Перейти к содержанию

Плита: метод Вуда-Армера

Метод Вуда-Армера приводит шесть усилий плоского выделенного элемента плиты или стены (Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxy) к расчётным усилиям четырёх полос: по направлениям арматуры X и Y у верхней и нижней граней. Каждая полоса затем проверяется как нормальное сечение единичной ширины — по формулам СП 63.13330 или по нелинейной деформационной модели (список Модель полосы в параметрах задачи; новые задачи — НДМ). Пара полос X, Y одной грани показывается вместе.

Правило приведения моментов предложено Р. Вудом (R. H. Wood, 1968) и дополнено Г. Армером (G. S. T. Armer, 1968). Правило исходит из критерия текучести по нормальным моментам и даёт моменты, которые при армировании по направлениям X/Y перекрывают нормальный момент на площадке любого направления. СП 63 в п. 8.1.54 допускает, помимо расчёта с разделением на слои, и другие методы, основанные на равновесии внешних усилий по сторонам выделенного элемента и внутренних усилий в диагональном сечении; метод Вуда-Армера можно рассматривать как один из них.

Где применяется

Задача Kind Что проверяется
Пластина: прочность (Wood & Armer) shell_simpl_wa_uls прочность четырёх полос, ПС1
Пластина: прочность WA (набор) shell_simpl_wa_uls_batch то же по всем строкам набора усилий
Пластина: трещины (Wood & Armer) shell_simpl_wa_sls ширина раскрытия трещин четырёх полос, ПС2
Пластина: трещины WA (набор) shell_simpl_wa_sls_batch то же по всем строкам набора усилий

Реализация — CScore/ShellSimplSolver.cs. Та же проверка доступна в нормативных проверках МКЭ-модели (PlateCheckParams.Kind = shell_simpl_wa_uls | shell_simpl_wa_sls).

Исходные данные

  • Плитное сечение PlateSection: толщина h, арматурные слои RebarLayers с площадями Asx, Asy (м²/м), координатами Zsx, Zsy от срединной плоскости и диаметрами.
  • Слои с z ≤ 0 суммируются в нижнюю арматуру, слои с z > 0 — в верхнюю. Привязка a каждой грани — расстояние от грани до ближайшего к ней центра стержней этой грани. Несколько рядов у одной грани, таким образом, заменяются одним рядом суммарной площади на привязке крайнего ряда.
  • Материалы: для ПС1 — расчётные характеристики (C), для ПС2 — нормативные (N).
  • Усилия на единицу ширины: N — кН/м («+» — растяжение), M — кН·м/м. Положительные Mx, My растягивают верхнюю грань (+Z), см. соглашения о знаках.

Шаг 1. Расчётные моменты граней

Для верхней грани:

\[ M_x' = M_x + |M_{xy}|,\qquad M_y' = M_y + |M_{xy}|. \]

Если M'x < 0, арматура X у этой грани не нужна, и момент перераспределяется на другое направление:

\[ M_x' = 0,\qquad M_y' = M_y + \frac{M_{xy}^2}{|M_x|}; \]

симметрично при M'y < 0: M'y = 0, M'x = Mx + Mxy²/|My|. Отрицательные значения после этого принимаются равными нулю.

Для нижней грани те же формулы применяются к −Mx, −My: момент, растягивающий нижнюю грань, считается положительным.

Шаг 2. Мембранные усилия

Для мембранных усилий используется то же правило, что и для моментов:

\[ N_x' = N_x + |N_{xy}|,\qquad N_y' = N_y + |N_{xy}|, \]

с той же заменой N'x = 0, N'y = Ny + Nxy²/|Nx| (и симметричной) при отрицательном результате. Положительное N' — растяжение направления, оно передаётся в полосы как есть.

Правило построено для подбора растянутой арматуры и отрицательный результат означает лишь, что растянутая арматура в этом направлении не требуется. При проверке сжатое направление не обнуляется: сдвиг Nxy может как уменьшить, так и увеличить сжатие площадки, поэтому берутся обе границы:

\[ N_{\text{min}} = \min(0,\ N + |N_{xy}|),\qquad N_{\text{max}} = N - |N_{xy}|. \]
  • Прочность: полоса проверяется с каждым из двух значений, в результат идёт больший Кисп.
  • Трещины: берётся наименьшее обжатие N_min, оно неблагоприятно для ширины раскрытия.

