Полоса плиты по НДМ и подбор сеток Капра-Мори

Тест проверяет полосу плиты по нелинейной деформационной модели и построенные на ней возможности метода Капра-Мори: подбор сеток, проверку через ограничения и поперечную силу. Эталоны — ручной расчёт по СП 63, стержневое фибровое сечение OpenCS и формульная полоса; для трещин — слоистая модель пластины.

ID: TEST-PLATE-NDM-01
Название: Полоса плиты по НДМ и подбор сеток Капра-Мори
Версия OpenCS: 59c29eb5

Постановка

Параметр	Значение
Толщина `h`	`200 мм`, ширина полосы `b = 1 м`
Арматура	`Ø12` шаг `200` по `X` и `Y` у каждой грани: `As = 5,655 см²/м`; центры рядов — `30 мм` от граней (`z = ±70 мм`), `h0 = 170 мм`
Бетон B25, вид `C`	`Rb = 14,5 МПа`, `Rbt = 1,05 МПа`, `Eb = 30 000 МПа`, `εb0 = 0,002`, `εb2 = 0,0035`, диаграмма трёхлинейная
Бетон B25, вид `N`	`Rb,ser = 18,5 МПа`, `Rbt,ser = 1,55 МПа`
Арматура A500	`Rs = 435 МПа` (`C`), `Rs,ser = 500 МПа` (`N`), `Es = 200 000 МПа`, диаграмма двухлинейная, `εs,ult = 0,025`

Знаки: N > 0 — растяжение, M > 0 растягивает верхнюю грань.

Решение в OpenCS

Создать сечение пластины h = 200 мм с двумя слоями арматуры Ø12/200 по X и Y на отметках ±70 мм, бетон B25, арматура A500.
Для проверки — задачи «Пластина: прочность (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_uls) и «Пластина: трещины (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_sls), шаг перебора 10°, модель полосы «НДМ полосы»; для сравнения — та же задача с моделью «Формулы СП 63».
Для подбора — «Пластина: подбор сеток Капри-Мори (ПС1)» (shell_simpl_capri_design_uls) с усилиями Mx = 30, My = 10, Mxy = 8 кН·м/м.
Для поперечной силы — поля Qx, Qy задачи ПС1.

Все числа ниже воспроизводятся тестами CScore.Tests/ShellSimpl/* (список — в конце страницы).

Сечение полосы против стержневого сечения

Полоса 1 м × 0,2 м с двумя рядами — то же, что стержневое сечение 1000 × 200 мм с двумя точечными стержнями. При одинаковой плоскости деформаций и одинаковых диаграммах усилия должны совпасть. Стержневое сечение интегрируется фибровым методом (400 полос по высоте), полоса — кусочной квадратурой Гаусса.

`ε₀`	`κ`, 1/м	`N`, кН/м: стержневое	`N`, кН/м: полоса	`M`, кН·м/м: стержневое	`M`, кН·м/м: полоса
`0,0003`	`0,020`	`−620,89`	`−620,89`	`71,286`	`71,286`
`−0,0005`	`−0,015`	`−1321,43`	`−1321,43`	`−81,070`	`−81,070`
`−0,0012`	`0,005`	`−2552,77`	`−2552,77`	`34,413`	`34,413`
`0,002`	`0,010`	`393,01`	`393,01`	`6,927`	`6,927`
`−0,0001`	`0,030`	`−1155,63`	`−1155,63`	`100,639`	`100,639`

Совпадение — до последнего показанного знака; допуск теста — 0,5 %. Диаграмма бетона в этой сверке двухлинейная — так же, как в стержневом сечении.

Прочность полосы

Кисп = 1/λ, λ — предельный множитель усилий по лучу (N, M). Ручной расчёт возможен для центрального сжатия, центрального растяжения и для формулы изгиба.

