Инженерная нелинейность

Инженерная нелинейность — способ учесть трещины и неупругую работу железобетона в расчёте схемы, не отказываясь от линейного расчёта. Схема один раз считается нелинейно на определяющее нагружение, из конечного состояния берутся секущие жёсткости каждого КЭ, и на этих замороженных жёсткостях линейно решаются все загружения. Дальше работает всё, что опирается на линейность: суперпозиция загружений, комбинации, огибающие, наборы усилий по загружениям и проверки по КЭ.

На этой странице — суть метода, порядок работы и границы применимости. Подробный справочник по элементам диалога, проверкам источника и результату — в разделе Инженерная нелинейность страницы «Расчёт схемы — CSfea».

Зачем это нужно

Упругий расчёт железобетонной схемы на начальных жёсткостях переоценивает жёсткость элементов с трещинами. Усилия перераспределяются не так, как в реальной конструкции: треснувшие пролёты плит и ригелей, стены с раскрытыми швами разгружаются, а более жёсткие участки догружаются. Перемещения тоже получаются заниженными.

Полный нелинейный расчёт учитывает это точно, но его нужно повторять для каждой комбинации, а суперпозиция в нём невозможна. При десятках и сотнях комбинаций это дорого, а РСУ и огибающие по загружениям требуют линейной схемы.

Инженерная нелинейность — компромисс между этими путями:

	Упругий расчёт	Инженерная нелинейность	Пакет вариантов
Жёсткость КЭ	начальная, без трещин	секущая, от определяющего нагружения	своя у каждой комбинации
Определяющая комбинация	без трещин	точно	точно
Прочие комбинации	без трещин	приближённо	точно
Суперпозиция, огибающие из загружений	да	да	нет
Стоимость	одна факторизация	один нелинейный расчёт + одна факторизация	нелинейный расчёт на каждую комбинацию

Как это работает

flowchart LR
    S["1. Секущий расчёт CSfea<br/>на определяющее нагружение<br/>(стадии, заданное армирование)"] --> M["2. Мозаики жёсткостей<br/>E₀ | E | E/E₀"]
    M --> C["3. Команда<br/>«Линейный расчёт<br/>на этих жёсткостях…»"]
    C --> L["4. Линейный CSfea:<br/>все загружения на<br/>замороженных секущих жёсткостях"]
    L --> R["5. Комбинации, огибающие,<br/>наборы по загружениям →<br/>проверки по КЭ"]

1. Нелинейный расчёт на определяющее нагружение. Это обычный секущий расчёт CSfea со стадиями, то есть с историей нагружения: например, сначала постоянная нагрузка, затем временная. Армирование задаётся заранее: сечения стержней, слоистые сечения пластин, армирование из ЛИРЫ или SCAD. Вид расчёта (NL, N, C, CL) определяет, по каким диаграммам материалов считаются трещины и жёсткости.
2. Запись жёсткостей. В конце расчёта CSfea записывает полные секущие матрицы сечений всех КЭ: у пластин — мембранную, изгибную и связующую части (A, B, D) и сдвиговую часть, у стержней — матрицу сечения КЭ и сдвиговые и крутильную жёсткости. Записываются именно те матрицы, на которых получены перемещения последнего сошедшегося шага.
3. Просмотр и выбор. Мозаики жёсткостей показывают, где и насколько расчёт снизил жёсткость: E₀ — начальная, E — секущая, E/E₀ — их отношение. Если состояние подходит, из результата вызывается команда Линейный расчёт на этих жёсткостях….
4. Линейный расчёт. Все загружения схемы решаются одной сборкой и одной факторизацией матрицы жёсткости. У КЭ с железобетонным сечением сечение «заморожено» по записанной матрице, КЭ без железобетонного сечения считаются упругими, как в обычном линейном расчёте.
5. Результат — обычный результат линейного расчёта: загружения, комбинации суперпозицией, огибающие групп, реакции, ширина раскрытия трещин, наборы усилий по загружениям для проверок по КЭ.

