Проверка: полоса плиты против плитной модели

ID: TEST-PLATE-STRIP-001
Статус: опубликованный эталонный тест, проходит на реальных gmsh и OpenSees

Тест проверяет стержневую аналогию полосы плиты целиком — от построения сетки до нелинейной задачи полосы. Одна и та же задача считается двумя независимыми путями, и их результаты сверяются между собой и с аналитическим решением.

Проверяются три утверждения:

в статически определимой схеме обе модели обязаны дать qbL²/8 независимо от жёсткости;
эпюры и прогибы двух моделей совпадают в пределах инженерного допуска;
после превышения предела упругости прогиб полосы растёт быстрее нагрузки.

Постановка

Прямоугольный участок плиты, шарнирно опёртый по коротким краям, под равномерной поверхностной нагрузкой.

Параметр	Значение
Пролёт `L`	`6.0 м`
Ширина полосы `b`	`2.0 м`
Толщина `h`	`0.3 м`
Число слоёв сечения	`12`, модель `layered`, растяжение бетона включено
Опирание	шарнир на обоих концах, продольное закрепление в начале
Нагрузка, случай A	`q = 3 кН/м²`
Нагрузка, случай Б	`q = 6 кН/м²`

Материал синтетический, а не реальный бетон

Фикстура использует билинейную диаграмму с изломом, а не диаграмму СП 63, и заниженный модуль: E = 30 000 кПа, Ry = 1500 кПа, предельные деформации ±0.15. Деформация текучести получается εy = Ry/E = 0.05, то есть узлы диаграммы заведомо не совпадают.

Излом выбран так, чтобы случай A лежал в упругой работе, а случай Б — за изломом, но не доводил сечение до полной пластификации, при которой касательная вырождается физически корректно и Ньютон обязан разойтись.

Из-за заниженного модуля прогибы получаются огромными — порядка L/8. Это намеренно: тест проверяет цепочку расчёта, а не правдоподобие плиты.

Фикстура без начальных усилий

Материал подобран так, что в нулевом состоянии деформаций усилий нет. Иначе сравнение с линейным путём было бы некорректно по построению: нулевое состояние остаётся состоянием отсчёта, и начальные усилия вошли бы в невязку как есть.

Настройки расчёта

Параметр	Значение
Сетка	четырёхугольники, целевой размер `0.5 м`
Станции полосы	`9` штук: `0, 0.125, …, 1.0` → `8` элементов балки
Источники по ширине	`2` точки квадратуры
Шаги нагружения	`4`, до `40` итераций Ньютона на шаг
Материал оболочечной модели	линейно-упругий изотропный, `E = 3·10⁷ Па`, `ν = 0`

Почему ν = 0 в оболочечной модели

Кинематическое вложение полосы обнуляет поперечную деформацию и сдвиг. Ненулевой коэффициент Пуассона в оболочке создал бы поперечный распор, которого у полосы нет по построению, и модели разошлись бы по причине, не имеющей отношения к проверяемой цепочке.

Эталон

Схема статически определима, поэтому момент в середине пролёта определяется равновесием и не зависит от жёсткости:

\[ M\left(\tfrac{L}{2}\right) = \frac{q\,b\,L^2}{8}. \]

Случай	Аналитический момент
A, `q = 3 кН/м²`	`27.0 кН·м`
Б, `q = 6 кН/м²`	`54.0 кН·м`

Границы работы сечения при Ry = 1500 кПа:

\[ M_{\text{упр}} = \frac{b h^2}{6}\,R_y = 45\ \text{кН·м}, \qquad M_{\text{пл}} = \frac{b h^2}{4}\,R_y = 67.5\ \text{кН·м}. \]

Случай A (27 кН·м) лежит ниже M_упр — упругая работа. Случай Б (54 кН·м) — между M_упр и M_пл.

Результат

Прогон от 2026-09-08, gmsh 4.15.2 и OpenSees 3.8.0, оба теста пройдены.

Величина	Случай A	Случай Б
Момент в середине, полоса	`−27.000 кН·м`	`−54.000 кН·м`
Момент в середине, оболочка	`−26.712 кН·м`	`−53.424 кН·м`
Максимальный прогиб, полоса	`0.755245 м`	`1.557056 м`
Максимальный прогиб, оболочка	`0.750682 м`	`1.501360 м`
Наибольшее относительное расхождение по `My`	`14.80 %`	`14.80 %`
Относительное расхождение прогиба	`0.60 %`	`3.58 %`
Диагностики доменной части	нет	нет

Отношение прогибов w(6) / w(3) = 2.06 > 2 — нелинейное размягчение после излома подтверждено.