При Nxy = 0 оба значения совпадают с N.

Шаг 3. Четыре полосы

Полоса Момент Продольная сила h0 Растянутая арматура Сжатая арматура
x, верх M'x верхней грани N'x h − a_верх Asx верх Asx низ
x, низ M'x нижней грани N'x h − a_низ Asx низ Asx верх
y, верх M'y верхней грани N'y h − a_верх Asy верх Asy низ
y, низ M'y нижней грани N'y h − a_низ Asy низ Asy верх

Ширина каждой полосы b = 1 м, a' — привязка противоположной грани.

Грань, которую момент сжимает, при растягивающей силе

Расчётные моменты шага 1 — частный выбор в условии (8.100) п. 8.1.54 СП 63

\[ (M_{x,ult} - M_x)(M_{y,ult} - M_y) - M_{xy}^2 \ge 0 : \]

при M'x = Mx + k·|Mxy|, M'y = My + |Mxy|/k оно выполняется для любого k > 0, и достаточно одного k. Основная запись отвечает k = 1; при M'x < 0 правило Вуда берёт k = |Mx/Mxy| и получает M'x = 0.

Без продольной силы нулевой момент означает, что арматура этой грани не нужна. При растягивающей N' это уже не так: полоса с M' = 0 проверяется как центрально растянутая, и половина силы приходится на арматуру грани, которую фактический момент сжимает. По п. 8.1.54 предельные моменты при действии продольной силы определяются с её учётом (п. 8.1.57), то есть момент, уводящий равнодействующую к другой грани, в расчёте участвовать должен.

Поэтому в проверке прочности для грани, у которой момент обнулён, а N' > 0, дополнительно рассматривается пара k = 1 без обнуления:

\[ M_x' = M_x + |M_{xy}| < 0,\qquad M_y' = M_y + |M_{xy}|. \]

Полоса с отрицательным моментом считается как то же сечение с растянутой противоположной гранью и моментом |M'|; проверяются оба ряда арматуры. Из двух пар («правило Вуда» и k = 1) берётся та, у которой наибольший Кисп двух полос грани меньше. В результате такая полоса показывается с отрицательным моментом и пометкой «Момент сжимает грань».

Пример: h = 200 мм, привязка 40 мм, B25, A500; по X верх 11,5 см²/м, низ 2,6 см²/м; Nx = +363, Nxy = 22 кН/м, Mx = +37,3, Mxy = 2 кН·м/м.

Полоса «x, низ» M', кН·м/м N', кН/м Кисп
правило Вуда, M' = 0 0 385 385·0,06/(435·2,6·10⁻¹·0,12) = 1,70
пара k = 1 −35,3 385 0,68

Решающей остаётся полоса «x, верх» с полным моментом 39,3 кН·м/м: Кисп = 0,90.

Шаг 4. Проверка полосы по прочности

Шаги 4 и 5 относятся к модели полосы «Формулы СП 63»; при модели НДМ полоса считается по нелинейной деформационной модели. Проверка общая для методов Вуда-Армера и Капра-Мори (ShellSimplSolver.ComputeStripUls). Граничная относительная высота сжатой зоны

\[ \xi_R = \frac{0{,}8}{1 + R_s/(E_s\cdot 0{,}0035)}. \]

Сжатие (N < 0), п. 8.1.14. При Nc = −N:

\[ x = \frac{N_c + R_sA_s - R_{sc}A_s'}{R_b b}\quad(8.12), \]

при x/h0 > ξR — по (8.13):

\[ x = \frac{N_c + R_sA_s\frac{1+\xi_R}{1-\xi_R} - R_{sc}A_s'}{R_b b + \frac{2R_sA_s}{h_0(1-\xi_R)}}. \]
\[ \text{Кисп} = \frac{N_c\,e}{R_b b x(h_0 - 0{,}5x) + R_{sc}A_s'(h_0 - a')},\qquad e = \frac{M}{N_c} + \frac{h_0 - a'}{2}. \]

Коэффициент η влияния прогиба (п. 8.1.15) и случайный эксцентриситет (п. 8.1.7) в этой проверке не учитываются (η = 1, e0 = M/N). Для гибких стен их нужно учесть отдельно, увеличив момент во входных усилиях.