Почему определяющая комбинация воспроизводится точно

В сошедшемся конечном состоянии секущего расчёта выполняется равновесие

\[K_s\,u = F_{det},\]

где \(K_s\) — матрица жёсткости, собранная из секущих сечений КЭ, \(u\) — перемещения, \(F_{det}\) — определяющая нагрузка. Если матрица \(K_s\) заморожена, а определяющая нагрузка — комбинация загружений \(F_{det} = \sum_i k_i F_i\), то по линейности

\[\sum_i k_i\,u_i = \sum_i k_i\,K_s^{-1} F_i = K_s^{-1} F_{det} = u.\]

Комбинация линейных результатов с теми же коэффициентами даёт ровно перемещения и усилия нелинейного расчёта, включая постоянную нагрузку. OpenCS проверяет это после каждого расчёта (самопроверка): собирает \(\sum k_i u_i\), сравнивает с перемещениями источника и выводит в итог \(\max|\Delta u| / \max|u|\). На тестовых схемах расхождение меньше \(10^{-9}\).

Другие комбинации решаются на той же матрице \(K_s\), и жёсткость по их собственным трещинам не пересчитывается. Точность тем выше, чем ближе комбинация к определяющей по знаку и распределению усилий.

Порядок работы

Снимки окон в этом разделе сделаны на схеме перекрытия Дорфмана: плита на четырёх колоннах, импортированная из SCAD. Секущий расчёт «CSfea: L1, L2 × 5 (опыт)» идёт в две стадии — «L1» (собственный вес) и «L2 × 5» (загружение 0,89 т/м²) — по диаграммам вида N. Линейная постановка «Инженерная нелинейность» решает оба загружения на жёсткостях его конечного состояния.

1. Выбрать определяющее нагружение

Определяющее нагружение должно давать трещины там же, где они будут у большинства расчётных комбинаций. Обычно это основная комбинация с наибольшей вертикальной нагрузкой: постоянные нагрузки и полная временная нагрузка на все пролёты. Историю нагружения удобно задать стадиями: первая — собственный вес и постоянные нагрузки, вторая — временные. Трещины первой стадии сохраняются во второй.

Вид расчёта источника задаёт диаграммы материалов, по которым получены трещины и жёсткости (см. виды расчёта):

Вид расчёта источника	Диаграммы
C	первая группа предельных состояний, непродолжительное действие
CL	первая группа, продолжительное действие
N	вторая группа, непродолжительное действие
NL	вторая группа, продолжительное действие — основной набор для деформаций

Несколько наборов жёсткостей — несколько секущих постановок разных видов или варианты пакета. В линейную постановку передаётся один набор.

2. Посчитать секущий расчёт и посмотреть жёсткости

Постановка создаётся в узле Расчёты схемы — вид «Секущий — CSfea» (см. Постановка). После расчёта результат открывается в 3D-виде схемы. На конечном состоянии (последнем шаге) стоит посмотреть:

• λ — дошёл ли расчёт до заданного предела нагрузки. Жёсткости не дошедшего расчёта относятся к недогруженному состоянию; использовать их можно, но диалог предупредит об этом.
• Мозаику E/E₀ пластин (изгибные E1, E2) и стержней (EIy, EIz). Участки с E/E₀ около 1 работают без трещин, заметно меньшие значения — зоны с трещинами; очень малые значения указывают на участки, близкие к исчерпанию, и на них может сработать нижний предел.

3. Создать линейную постановку на этих жёсткостях

Команда Линейный расчёт на этих жёсткостях… есть:

• в меню кнопки ⋯ строки шага 3D-вида;
• кнопкой в окне Таблицы результата;
• в контекстном меню строки сводки пакета — для варианта пакета.

Команда доступна только на конечном состоянии: на промежуточных шагах полных матриц нет, и подсказка называет шаг конечного состояния. Она создаёт постановку «Линейный — CSfea» с именем «ИН — <постановка>» и открывает её диалог:

• источник жёсткостей уже выбран — показанное конечное состояние;
• вид расчёта — как у источника;
• загружения — все загружения схемы;
• параметры сечений — копия секущей постановки (без геометрической нелинейности и записи шагов);
• флажок Учитывать P-Δ (продольные силы источника) включён, если источник считался с геометрической нелинейностью (см. P-Δ источника).