Случай	`N`, кН/м	`M`, кН·м/м	Ручной расчёт	OpenCS, НДМ	Шарнир	OpenCS, формулы
Центральное сжатие	`−2000`	`0`	`λ = 1,6762`	`λ = 1,6762`	C	`Кисп = 0,615` ¹
Центральное растяжение	`2000`	`0`	`Кисп = 4,065`	`Кисп = 4,065`	A	`Кисп = 4,065`
Изгиб	`0`	`20`	`Кисп = 0,503` (формула)	`Кисп = 0,496`	B	`Кисп = 0,503`
Внецентренное сжатие	`−800`	`20`	—	`Кисп = 0,323`	B	`Кисп = 0,512`
Внецентренное сжатие	`−1500`	`10`	—	`Кисп = 0,486`	C	`Кисп = 0,558`
Внецентренное растяжение	`100`	`15`	—	`Кисп = 0,555`	A	`Кисп = 0,604`

¹ Формульная полоса проверяет сжатие условием N·e ≤ M_ult п. 8.1.14, это другая мера.

Ручной расчёт:

центральное сжатие — равномерная деформация −εb0 = −0,002: бетон на Rb, арматура Es·0,002 = 400 МПа:

\[ N_{ult} = R_b\,b\,h + 2\,\sigma_s A_s = 14\,500\cdot 0{,}2 + 2\cdot 400\,000\cdot 5{,}655\cdot10^{-4} = 3352{,}4\ \text{кН/м},\qquad \lambda = \frac{3352{,}4}{2000} = 1{,}6762; \]
центральное растяжение — обе сетки на Rs:

\[ N_{ult} = R_s\,(A_{s1} + A_{s2}) = 435\,000\cdot 11{,}31\cdot10^{-4} = 491{,}98\ \text{кН/м},\qquad K_{\text{исп}} = \frac{2000}{491{,}98} = 4{,}065; \]
изгиб по п. 8.1.8 без учёта сжатой арматуры (x < 2a', формульная полоса берёт большее из двух допустимых значений M_ult):

\[ x = \frac{R_s A_s}{R_b\, b} = \frac{245{,}99}{14\,500} = 0{,}0170\ \text{м},\qquad M_{ult} = R_s A_s\,(h_0 - x/2) = 245{,}99\cdot(0{,}170 - 0{,}0085) = 39{,}73\ \text{кН·м/м}, \]

Кисп = 20/39,73 = 0,503.

НДМ при изгибе даёт M_ult = λ·M = 2,0161·20 = 40,32 кН·м/м, на 1,5 % больше формулы: предел наступает раздавливанием сжатой грани (шарнир B), растянутая арматура при этом деформирована на 0,0197. При внецентренном сжатии расхождение с формулами больше; часть его относится к мере Кисп (формулы — момент относительно растянутой арматуры при заданной N, НДМ — пропорциональный рост N и M).

Плоскости предельных состояний изгиба и внецентренного растяжения проверены и на стержневом сечении: при ε₀ = 0,01016, κ = 0,13661 1/м стержневое сечение даёт M = 40,320 кН·м/м против 40,323 у полосы, при ε₀ = 0,01331, κ = 0,16706 1/м — N = 180,32, M = 27,044 против 180,30 и 27,046. Эпюры построены по этим плоскостям (ось s отсчитывается от сжатой грани).

Эпюра деформаций полосы в предельном состоянии при изгибе, шарнир B

Эпюра напряжений полосы в предельном состоянии при изгибе, шарнир B

Эпюра деформаций полосы в предельном состоянии при внецентренном растяжении, шарнир A

Эпюра напряжений полосы в предельном состоянии при внецентренном растяжении, шарнир A

Трещины полосы

Ширина раскрытия трещин полосы по НДМ сравнивается со слоистой моделью пластины (ShellLayeredCrackWidth, 200 слоёв по толщине) при одноосном нагружении (Mx, Nx). Обе модели определяют M_crc по деформациям и σs из сечения с трещиной, но интегрируют сечение независимо.

