тип элемента.

Верх и низ у круглого сечения не выделяются, поэтому приняты следующие допущения:

Величина	Балка/плита	Колонна
Абсолютный минимум зазора в свету, п. 10.3.5	30 мм (как для верхней арматуры)	50 мм
Предельный шаг, п. 10.3.8	200 мм при `D ≤ 150 мм`, иначе `min(1,5D; 400 мм)`	400 мм

Для условий «фундамент без бетонной подготовки» нижняя арматура не определяется: принимается защитный слой «в грунте» (40 мм), а не 70 мм, и в справочных сообщениях появляется соответствующее уведомление. Проверка числа растянутых стержней по п. 10.3.9 для круга и кольца не нужна: приложение Д и так требует не менее семи стержней.

Радиусы r₁, r₂ — эквивалентные по площади радиусы многоугольного контура (см. геометрию), поэтому фактическое расстояние до сторон многоугольника может немного отличаться от вычисленного слоя.

Входные данные

CrossSection с активными материальными областями;
диаграмма материала для выбранного CalcType;
геометрия контуров и отверстий;
точечная арматура и её HostArea;
заданные усилия;
флаги работы бетона в растяжении и сжатии;
настройки фибровой сетки или контурного пути.

Постановка задачи

Неизвестных три — параметры плоскости деформаций:

\[ \varepsilon(x,y)=e_0+\kappa_y y+\kappa_z x. \]

Уравнений тоже три — условия равновесия сечения:

\[ N(\mathbf{k}) = N_{\text{зад}}, \qquad M_x(\mathbf{k}) = M_{x,\text{зад}}, \qquad M_y(\mathbf{k}) = M_{y,\text{зад}}, \]

где k = (e0, ky, kz), а левые части — результат интегрирования по сечению. Система нелинейна: связь между деформацией и напряжением задаёт диаграмма материала, и она нелинейна почти всегда.

Мерой отклонения служит евклидова норма невязки:

\[ \|r\| = \sqrt{(N - N_{\text{зад}})^2 + (M_x - M_{x,\text{зад}})^2 + (M_y - M_{y,\text{зад}})^2}. \]

flowchart LR
    Load[Заданные N Mx My] --> Solver[Решатель плоскости деформаций]
    Solver --> K[e0 ky kz]
    K --> Integral[CrossSection.Integral]
    Integral --> Response[Фактические N Mx My]
    Response --> Residual[Невязка]
    Residual --> Solver

Как решается: метод Ньютона–Рафсона

Начальное приближение

Стартовая плоскость берётся из упругого решения по геометрическим жёсткостям сечения:

\[ e_0 = \frac{N}{EA}, \qquad \kappa_y = \frac{M_x}{EI_x}, \qquad \kappa_z = \frac{M_y}{EI_y}. \]

Для слабо нагруженного сечения это почти ответ. Для сечения с трещинами упругая оценка сильно завышает жёсткость и, соответственно, занижает кривизну — итерации начнутся далеко от решения. Поэтому задачи, где ожидается трещинообразование, могут передавать решателю своё начальное приближение вместо упругого.

Итерация

На каждой итерации вычисляется невязка, затем численный якобиан 3×3 — матрица чувствительности усилий к параметрам плоскости:

\[ J_{ij} = \frac{\partial (N, M_x, M_y)_i}{\partial (e_0, \kappa_y, \kappa_z)_j}. \]

Строки идут в порядке N, Mx, My, столбцы — e0, ky, kz. Производные берутся конечными разностями с шагом h: односторонними (forward) либо центральными (central). Односторонняя схема требует трёх дополнительных интегрирований сечения на итерацию, центральная — шести, зато она точнее.

Затем решается система J·Δk = r методом Гаусса с выбором ведущего элемента, и плоскость смещается на −λ·Δk.

Демпфирование шага

Полный ньютоновский шаг на сильно нелинейной диаграмме легко перелетает решение: линейный прогноз по касательной оказывается верен только вблизи текущей точки. Поэтому шаг не применяется вслепую.

Демпфирование шага Ньютона половинным делением

Решатель пробует полный шаг, затем половину, четверть и так далее, принимая первую долю, которая уменьшает норму невязки. Делений не больше 30, что доводит λ примерно до 1e-9.

Начальная доля шага дополнительно ограничена: она не должна вывести крайнее волокно сечения за деформацию 0,05. Это заведомо больше предельных деформаций любых диаграмм, но не даёт итерациям уйти туда, где все волокна выключены — там отклик почти постоянен, невязка формально «улучшается», а якобиан вырождается в ноль.

Если ни одна доля шага не улучшила невязку или якобиан оказался вырожденным, решатель один раз откатывается к упругому приближению и пробует снова. Повторный откат бессмыслен: он привёл бы в ту же точку.

Критерий остановки

Итерации прекращаются, когда ‖r‖ < NewtonTolerance.

