Предельные усилия

Задачи limit_force, limit_moment и limit_axial ищут границу несущей способности сечения. Их пакетные варианты выполняют тот же поиск для набора входных состояний.

В отличие от задачи НДС, где усилия заданы и ищется отвечающая им плоскость деформаций, здесь ищется множитель к нагрузке: во сколько раз заданное состояние можно увеличить, пока сечение не исчерпает несущую способность.

Формульная проверка тавра — отдельная задача

sp63_normal для формы Tee не ищет множитель и не выполняет итерационный НДС-расчёт. Она напрямую проверяет чистый изгиб по формулам эффективной полки и предельных усилий; два воспроизводимых примера опубликованы в верификации СП 63. Для круглых и кольцевых сечений та же задача проверяет сжатие с изгибом по приложению Д.

Весь набор на одной картинке

Задача «Поверхность предельных усилий» строит границу несущей способности сечения целиком и наносит на неё строки набора с коэффициентом использования в тех же трёх режимах; из любой точки окна можно перейти в одиночную задачу этой страницы.

Три режима поиска

Заданная точка усилий лежит где-то внутри области несущей способности. Дойти от неё до границы можно по-разному, и три задачи отличаются именно направлением движения.

Задача	Что фиксируется	Что масштабируется
limit_force	ничего	k·N, k·Mx, k·My — все три компоненты вместе
limit_moment	продольная сила N	k·Mx, k·My
limit_axial	моменты Mx, My	k·N

Результат каждой задачи — коэффициент k и коэффициент использования:

\[ \text{использование} = \frac{1}{k}. \]

Смысл прямой: k = 2 означает двукратный запас, k = 1 — точку ровно на границе, k < 1 — что заданное состояние уже недопустимо. При k, близком к нулю, использование считается бесконечным.

Направление меняет ответ

У одной и той же точки три задачи дают три разных предела, потому что до границы они идут по разным путям. Сравнивать k из limit_force и limit_moment между собой нельзя — это ответы на разные вопросы.

Что считается допустимым состоянием

Поиск устроен как проверка: для пробного k решается задача НДС, и полученное состояние проверяется на допустимость. Состояние считается допустимым, когда выполнены все четыре условия:

1. решатель плоскости деформаций сошёлся, и его невязка не превышает допуск;
2. контрольное интегрирование подтверждает равновесие — невязка усилий не больше 1;
3. ни одна вершина контура не вышла за предельную деформацию бетона ε_cu;
4. ни один стержень не вышел за свою предельную деформацию ε_su.

Третье и четвёртое условия проверяются по вершинам контура и по стержням, а не по фибрам: предел достигается на границе области, и именно вершины дают экстремальные деформации плоскости.

Деформация стержня берётся полной — плоскость плюс начальная деформация преднапряжения. Для преднапряжённого сечения это существенно: стержень подходит к своему пределу не с нуля.

Определяющий критерий

Вместе с коэффициентом задача сообщает, что именно исчерпалось: бетон, арматура или то и другое одновременно.

Признак ставится с допуском 2 % от предела: если деформация подошла к пределу ближе этого, критерий считается сработавшим. Поэтому возможен ответ both — бетон и арматура достигли пределов практически одновременно.

Определяющий стержень выбирается не по наибольшей деформации, а по наибольшему отношению ε / ε_su. Причина в том, что у разных марок арматуры разные предельные деформации, и стержень с меньшей деформацией, но более низким пределом может оказаться ближе к исчерпанию. Если бы максимумы брались независимо, в отчёт попала бы деформация одного стержня с пределом другого.

Значение	Смысл
concrete	предел достигнут по бетону сжатой зоны
rebar	предел достигнут по арматуре
both	оба критерия сработали одновременно
none	предел не найден — см. диагностику ниже

Два решателя

Задача может решаться двумя способами, и выбор задаётся параметром. По умолчанию используется бисекция.

Бисекция

Прямолинейный и устойчивый способ. Сначала строится сетка пробных значений k: ноль, затем 1e-6 с последовательным удвоением до 1e12. По ней ищется скобка — последнее допустимое значение и первое недопустимое за ним. Затем интервал делится пополам, пока его ширина не станет меньше допуска.

Стоимость метода — полное решение задачи НДС на каждой пробной точке, и таких точек десятки. Зато он не зависит от качества начального приближения.

Быстрый решатель

Вместо перебора k решается система Ньютона 3×3, где одно из уравнений — условие достижения предельной деформации в «пин-точке», наиболее сжатой вершине контура. Предел ищется сразу, а не нащупывается делением отрезка.

Решатель считает две ветви: разрушение по сжатому бетону и разрушение по растянутой арматуре (вторая — только при растягивающей продольной силе и при наличии стержней). Из сошедшихся вариантов берётся меньший коэффициент: сечение исчерпывается по тому критерию, который наступает первым.

Если ни одна ветвь не сошлась, решатель автоматически откатывается на бисекцию. Ответ при этом остаётся верным — теряется только скорость.

Пошаговый числовой пример такого поиска с пин-точкой в углу прямоугольного сечения, который можно повторить в Excel, — Учебный пример НДМ.

Преднапряжённые и огневые сечения

Пин-вершина выбирается по упругой оценке при k = 1, тогда как искомое равновесие лежит при k = k_lim. Начальные деформации — преднапряжение или температурная эпюра — дают усилия, которые не масштабируются вместе с нагрузкой, поэтому сжатая грань при k = 1 и при k = k_lim может оказаться разной.

Симптом: Ньютон сходится с прекрасной невязкой, но к недопустимому корню, тот отбраковывается, и расчёт молча уходит в бисекцию — в десятки раз дороже. Частично это лечится автоматическим перепином на фактически самую сжатую вершину найденной плоскости (не более двух раз). Если быстрый решатель на преднапряжённом сечении систематически работает как медленный, причина, как правило, здесь.