`N`, кН/м	`M`, кН·м/м	Величина	Слоистая модель	НДМ полосы
`0`	`30`	`M_crc`, кН·м/м	`18,802`	`18,802`
		`σs`, МПа	`333,63`	`333,62`
		`a_crc`, мм	`0,1664`	`0,1664`
`−100`	`32`	`M_crc`, кН·м/м	`23,401`	`23,402`
		`σs`, МПа	`265,38`	`265,37`
		`a_crc`, мм	`0,1291`	`0,1291`
`80`	`25`	`M_crc`, кН·м/м	`14,902`	`14,902`
		`σs`, МПа	`352,88`	`352,88`
		`a_crc`, мм	`0,1920`	`0,1920`

Допуски теста: 1 % по M_crc и σs, 2 % по a_crc.

Эквивалентный коэффициент γ для Wpl = γ·Wred, при котором формула пп. 8.2.10–8.2.12 дала бы тот же M_crc:

`N`, кН/м	`M_crc`, кН·м/м	`γ_экв`	`h_bt`, мм
`0`	`18,802`	`1,724`	`115,1`
`100`	`13,887`	`1,584`	`135,5`
`200`	`8,493`	`1,401`	`168,5`
`350`	`0`	`1,088`	`200,0`

При изгибе γ_экв ≈ 1,72 заметно выше нормативного 1,3; с ростом растягивающей силы он убывает, при N = 350 кН/м сечение трещит от одной продольной силы.

Подбор сеток Капра-Мори

Усилия: Mx = 30, My = 10, Mxy = 8 кН·м/м, N = 0, шаг площадок 10°. Все моменты растягивают верхнюю грань, нижняя сетка не требуется.

Площадка `θ`	`M(θ)`, кН·м/м	Требуемая `r(θ)`, см²/м	`As,n(θ)` подобранной сетки, см²/м
`0°`	`30,000`	`4,236`	`5,366`
`20°`	`32,803`	`4,639`	`5,029`
`30°`	`31,928`	`4,517`	`4,645`
`40°`	`29,615`	`4,175`	`4,175`
`50°`	`26,142`	`3,674`	`3,674`
`60°`	`21,928`	`3,064`	`3,204`
`90°`	`10,000`	`1,379`	`2,483`
`110°`	`7,197`	`0,989`	`2,821`

Подобранная верхняя сетка: Asx = 5,366, Asy = 2,483 см²/м; управляющие площадки — 40° и 50°, на них ограничения выполняются как равенства. Требование r(θ) наибольшее на площадке 20°, но управляет не она: сетка, перекрывающая площадки 40° и 50°, на 20° даёт запас.

Требуемая и обеспечиваемая площадь верхней сетки по площадкам

Сравнение с подбором по моментам Вуда (Mx + |Mxy| = 38, My + |Mxy| = 18 кН·м/м) той же полосой НДМ:

Величина	Вуд-Армер, НДМ полосы	Капра-Мори, подбор
`Asx` верх, см²/м	`5,420`	`5,366`
`Asy` верх, см²/м	`2,502`	`2,483`
Сумма, см²/м	`7,922`	`7,849`

Подбор Капра-Мори на 0,9 % экономнее: при Mx, My ≥ |Mxy| правило Вуда близко к оптимальному.

Проверка подобранной сетки той же задачей проверки (shell_simpl_capri_uls, НДМ): по фасеткам Кисп = 0,999, через ограничения Кисп = 1,000. Тест дополнительно проверяет, что уменьшение любой ненулевой компоненты на 1 % нарушает хотя бы одно ограничение.

Без кручения (Mx = 30, My = 12, Mxy = 0) подбор даёт Asx = 4,236, Asy = 1,660 см²/м — те же площади, что подбор одиночных полос X и Y (4,236 и 1,660), управляющие площадки — 0° и 90°.

Проверка через ограничения

Заданная сетка Ø12/200 (5,655 см²/м) у обеих граней, N = 0:

`Mx`, `My`, `Mxy`, кН·м/м	По фасеткам, НДМ	Через ограничения, НДМ	По фасеткам, формулы
`20`, `10`, `8`	`0,606`	`0,551`	`0,615`
`30`, `10`, `8`	`0,814`	`0,788`	`0,826`
`35`, `15`, `10`	`0,969`	`0,967`	`0,984`

Способы согласуются в главном: при Кисп по фасеткам меньше единицы через ограничения он тоже меньше единицы. Численно они различаются: по фасеткам сравниваются усилия, через ограничения — площади, а несущая способность полосы растёт медленнее площади арматуры.