Допуск абсолютный, а не относительный

Для стержневых сечений допуск задан в килоньютонах — это норма невязки, а не её отношение к заданным усилиям. Умолчание 0,1 означает разные вещи для разных задач: при усилиях порядка 10 000 кН это относительная точность 1e-5, а при усилиях порядка 1 кН — 10 %.

Если сечение слабо нагружено, допуск имеет смысл ужесточить; если усилия очень велики, а расчёт упирается в предел итераций — ослабить. Относительный критерий применяется только для пластинчатых сечений, у него отдельная настройка.

Параметры решателя

Параметр	Умолчание	Смысл
`newtonTol`	`0,1` кН	допуск сходимости по норме невязки
`newtonMaxIter`	`25`	предел числа итераций
`newtonH`	`1e-7`	шаг численного дифференцирования якобиана
`newtonJacobian`	`forward`	схема разностей: односторонняя или центральная

Переключение на central удваивает стоимость итерации, но помогает, когда расчёт «дёргается» около решения: односторонняя разность вносит погрешность порядка h, и вблизи сходимости она может оказаться сравнимой с самой невязкой.

Учёт гибкости элемента

Задача решает сечение, а не стержень: она ничего не знает о длине элемента и его прогибе. Между тем у гибкого внецентренно сжатого элемента прогиб увеличивает эксцентриситет, а значит и момент в расчётном сечении.

Учёт влияния прогиба на момент во внецентренно сжатом элементе

Поэтому в задаче предусмотрен необязательный учёт этого эффекта по СП 63.13330, п. 8.1.15: перед решением заданные моменты умножаются на коэффициент η, и дальше решается обычная задача НДС с усиленными моментами.

Поправка требуется при гибкости l0/i > 14 (п. 8.1.2); ниже порога η = 1 и моменты не меняются. Не применяется она и тогда, когда продольная сила не сжимающая — прогиб тогда момент не наращивает.

Радиус инерции i относится к бетонному сечению брутто: арматура в него не входит, отверстия вычитаются. Для прямоугольника i = h/√12, для круга и кольца i = √(r₁² + r₂²)/2, для произвольного сечения i = √(I/A) по контурам бетона, а моменты инерции берутся относительно центра тяжести бетонного сечения. Радиусы определяются отдельно для каждой плоскости изгиба — ix для Mx и iy для My.

Порог по умолчанию равен 14 и задаётся в единицах l0/i; при необходимости его можно изменить. Для прямоугольного сечения условию l0/i > 14 отвечает l0/h > 4,04, поэтому у колонн средней гибкости поправка включается раньше, чем при прежней трактовке порога как l0/h > 14.

Порог гибкости в сохранённых проектах

Пользовательское значение порога трактуется как l0/i. Если в проекте, сохранённом ранее, порог задавался вручную и отличался от 14, он теперь означает другую величину, и результат расчёта такого элемента изменится — перед пересчётом значение стоит проверить.

Если в сечении не нашлось бетонных областей с контуром, радиус инерции определить не по чему — он принимается по габариту как h/√12. Результат помечается признаком radiusFallbackX/radiusFallbackY, а в отчёт добавляется предупреждение: гибкость l0/i и коэффициент η в этом случае приближённые.

Величины, участвующие в расчёте. Жёсткость элемента и условная критическая сила:

\[ D = k_b E_b I + 0{,}7\,E_s I_s, \qquad N_{cr} = \frac{\pi^2 D}{l_0^2}. \]

Коэффициент при бетоне и входящие в него поправки на длительность и эксцентриситет:

\[ k_b = \frac{0{,}15}{\varphi_l\,(0{,}3+\delta_e)}, \qquad \varphi_l = 1+\psi \in [1;\,2], \qquad \delta_e = \frac{|e_0|}{h} \in [0{,}15;\,1{,}5]. \]

Итоговое усиление момента:

\[ \eta = \frac{1}{1 - |N| / N_{cr}}. \]

Коэффициент при арматуре в выражении для D фиксирован и равен 0,7. Критическая сила здесь условная: она вычисляется по нормативной жёсткости и не является эйлеровой силой реального стержня. Пределы у φl и δe — не защита от численных ошибок, а требование нормы: значения вне интервала обрезаются.

Задаются расчётные длины l0 отдельно по каждой оси, доля длительности ψ = M1l/M1 и порог гибкости в единицах l0/i (по умолчанию 14).

Доступны два режима:

по формуле — жёсткость D вычисляется по нормативному выражению, η находится один раз;
уточнённый — η уточняется итерационно по фактической жёсткости из решателя НДС, с ускорением сходимости экстраполяцией Эйткена по трём последовательным значениям. Если последовательность расходится или осциллирует, экстраполяция не применяется, берётся последнее значение, и результат помечается соответствующим признаком.

Потеря устойчивости

При |N| ≥ Ncr коэффициент η не существует: знаменатель обращается в ноль или становится отрицательным. Это не численный сбой, а физический результат — элемент теряет устойчивость раньше, чем исчерпывает прочность сечения. Увеличивать число итераций бессмысленно, нужно менять сечение, армирование или расчётную длину.