Изгиб (N = 0), пп. 8.1.8, 8.1.9, 8.1.13.

\[ x = \frac{R_sA_s - R_{sc}A_s'}{R_b b}\ \text{(не более } \xi_R h_0\text{)},\qquad M_{ult} = R_b b x(h_0 - 0{,}5x) + R_{sc}A_s'(h_0 - a'). \]

При x ≤ 2a' сжатая арматура не учитывается (п. 8.1.13): x0 = Rs·As/(Rb·b), M_ult = Rs·As·(h0 − x0/2) при x0 < 2a', иначе Rs·As·(h0 − a'). Кисп = M/M_ult.

Растяжение (N > 0), п. 8.1.19. e0 = M/N.

  • e0 < (h0 − a')/2, п. 8.1.19а: проверяются оба условия (8.20), (8.21), Кисп = max(N·e / (Rs·A's·(h0 − a')), N·e' / (Rs·As·(h0 − a'))), e = (h0 − a')/2 − e0, e' = (h0 − a')/2 + e0.
  • e0 ≥ (h0 − a')/2, п. 8.1.19б: x = (Rs·As − Rsc·A's − N)/(Rb·b), не более ξR·h0; Кисп = N·(e0 − (h0 − a')/2) / (Rb·b·x·(h0 − 0,5x) + Rsc·A's·(h0 − a')). Если по (8.25) получается x ≤ 0, сжатой зоны при учёте сжатой арматуры нет — см. следующий раздел.

Итоговый Кисп задачи — наибольший по четырём полосам.

Сжатая арматура при малой высоте сжатой зоны

СП 63 оговаривает случай x < 2a' только для изгиба: по п. 8.1.13, если высота сжатой зоны, вычисленная без учёта сжатой арматуры (A's = 0), меньше 2a', в формулу (8.9) вместо a' подставляют x/2. Сжатая арматура при такой высоте сжатой зоны до Rsc не дорабатывает, и формула с Rsc·A's занижает плечо внутренней пары.

В пп. 8.1.14 и 8.1.19 такой оговорки нет. В плите продольная сила почти никогда не равна нулю точно, высота сжатой зоны составляет несколько миллиметров, и буквальная подстановка Rsc·A's в (8.10) или (8.24) даёт несущую способность примерно на 20 % меньше, чем та же полоса при N = 0. Поэтому в OpenCS принято следующее.

  • Сжатие и растяжение с сжатой зоной, x ≤ 2a'. Условие (8.10) или (8.20) считается второй раз при A's = 0 — с высотой сжатой зоны по тем же формулам без сжатой арматуры — и в результат идёт больший предельный момент. Обе схемы статически допустимы: напряжение в сжатой арматуре может быть любым от нуля до Rsc.
  • Растяжение, по (8.25) x ≤ 0. Без сжатой арматуры сжатая зона бетона существует, пока N < Rs·As: x = (Rs·As − N)/(Rb·b). Если эта высота меньше 2a', момент берётся относительно равнодействующей сжатого бетона, как в п. 8.1.13:
\[ \text{Кисп} = \frac{N\,e''}{R_sA_s(h_0 - 0{,}5x)},\qquad e'' = e_0 + \frac{h_0 - a'}{2} + a' - 0{,}5x, \]

где e'' — расстояние от силы до центра сжатой зоны. Эта запись тождественна условию (8.20) с M_ult по (8.24) при A's = 0, а на границе e0 = (h0 − a')/2 совпадает с условием (8.21) п. 8.1.19а. При N ≥ Rs·As сжатой зоны нет и без сжатой арматуры — остаётся условие (8.21).

В строке результата такие полосы помечены «x ≤ 2a′, без A′s». Формульная проверка стержневых нормальных сечений (sp63_normal) этим правилом не затронута.

Пример (сжатие): h = 200 мм, привязка 40 мм, B25, A500, As = 2,66, A's = 2,6 см²/м, M = 18,29 кН·м/м, N = −3,6 кН/м.

