Пример 33 пособия — колонна на поперечную силу

ID: TEST-SHEAR-INCLINED-EXAMPLE-33
Статус: контрольный численный тест
Вердикт: прочность обеспечена по точным проверкам (8.55) и (8.56)
Источник эталона: Пособие к СП 63.13330.2018, раздел 3.2, пример 33

Тест проверяет расчёт колонны по наклонным сечениям на действие поперечной силы и сопоставляет его с ручным решением из пособия к СП 63.13330.2018. Ниже приведена полная численная трассировка текущего алгоритма OpenCS. Упрощённая проверка (8.60) показана как справочная оценка: в итоговый коэффициент и вердикт она не входит.

Условие задачи

В примере 33 требуется проверить прочность колонны многоэтажного рамного каркаса на действие поперечной силы. Колонна имеет прямоугольное сечение b = 400 мм, h = 600 мм; расстояния до продольной арматуры с обеих граней a = a' = 50 мм. Принят тяжёлый бетон B25: Rb = 14,5 МПа, Rbt = 1,05 МПа.

Поперечное армирование — хомуты A240: Rsw = 170 МПа, Ø12 мм, Asw = 226 мм², sw = 400 мм. Опорные моменты Msup = 350 кН·м и Minf = 250 кН·м; продольная сила N = 572 кН сжимающая; расстояние между опорными сечениями l = 3,3 м.

Площадь Asw принята как суммарная площадь ветвей хомута, работающих в рассматриваемой плоскости сдвига.

Исходные данные в единицах расчёта

Величина	Значение
Ширина и высота	`b = 0,400 м`, `h = 0,600 м`
Защитный слой и рабочая высота	`a = 0,050 м`, `h0 = h − a = 0,550 м`
Бетон	`Rb = 14 500 кПа`, `Rbt = 1 050 кПа`, `Eb = 30 000 000 кПа`
Деформация вершины диаграммы бетона	`εb0 = 0,002`
Продольная сила	в OpenCS `N = −572 кН` (сжатие)
Хомуты	`Rsw = 170 000 кПа`, `Asw = 226·10⁻⁶ м²`, `sw = 0,400 м`

Поперечная сила получается из опорных моментов:

\[ Q = \frac{M_{sup}+M_{inf}}{l} = \frac{350+250}{3,3} = 181,818\;\text{кН}. \]

Погонное усилие хомутов:

\[ q_{sw}=\frac{R_{sw}A_{sw}}{s_w} =\frac{170\,000\cdot226\cdot10^{-6}}{0,400} =96,05\;\text{кН/м}. \]

Для проверки недостаточности поперечной арматуры:

\[ 0,25R_{bt}b=0,25\cdot1050\cdot0,400=105,00\;\text{кН/м}. \]

Следовательно, qsw = 96,05 < 105,00 кН/м: в (8.56) для Qb применяется специальная формула из п. 8.1.33.

Коэффициент продольной силы: трассировка `Ared` и `φn`

В СП 63.13330, п. 8.1.34, приведённая площадь определяется как

\[ A_{red}=A+\frac{E_s/E_b}{\nu_b}A_s, \qquad \nu_b=\frac{R_b}{\varepsilon_{b0}E_b}. \]

Для примера продольная арматура не задана, поэтому As = 0; даже при принятом в OpenCS Es = 200 000 000 кПа её вклад равен нулю. Последовательность вычислений:

\[ \nu_b=\frac{14\,500}{0,002\cdot30\,000\,000}=0,241667, \]

\[ A=bh=0,400\cdot0,600=0,240\;\text{м}^2, \qquad A_{red}=0,240+\frac{200\,000\,000/30\,000\,000}{0,241667}\cdot0=0,240\;\text{м}^2, \]

\[ \sigma_{cp}=\frac{|N|}{A_{red}}=\frac{572}{0,240}=2\,383,33\;\text{кПа}, \]

\[ \varphi_n=1+\frac{\sigma_{cp}}{R_b} =1+\frac{2\,383,33}{14\,500} =1,164368, \]

ветвь σcp ≤ 0,25·Rb п. 8.1.34 в редакции Изменения № 2: σcp/Rb = 0,164.

Таким образом, для этого примера Ared совпадает с полной площадью бетона и φn совпадает с ручным расчётом пособия до округления.

Точная проверка бетонной полосы — (8.55)

Для сжатого элемента к бетонной полосе применяется φn:

\[ Q_{ult,8.55}=0,30\varphi_nR_bbh_0 =0,30\cdot1,164368\cdot14\,500\cdot0,400\cdot0,550 =1\,114,30\;\text{кН}. \]

\[ К_{исп,8.55}=\frac{181,818}{1\,114,30}=0,16317. \]

Точная проверка наклонного сечения — (8.56)

Код перебирает бетонную проекцию C от 0 до 3h0 = 1,650 м. Вклад хомутов ограничен значением min(C; 2h0), поэтому после 2h0 = 1,100 м не растёт.