Ту же постановку можно собрать вручную: в диалоге «Линейный — CSfea», группа Жёсткости КЭ — переключатель из секущего расчёта, затем постановка и состояние (конечное состояние, вариант пакета или его длительная часть). Строка «Источник: …» под списками показывает вид расчёта, время и λ источника.

Предупреждения диалога сохранять постановку не мешают:

• Источник не дошёл до предела λ — жёсткости недогруженного состояния.
• Вид расчёта источника не совпадает с видом постановки — жёсткости берутся по диаграммам источника, а ширина раскрытия трещин и тип наборов усилий — по виду линейной постановки. Например, жёсткости NL и наборы N — осознанная комбинация, но её стоит видеть.

4. Посчитать и проверить итог

В итоге расчёта и в журнале:

• источник — постановка, состояние, вид расчёта;
• КЭ на нижнем пределе жёсткости \(e_{min}\) (см. ниже) — число и первые номера;
• P-Δ источника, если флажок действует: число стержней и оболочек с матрицей начальных напряжений и учёт P-Δ оболочек в своей плоскости;
• самопроверка — «определяющая комбинация источника воспроизведена» при расхождении до \(10^{-6}\) или предупреждение. Расхождение ожидаемо и так и помечается, если сработал предел \(e_{min}\), если источник считался с геометрической нелинейностью, а флажок P-Δ снят, и если флажок P-Δ действует (расхождение порядка допуска итераций источника, см. ниже). Если определяющую нагрузку нельзя выразить через загружения постановки, самопроверка не выполняется, и итог называет причину.

Шапка 3D-вида и окна результата показывает, на каких жёсткостях получен результат: «Жёсткости КЭ — «<постановка>», конечное состояние, вид NL, …». Мозаики жёсткостей линейного результата показывают использованные жёсткости: E₀ — начальные, E — жёсткости источника. Отношение E/E₀ линейного результата может отличаться от секущего: начальная жёсткость здесь — упругая жёсткость линейного расчёта, а не начальная жёсткость сечения секущего расчёта. Сравнивать с источником удобнее по самой жёсткости E.

5. Комбинации и проверки

Дальше результат используется как любой линейный: комбинации и огибающие, наборы усилий по загружениям и по ним — проверки по КЭ для конструктивных элементов и групп.

Если источник пересчитан или удалён после линейного расчёта, результат показывается с оранжевой плашкой: «Источник жёсткостей пересчитан после этого расчёта — пересчитайте линейную постановку». Сама постановка при следующем запуске остановится с подсказкой подтвердить источник: так видно, что расчёт пойдёт на новых жёсткостях.

Геометрическая нелинейность источника (P-Δ)

Если источник жёсткостей считался с геометрической нелинейностью, в его моментах уже есть добавка от продольных сил на перемещениях — эффект P-Δ. Одних секущих жёсткостей для линейной части мало: они переносят P-Δ лишь косвенно (большие моменты → больше трещин → ниже жёсткость). Прямой эффект — снижение жёсткости сжатых элементов продольной силой — описывает матрица начальных напряжений \(K_\sigma\).

Флажок Учитывать P-Δ (продольные силы источника) в группе Жёсткости КЭ решает все загружения на матрице

\[K = K_s + K_\sigma(u_{det}),\]

где \(u_{det}\) — перемещения записанного состояния источника, а \(K_\sigma\) собирается по продольным силам стержней и мембранным усилиям \(N_x, N_y, N_{xy}\) пластин в этом состоянии. Это те же матрицы, что собирает сам секущий расчёт второго порядка: у стержней — с функциями Эрмита по продольной силе, у пластин — из плоскости всегда, в своей плоскости — если источник считался с флажком Учитывать прогиб в плоскости стен и пластин. Матрица одна на все загружения, поэтому суперпозиция, комбинации, огибающие и наборы по загружениям сохраняются. По сути это расчёт P-Δ с предварительным нагружением определяющей комбинацией.

Определяющая комбинация и в этом случае воспроизводится: \(\sum_i k_i u_i = (K_s + K_\sigma)^{-1} F_{det} = u\). Секущий расчёт собирает \(K_\sigma\) по перемещениям предыдущей итерации, а линейная часть — по итоговым, поэтому самопроверка даёт расхождение порядка допуска итераций источника и помечает его как ожидаемое.