Какой выбрать

Ситуация	Решатель
Обычное сечение, нужен быстрый ответ	быстрый
Преднапряжение, огневое сечение, сложная диаграмма	бисекция
Включён учёт гибкости	бисекция — принудительно
Расчёт вызывает сомнения	бисекция как эталон

Учёт гибкости

Поправка на прогиб внецентренно сжатого элемента по СП 63.13330, п. 8.1.15 работает и здесь. Формулы, режимы и смысл коэффициента η разобраны на странице задачи НДС — здесь важны два ограничения реализации.

Только бисекция. Быстрый решатель не умеет пересчитывать η внутри своих итераций, поэтому при включённой поправке выбранный метод игнорируется и расчёт идёт бисекцией.

Только limit_moment. Поправка применяется единственно в задаче предельного момента, где продольная сила постоянна. В limit_force и limit_axial сама N является искомой величиной: η зависит от N, а N — от k, и пересчёт коэффициента внутри бисекции сделал бы проверку допустимости немонотонной, разрушив сам метод деления отрезка.

Расчётные длины задаются через длину элемента и коэффициенты закрепления: l0x = L·μx, l0y = L·μy (п. 8.1.17).

Какой момент попадает в отчёт

В полях предельного момента остаётся исходное, неусиленное значение. Усиленный момент участвует только в проверке вместимости сечения на каждом пробном k, а диагностика самого усиления выводится отдельным блоком.

Параметры задачи

Параметр	Умолчание	Смысл
Решатель	bisection	bisection или fast
Ручные усилия	нет	N, Mx, My можно задать прямо в задаче вместо набора усилий
Учёт гибкости	выключен	включение поправки η
Режим гибкости	по формуле	буквальный по норме или уточнённый итерационный
Длина и закрепление	—	L, μx, μy для расчётных длин
Доля длительности	1,0	ψ = M1l/M1, только для режима по формуле

Что возвращает задача

Группа	Содержание
Коэффициенты	factor — найденный k, utilization — использование
Определяющий критерий	concrete, rebar, both или none
Сходимость	признак, число делений и суммарное число итераций Ньютона
Метод	какой решатель фактически отработал
Исходные и предельные усилия	заданные N, Mx, My и найденные предельные значения
Плоскость деформаций	e0, ky, kz в предельной точке
Деформации	достигнутая деформация контура и её предел, деформация определяющего стержня и её предел
Равновесие	фактические усилия в найденной точке
Преднапряжение	усилия обжатия, приведённые к сечению
Гибкость	диагностика η, если поправка включена

Расчёт по набору усилий

Пакетные варианты limit_force_batch, limit_moment_batch и limit_axial_batch выполняют тот же поиск для каждой строки набора и складывают результаты в таблицу. Несошедшаяся строка не прерывает пакет: общий статус становится partial, а разбираться нужно построчно.

Родственная задача strength_ndm_batch решает другую задачу: она не ищет предел, а проверяет заданные усилия — находит НДС для каждой строки и сравнивает достигнутые деформации бетона и арматуры с предельными. Если нужен ответ «проходит или нет» без запаса, достаточно её; если нужен запас — берите предельные усилия.

Если предел не найден

Признак	Причина	Что делать
factor = 0, использование бесконечно, критерий none	недопустимо уже нулевое нагружение	проверить преднапряжение, огневую эпюру и корректность сечения — при k = 0 внешних усилий нет, остаются только начальные деформации
Расчёт не сошёлся, критерий none	допустимы все пробные значения вплоть до предельного	направление нагружения не упирается в границу: проверить знаки и наличие ненулевых усилий
Быстрый решатель заметно медленнее бисекции	ветви Ньютона не сходятся, идёт откат	см. предупреждение о преднапряжённых сечениях выше
Гибкость включена, а решатель остался бисекционным	это штатное поведение	поправка η в быстром решателе не поддерживается
k заметно меньше единицы	заданное состояние вне несущей способности	это ответ, а не ошибка: сечение не проходит

Граница способности может быть недостижима

Отсутствие сходимости не означает автоматически, что решатель сломан. Проверьте, находится ли заданное направление внутри поверхности несущей способности и не задан ли момент противоположного знака.

Проверки перед расчётом

1. Области армирования должны ссылаться на правильный бетонный HostArea.
2. Предельные деформации диаграммы должны соответствовать выбранному типу расчёта.
3. Знак момента должен растягивать ожидаемую арматуру.
4. Нулевые или вырожденные геометрические характеристики нужно исправить до запуска.
5. Для пакетного режима не смешивать строки с разными единицами.

Проверка на примерах пособия

Расчёт по предельным усилиям для изгибаемого прямоугольного сечения сверен с примером IV.Б.4.1 Пособия к СП 63.13330.2012 (то же сечение и момент, что и в проверке НДС по деформационной модели) — см. «Изгиб прямоугольного сечения — примеры IV.Б.2.1, IV.Б.2.2, IV.Б.4.1».

Где это в коде

Что	Где
Обработчики задач	OpenCS/Tasks/LimitForceHandlers.cs
Выбор решателя	CScore/LimitForceSolvers.cs
Бисекция и критерий допустимости	CScore/LimitForceSolver.cs
Быстрый решатель	CScore/LimitForceSolverFast.cs
Решатель НДС для пробной точки	CScore/LimitSectionStrainSolver.cs
Параметры задачи	CScore/LimitForceParams.cs
Коэффициент η	CScore/Sp63/EccentricityAmplifier.cs
Проверка прочности без поиска предела	OpenCS/Tasks/StrengthNDMBatchHandler.cs