Специальная бетонная составляющая при малом qsw до отсечек:

\[ Q_{b,raw}=\frac{4\varphi_{b2}h_0^2q_{sw}}{C} =\frac{4\cdot1,5\cdot0,550^2\cdot96,05}{C} =\frac{174,33075}{C}\;\text{кН}. \]

В OpenCS к этой величине применяются границы (8.57), а затем φn:

\[ Q_b=\varphi_n\operatorname{clamp}\left(Q_{b,raw};\;0,5R_{bt}bh_0;\;2,5R_{bt}bh_0\right), \]

\[ 0,5R_{bt}bh_0=115,50\;\text{кН}, \qquad 2,5R_{bt}bh_0=577,50\;\text{кН}. \]

Хомуты воспринимают:

\[ Q_{sw}=0,75q_{sw}\min(C;2h_0). \]

Нижняя отсечка Qb достигается при

\[ C=\frac{174,33075}{115,50}=1,50936\;\text{м}. \]

Отсюда и до 3h0 несущая способность постоянна:

\[ Q_b=1,164368\cdot115,50=134,48\;\text{кН}, \]

\[ Q_{sw}=0,75\cdot96,05\cdot1,100=79,24\;\text{кН}, \]

\[ Q_{ult,8.56}=134,48+79,24=213,73\;\text{кН}, \qquad К_{исп,8.56}=\frac{181,818}{213,73}=0,85071. \]

Контрольные точки кривой перебора:

`C`, м	`Qb`, кН	`Qsw`, кН	`Qb + Qsw`, кН	`Кисп`
`0,000`	`672,42`	`0,00`	`672,42`	`0,270`
`h0 = 0,550`	`369,06`	`39,62`	`408,68`	`0,445`
`2h0 = 1,100`	`184,53`	`79,24`	`263,77`	`0,689`
`1,50936`	`134,48`	`79,24`	`213,73`	`0,851`
`3h0 = 1,650`	`134,48`	`79,24`	`213,73`	`0,851`

График перебора проекции наклонного сечения для примера 33

Справочная упрощённая проверка — (8.60)

При удалённой опоре (без приопорного множителя) программа получает:

\[ Q_{b,1}=\varphi_n\cdot0,5R_{bt}bh_0=134,48\;\text{кН}. \]

Поскольку qsw < 0,25Rbtb, хомуты в упрощённой проверке не учитываются. Поэтому

\[ К_{исп,8.60,ref}=\frac{181,818}{134,48}=1,35196. \]

Это не отменяет прохождение расчёта: (8.60) сохранена в деталях как справочная оценка и не участвует в итоговом вердикте.

Итоговый результат OpenCS

Проверка	Несущая способность	Коэффициент использования	Роль
Бетонная полоса, (8.55)	`1 114,30 кН`	`0,163`	точная
Наклонное сечение, (8.56)	`213,73 кН`	`0,851`	точная, определяющая
Упрощённая, (8.60)	`134,48 кН`	`1,352`	справочно

Итоговый коэффициент строится только по точным проверкам:

\[ К_{исп}=\max(К_{исп,8.55};К_{исп,8.56}) =\max(0,16317;0,85071) =0,85071<1,0. \]

Прочность по точным проверкам обеспечена; определяет наклонное сечение по поперечной силе (8.56).

Сопоставление с пособием

Показатель	Пособие	OpenCS
`h0`	`0,550 м`	`0,550 м`
`Q`	`181,8 кН`	`181,818 кН`
`qsw`	`96,1 кН/м`	`96,05 кН/м`
`Ared`	`0,240 м²`	`0,240 м²`
`φn`	`1,164`	`1,164368`
`Qsw`	`79,28 кН`	`79,24 кН`
`Qb` в (8.56)	`105,7 кН`	`134,48 кН`
`Qb + Qsw` в (8.56)	`184,98 кН`	`213,73 кН`
Коэффициент использования	`0,983`	`0,851`

Ared, φn и погонное усилие хомутов теперь воспроизводятся. Числа в (8.56) различаются, поскольку пособие заменяет Rbt·b значением 4qsw, а OpenCS применяет специальную формулу 4φb2h0²qsw/C с нормативными нижней и верхней отсечками для Qb. Оба расчёта дают прохождение точной проверки.

Критерий прохождения

Тест считается пройденным, если результат содержит:

Q = 181,8…181,9 кН, qsw = 96,0…96,1 кН/м, Ared = 0,240 м² и φn = 1,163…1,165;
Qult,8.55 = 1 114,0…1 114,6 кН и Кисп,8.55 = 0,162…0,164;
на плато (8.56) Qb = 134,4…134,6 кН, Qsw = 79,2…79,3 кН, Qult = 213,6…213,9 кН, Кисп,8.56 = 0,850…0,852;
итог Кисп = 0,850…0,852, статус «прочность обеспечена» и определяющую формулу (8.56);
справочный результат (8.60) около Кисп = 1,352, который не меняет итоговый статус.

Результат пособия 184,98 кН > 181,8 кН и Кисп = 0,983 остаётся независимым ручным ориентиром, а не побочным условием прохождения программного теста.

Диагностика

Если φn равно примерно 1,680, используется устаревший расчёт Ared = Ab·νb + AsTotal; для этого примера ожидается 1,164.
Если qsw отличается от 96,05 кН/м, проверьте единицы Asw, sw и число работающих ветвей хомута.
Если точная проверка (8.56) даёт другую критическую область, проверьте диапазон C = 0…3h0, отсечки Qb и ограничение вклада хомутов Csw ≤ 2h0.
Проверка наклонного сечения по моменту (8.63) в этот тест не входит: исходный пример не содержит площади и сопротивления продольной арматуры.

Связанные страницы: расчёт наклонных сечений, раздел тестов.