Пример — перекрытие Дорфмана. Секущий расчёт «CSfea: L1, L2 × 5 (опыт)» (вид N, 1073 пластинчатых КЭ, 12 стержней колонн) пересчитан с геометрической нелинейностью второго порядка и с P-Δ в плоскости пластин; затем выполнен линейный расчёт на его жёсткостях без флажка P-Δ и с флажком:

Расчёт	Прогиб контрольного узла, конец стадии «L2 × 5»	Самопроверка, max |Δu| / max |u|
Секущий без геометрической нелинейности	27,45 мм	—
Секущий второго порядка (источник)	28,10 мм	—
Линейный на жёсткостях источника, флажок P-Δ снят	—	1,1·10⁻² (ожидаемо: источник с геометрической нелинейностью)
Линейный на жёсткостях источника, флажок P-Δ включён	—	1,8·10⁻⁵ (ожидаемо: допуск итераций источника)

Итог линейного расчёта с флажком называет число КЭ с \(K_\sigma\), напоминает о продольных силах прочих комбинаций и приводит самопроверку; подзаголовок результата заканчивается пометкой «с продольными силами источника (P-Δ)»:

Та же пометка — во второй строке шапки 3D-вида:

У плиты на колоннах эффект второго порядка невелик (+2,4 % к прогибу), но без \(K_\sigma\) линейная часть отклоняется от источника на 1 %, а с ней воспроизводит его до допуска итераций. В каркасах с гибкими колоннами и стенами разница заметно больше.

Что важно учитывать:

• Прочие комбинации считаются с продольными силами определяющей. Если сжатие элемента в комбинации больше, чем в определяющем состоянии, P-Δ недоучтён; если меньше — переучтён. Для каркасов, где продольные силы создают в основном вертикальные нагрузки, это приемлемо; если горизонтальные нагрузки заметно перераспределяют продольные силы, определяющей стоит выбирать комбинацию с наибольшим сжатием колонн и стен или считать несколько источников. Итог расчёта напоминает об этом отдельной строкой.
• Растянутые элементы получают положительную \(K_\sigma\) (жёсткость от натяжения) — тоже от определяющего состояния.
• Потеря устойчивости. Если \(K_s + K_\sigma\) не положительно определена, определяющее нагружение близко к критическому или выше него: расчёт останавливается с ошибкой, называющей узел и степень свободы. Запасного решателя нет — выше критической нагрузки линейное решение смысла не имеет.
• Нижний предел \(e_{min}\) повышает жёсткость сильно треснувших КЭ, поэтому запас устойчивости получается немного завышенным.
• Источник с большими перемещениями (флажок «Большие перемещения», коротационная формулировка) допускается с предупреждением: \(K_\sigma\) собирается по исходной геометрии, результат приближённый, и самопроверка покажет расхождение.
• Источник без геометрической нелинейности — флажок недоступен; у сохранённой постановки он не действует, а итог сообщает, что расчёт выполнен первого порядка.
• Проверки по КЭ. Наборы усилий такого результата помечены как второго порядка, и проверки по КЭ не умножают их моменты на коэффициент η п. 8.1.15: P-Δ уже учтён в усилиях. То же относится к наборам секущего расчёта с геометрической нелинейностью.

Нижний предел жёсткости

У сильно треснувших КЭ секущая жёсткость может быть очень малой, и линейная схема на таких жёсткостях становится плохо обусловленной. Поэтому диагональ матрицы сечения не опускается ниже \(e_{min}\) от начальной упругой: строка и столбец компоненты умножаются на \(\sqrt{e_{min}\,k_0/k}\). Так сохраняются симметрия и положительная определённость матрицы.

\(e_{min}\) — общая настройка программы: окно настроек, вкладка «OpenSees», группа «CSfea — секущий расчёт схемы», поле Нижний предел жёсткости e_min (линейный на секущих). По умолчанию 0,01, допустимо \(0 < e_{min} < 1\).

Если предел сработал у многих КЭ, определяющая комбинация уже не воспроизводится точно: схема на этих участках жёстче секущей.