Эпюра по станциям, случай A

Станция `s`	`My` оболочки, кН·м	`My` полосы, кН·м
`0.000`	`−3.997`	`0.000`
`0.125`	`−11.751`	`−11.812`
`0.250`	`−19.383`	`−20.250`
`0.375`	`−25.145`	`−25.312`
`0.500`	`−26.712`	`−27.000`
`0.625`	`−25.091`	`−25.313`
`0.750`	`−20.493`	`−20.250`
`0.875`	`−11.315`	`−11.812`
`1.000`	`−3.545`	`0.000`

Продольная сила во всех станциях обеих моделей равна нулю, как и должно быть при поперечной нагрузке и продольном закреплении только в начале.

Допуск

Критерий	Порог	Факт
Момент в середине, полоса против аналитики	`±0.05 кН·м`	совпадение точное
Момент в середине, оболочка против аналитики	`±0.5 кН·м`	`0.29` и `0.58 кН·м`
Наибольшее расхождение по `My`	`< 15 %`	`14.80 %`
Расхождение прогибов	`< 25 %`	`0.60 %` и `3.58 %`
Отношение прогибов после излома	`> 2.0`	`2.06`
Оба прогиба ненулевые	обязательно	выполнено

Два порога держатся почти без запаса

Расхождение по My даёт 14.80 % при пороге 15 %, а отношение прогибов — 2.06 при пороге 2.0. Оба критерия проходят, но любое изменение сетки, числа станций или диаграммы способно вывести их за порог. Прежде чем считать такой отказ регрессией, проверьте раздел «Контрольные признаки ошибки» ниже: у обоих чисел есть понятное происхождение.

Как повторить

Расчёт доступен только как расчётный слой: своей команды меню и своего вида задачи стержневая аналогия не имеет, поэтому тест запускается как автотест.

Установите OpenSees в C:\Tools\OpenSees\bin\OpenSees.exe — при отсутствии файла тест помечается пропущенным, а не упавшим.
Установите gmsh в C:\Tools\gmsh-4.15.2-Windows64\gmsh.exe.
Выполните:

dotnet test OpenCS.OpenSees.Tests\OpenCS.OpenSees.Tests.csproj `
    --filter "FullyQualifiedName~PlateStripAnalogyIntegrationTests"

Случай A — тест BeforeCracking_ShellAndBeamAgree, случай Б — AfterCracking_BeamIsSofterButKeepsEquilibrium.

Контрольные признаки ошибки

Расхождение 14.80 % целиком приходится на две опорные станции. На них полоса даёт строгий ноль — шарнир не несёт момента, — а сэмплер оболочки возвращает −3.997 и −3.545 кН·м. Это не ошибка модели, а разрешение сетки: усилия оболочки постоянны на элементе, поэтому линия сечения в опоре снимает усилие первого элемента, центр которого отстоит от опоры примерно на 0.25 м. Аналитически там

\[ M(0.25) = R\,x - \frac{q b x^2}{2} = 18\cdot0.25 - \frac{6\cdot0.25^2}{2} = 4.31\ \text{кН·м}, \]

что и наблюдается с точностью до дискретизации. Признак того, что дело именно в этом: расхождение не зависит от нагрузки — 3.997/27 = 7.993/54 = 0.148. Расхождение, растущее с нагрузкой, означало бы уже настоящее расхождение моделей. Во внутренних станциях модели совпадают в пределах 1…4 %.

Оболочечная модель здесь линейно-упругая, а полоса — нелинейная. Поэтому в случае Б сравнение прогибов уже не эталонное: разница 3.58 % показывает ровно то, что полоса размягчилась, а оболочка нет. Второй тест по этой причине сверяет полосу не с оболочкой, а саму с собой — через отношение прогибов при удвоенной нагрузке.

Что проверять при других отказах:

момент в середине разошёлся с qbL²/8 — ищите ошибку в переносе нагрузки на полосу или в опорной схеме, а не в жёсткости: в статически определимой схеме момент от жёсткости не зависит;
расхождение выросло пропорционально нагрузке — разошлись материальные модели двух путей;
расхождение появилось только по продольной силе — проверьте продольное закрепление: закрепление обоих концов создаёт распор, которого в эталоне нет;
прогон не дошёл до полной нагрузки — смотрите диагностики доменной части: вырожденная касательная означает полную пластификацию сечения, рост невязки две итерации подряд — нисходящую ветвь диаграммы;
множитель 1000 в любой величине — потеряна конверсия единиц между кН домена полосы и СИ решателя.