Проверка по КЭ импортированной схемы

В проверке железобетонных стержней и стен по КЭ (rc_check, rc_plate_check) тот же коэффициент η вычисляется для каждого КЭ: длина между раскреплениями берётся по сетке схемы, ψ — по парному длительному набору усилий. См. Продольный изгиб и расчётные длины.

Что возвращает задача

Группа	Содержание
Сходимость	признак сходимости, число итераций, достигнутая невязка
Плоскость деформаций	`e0`, `ky`, `kz`
Равновесие	заданные и фактические `N`, `Mx`, `My`
Жёсткость	секущая матрица 3×3 и её источник: `contour`, `fiber`, `mixed` или `none`
Якобиан	значения матрицы, схема разностей и шаг `h`
Экстремумы деформаций	минимум и максимум отдельно по бетону и по арматуре
Арматура	по каждому стержню: группа, материал, координаты, диаметр, площадь, `ε`, `σ`, секущий модуль
Преднапряжение	усилия обжатия, приведённые к сечению
Гибкость	радиусы инерции бетонного сечения `ix`, `iy`, отношения `l0/i` по обеим осям и результат расчёта `η`, если он включён
Отчёт	в разделе влияния прогиба выводится таблица с колонками `направление`, `l0`, `i`, `l0/i`; если радиус взят по габариту, к ней добавляется предупреждение

Статус результата принимает значения ok, not_converged или error.

Две детали, важные при чтении результата. Экстремумы деформаций считаются как ε + εp, то есть включают начальную деформацию преднапряжения, и берутся не только по фибрам, но и по вершинам контура области. Хомуты в экстремумы не попадают: они исключены из продольного интеграла и проверяются отдельной задачей.

Источник жёсткости стоит читать вместе с результатом: он показывает, каким путём фактически шло интегрирование, и значение none почти всегда означает ошибку постановки — у областей нет ни фибр, ни пригодного контура с диаграммой. Подробнее — гибридный путь.

Расчёт по набору усилий

Задача strain_state_batch повторяет то же решение для каждой строки набора. Строки независимы: каждая получает свой решатель и своё упругое начальное приближение, результат предыдущей строки не переиспользуется.

При включённом параллельном режиме каждая строка работает с собственной копией сечения — иначе потоки затирали бы друг другу состояние фибр, ведь SetEps пишет деформации прямо в них.

Несошедшаяся строка не прерывает пакет: в результат попадают число сошедшихся строк и общий признак, а разбираться нужно построчно.

Порядок проверки перед запуском

Убедиться, что единицы нагрузки согласованы с геометрией и материалами.
Проверить знак момента относительно расположения арматуры.
Проверить ten и ca: включена ли работа бетона в растяжении и сжатии.
Проверить диаграмму CalcType и материал каждой области.
Проверить, что отверстия находятся внутри Hull и не заданы отдельным бетоном.
Для сеточного пути выполнить контроль сгущением.

Если расчёт не сошёлся

Начинать разбор нужно с постановки, а не с параметров итератора.

Признак	Вероятная причина	Что делать
Невязка велика и не убывает	заданное состояние недостижимо	проверить знак момента и запас несущей способности
`η` не вычислен, отмечена неустойчивость	продольная сила достигла условной критической	менять сечение, армирование или расчётную длину
Итерации упёрлись в предел, невязка мала	слишком жёсткий абсолютный допуск	ослабить `newtonTol` или поднять предел итераций
Невязка колеблется около решения	погрешность односторонних разностей	переключить якобиан на `central`
Источник жёсткости `none`	у областей нет ни фибр, ни контура с диаграммой	исправить постановку сечения

Несходимость не всегда является численной проблемой

Если заданный момент требует растяжения стороны без арматуры или превышает предельную способность сечения, решение может отсутствовать. В такой ситуации сначала измените постановку/знак нагрузки, а не параметры итератора. Проверить, лежит ли заданная точка внутри поверхности несущей способности, помогает задача предельных усилий.

Проверка на примерах пособия

Расчёт изгибаемых прямоугольных сечений по деформационной модели сверен с примерами IV.Б.2.1 и IV.Б.2.2 Пособия к СП 63.13330.2012 — см. «Изгиб прямоугольного сечения — примеры IV.Б.2.1, IV.Б.2.2, IV.Б.4.1».

Где это в коде

Что	Где
Обработчик задачи	`OpenCS/Tasks/StrainStateHandler.cs`
Пакетный вариант	`OpenCS/Tasks/StrainStateBatchHandler.cs`
Решатель Ньютона	`CScore/StrainSolver.cs`
Интегрирование сечения	`CScore/CrossSection.cs`, методы `IntegralOf` и `CalculateSecantStiffness`
Упругое приближение	`CScore/MaterialArea.cs`, метод `Guess`
Коэффициент `η`	`CScore/Sp63/EccentricityAmplifier.cs`
Параметры решателя	`OpenCS/Utilites/CalcSettings.cs`