Границы применимости

• Трещины — только от определяющего нагружения. Комбинации с другим знаком или другим расположением нагрузки получают трещины «не там»: ветер в обратную сторону, загружение через пролёт, монтажные состояния. Для таких комбинаций нужен свой источник жёсткостей или пакет вариантов.
• Жёсткость секущая, а не касательная. Приращение нагрузки сверх определяющей считается на той же секущей жёсткости, без дальнейшего снижения.
• P-Δ — по продольным силам определяющего состояния. Без флажка P-Δ геометрическая нелинейность источника влияет только на его состояние; с флажком линейная часть получает матрицу начальных напряжений определяющего состояния, и прочие комбинации считаются с его продольными силами (см. P-Δ источника).
• Армирование заданное. Подбора арматуры в ходе расчёта нет.
• Сетка схемы должна совпадать с сеткой источника. Если схема перестроена после расчёта источника, линейный расчёт остановится с сообщением «Пересчитайте источник».
• Сравнения нескольких наборов жёсткостей в одном результате и РСУ пока нет: сравниваются результаты разных постановок.

Сравнение с ЛИРА-САПР

Образец метода — режим ИН-2 ЛИРА-САПР: нелинейный расчёт на определяющее нагружение с заданным армированием и историей нагружения, затем линейный расчёт на полученных жёсткостях. Отличия OpenCS:

	ЛИРА-САПР, ИН-2	OpenCS
Расчёт определяющего нагружения	шаговый	секущий CSfea по стадиям
Жёсткость линейной части	касательная последнего шага	секущая конечного состояния
Подбор арматуры в ходе расчёта (ИН-1)	есть	нет, армирование заданное

Кроме того, OpenCS может перенести в линейную часть P-Δ определяющего нагружения — матрицу начальных напряжений по продольным силам источника, посчитанного с геометрической нелинейностью (см. P-Δ источника).

Проверки

Задача	Величина	Эталон	OpenCS
ЖБ-балка с трещинами, две стадии; линейный расчёт определяющей нагрузки на записанных матрицах	max |Δu| / max |u| относительно секущего расчёта	0	< 10⁻⁹
ЖБ-полоса, ось сечения под 30° к осям КЭ	то же	0	< 10⁻⁹
Плита: секущий расчёт → команда → линейный по загружениям → наборы по загружениям → проверка пластины по КЭ	самопроверка	0	< 10⁻⁹
ЖБ-балка, \(e_{min}\) = 0,9	предел срабатывает у треснувших КЭ, самопроверка с пометкой «ожидаемо»	> 10⁻³	> 10⁻³, пометка есть
P-Δ: упругая консоль-стойка 6 м, 0,4×0,4 м, P = 0,4·P_cr и H = 1 кН отдельными загружениями; источник второго порядка на P + H	\((u_P + u_H)/u_{ист}\)	1	1,0000
то же	усиление прогиба от H: \(\delta/\delta_0 = 3(\operatorname{tg} v - v)/v^3\), \(v = \tfrac{\pi}{2}\sqrt{P/P_{cr}}\)	1,6576	1,6576
то же	момент в заделке от H: \(H L + P u_H\)	9,272 кН·м	9,272 кН·м (реакция), 9,277 кН·м (усилия КЭ)
P-Δ: стена-консоль 1×6 м в своей плоскости, сетка 4×24, P = 0,4·P_cr	усиление прогиба от горизонтальной силы	1,6576	в пределах 2,5 %
P-Δ: та же стойка, продольная сила ≈ 1,2·P_cr	ошибка «потеря устойчивости» с узлом	есть	есть
P-Δ: плита, секущий второго порядка → линейный с флажком → наборы по загружениям	самопроверка; признак второго порядка у наборов	≤ 10⁻²; у всех	5,7·10⁻⁶; у всех

Тесты: CSfea.Tests/RcRecordedSectionsTests.cs, CSfea.Tests/RcLinearPDeltaTests.cs, OpenCS.Gmsh.Tests/FemCsfeaRunnerTests.cs (LinearOnStiffness_Command_EndToEnd, Linear_WithSourcePDelta_SolvesSecondOrder).