Схема x, мм M_ult, кН·м/м Кисп
(8.10) с Rsc·A's 1,06 14,92 1,24
(8.10) при A's = 0 8,23 18,60 0,995
изгиб при N = 0, п. 8.1.13 7,98 18,05 1,01

Шаг 5. Ширина раскрытия трещин полосы

Также общая для обоих формульных методов (ShellSimplSolver.ComputeStripSls), характеристики материалов — нормативные.

  1. Момент образования трещин (пп. 8.2.10–8.2.12): Mcrc = Rbt,ser·Wpl − N·ex, Wpl = γ·Wred, ex = Wred/Ared; по умолчанию γ = 1,3. Приведённое сечение без трещины — с α = Es/Eb. Трещина есть, если M > Mcrc.
  2. Высота сжатой зоны сечения с трещиной: изгибная x_M по п. 8.2.28 с αs1 = Es/Eb,red, Eb,red = Rb,ser/0,0015, поправка на продольную силу по (8.154): x_m = x_M − I_red·N/(A_red·M).
  3. Напряжение в арматуре по (8.134) для сечения с трещиной: σs = αs1·[Mc·(h0 − yc)/Ired + N/Ared]. По п. 8.2.16 Ared, yc и Ired — площадь приведённого сечения с трещиной (сжатая зона x_m и арматура с αs1), расстояние от сжатой грани до его центра тяжести и момент инерции относительно этого центра тяжести; yc не равно x_m, в отличие от (8.129) для изгиба. Внешний момент задан относительно середины высоты и переносится к тому же центру тяжести: Mc = M + N·(h/2 − yc). При N = 0 запись совпадает с формулой для изгиба. Если x_m ≤ 0, сечение растянуто насквозь, бетон из работы исключается и растяжение делят оба ряда арматуры: F = (M + N·(h/2 − a'))/(h0 − a'), σs = F/As; при x_m → 0 формула (8.134) сама переходит в это равновесие, поэтому скачка на границе нет.
  4. σs,crc — то же σs при M = Mcrc (п. 8.2.18), ψs = 1 − 0,8·σs,crc/σs в пределах 0,1…1,0.
  5. Расстояние между трещинами по п. 8.2.17: ls = 0,5·Abt/As·ds в пределах max(10ds; 100 мм)…min(40ds; 400 мм); высота растянутой зоны для Abt — по сечению без трещины, в пределах 2a…0,5h0.
  6. Ширина раскрытия (8.128): acrc = φ1·φ2·φ3·ψs·σs/Es·ls, φ3 = 1,2 при растягивающей N, иначе 1,0.

При сквозном растяжении (x_m ≤ 0) растянут и ряд у грани, которую момент не растягивает, и трещина есть у обеих граней. Сила во втором ряду берётся из того же равновесия, F2 = N − F. Поэтому для полос одного направления проверяется и такая пара: если у полосы противоположной грани x_m ≤ 0, её второй ряд — это ряд данной грани, и он растянут даже при нулевом расчётном моменте данной грани (тогда собственная полоса трещины не видит вовсе). В результат полосы идёт большая из двух ширин раскрытия.

Задача одного сочетания считает ширину при заданном φ1. Продолжительное и непродолжительное раскрытие по п. 8.2.7 (acrc = acrc,1 и acrc = acrc,1 + acrc,2 − acrc,3) собираются из трёх запусков: длительное сочетание при φ1 = 1,4, полное и длительное — при φ1 = 1,0.

Ограничения

  • Моменты для трещин приводятся тем же правилом Вуда, то есть с добавкой |Mxy|. П. 8.1.59 предписывает считать трещиностойкость плит по изгибающим моментам без учёта крутящих. При заметном кручении метод даёт ширину раскрытия с запасом.
  • Полосы проверяются независимо друг от друга: совместная работа направлений учтена только правилом приведения.
  • Поперечная сила проверяется по пп. 8.1.32–8.1.33 на полосе 1 м площадки наибольшей Q, как у Капра-Мори. Продавливание и проверка стены в своей плоскости по сдвигу (8.113)–(8.115) в эту задачу не входят.
  • Несколько рядов арматуры у одной грани заменяются одним рядом на привязке крайнего ряда.

Проверка

Связанные страницы: метод Капра-Мори, слоистая модель, плиты и оболочки.