Поперечная сила

Q₀ = √(Qx² + Qy²), h0 = 0,17 м, b = 1 м, Mx = 10 кН·м/м:

`Qx`, `Qy`, кН/м	`Nx`, кН/м	Величина	Ручной расчёт	OpenCS
`60`, `0`	`0`	(8.55) `0,3·Rb·b·h0`, кН/м	`0,3·14 500·0,17 = 739,50`	`739,50`
		(8.61) `0,5·Rbt·b·h0`, кН/м	`0,5·1050·0,17 = 89,25`	`89,25`
		`Кисп,Q`	`60/89,25 = 0,672`	`0,672`
`30`, `40`	`0`	`Q₀`, кН/м; `θ_Q`	`50,00`; `53,13°`	`50,00`; `53,13°`
		`Кисп,Q`	`50/89,25 = 0,560`	`0,560`
`150`, `0`	`0`	`qsw` по (8.62), кН/м²	`(150 − 89,25)/0,17 = 357,35`	`357,35`
		`Asw/sw` при `Rsw = 300 МПа`, см²/м²	`357,35/300 000 = 11,91`	`11,91`
`60`, `0`	`−1000`	`φn` (`σcp = 4,325 МПа`, `0,25·Rb < σcp ≤ 0,5·Rb`)	`1,25`	`1,25`
		(8.55), кН/м	`1,25·739,50 = 924,38`	`924,38`
		`Qb1`, кН/м	`1,25·89,25 = 111,56`	`111,56`
`60`, `0`	`300`	`φn` (`σtp = 1,354 МПа`)	`1 − 1,354/(2·1,05) = 0,355`	`0,355`
		`Qb1`, кН/м; (8.55) — без `φn`	`31,70`; `739,50`	`31,70`; `739,50`
		`qsw` (порог `0,25·Rbt·b`), кН/м²	`max((60 − 31,70)/0,17; 262,5) = 262,5`	`262,50`

σcp и σtp — продольная сила Nx, делённая на приведённую площадь полосы с арматурой, приведённой к площадке (п. 8.1.34). Класс арматуры в тестовом материале не задан, поэтому Rsw ограничено 300 МПа (табл. 6.15) с оговоркой в результате.

Критерий прохождения

усилия полосы и стержневого сечения при одной плоскости деформаций совпадают в пределах 0,5 %;
предельные усилия центрального сжатия и растяжения совпадают с ручным расчётом;
ширина раскрытия трещин совпадает со слоистой моделью в пределах 2 %;
подобранные сетки проходят проверку, минимальны и без кручения совпадают с подбором одиночных полос;
поперечная сила совпадает с ручным расчётом по (8.55), (8.61), (8.62) и п. 8.1.34.

Статус: пройден.

Тесты

CScore.Tests/ShellSimpl/StripNdmSectionTests.cs — сечение полосы, стержневое сечение, касательная;
StripNdmSolveTests.cs, StripNdmUlsTests.cs, StripNdmUlsTableTests.cs — равновесие, предельный множитель, шарниры;
StripNdmSlsTests.cs — M_crc, γ_экв, ширина раскрытия против слоистой модели;
StripNdmDesignTests.cs, OrthogonalMeshLpTests.cs — подбор полосы и линейная задача сеток;
CapraMauryDesignTests.cs, CapraMauryDesignSlsTests.cs — подбор сеток по ПС1 и ПС2;
CapraMauryConstraintsCheckTests.cs — проверка через ограничения;
PlateShearCheckTests.cs — поперечная сила;
ShellSimplNdmTests.cs — модель полосы в Вуде-Армере и Капра-Мори.

Связанные страницы: полоса по НДМ, метод Капра-Мори, наклонные сечения.