Нелинейный расчёт балок со сдвигом: опыты Vecchio и Shim (2004), балки C3 и B1

ID: TEST-CSFEA-BEAM-VECCHIO-SHIM-1
Статус: сверка выполнена
Эталон: опыты F. J. Vecchio, W. Shim (University of Toronto, 2004) — повтор классической серии
        Bresler, Scordelis (1963); J. Struct. Eng. ASCE, 2004, vol. 130, no. 3,
        https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(2004)130:3(460).
        Исходные данные, кривые опыта и расчётные кривые DIANA (плоское напряжённое состояние) —
        по отчётам верификации DIANA FEA: балка C3 — «Beam C3 (Vecchio and Shim 2004)»,
        https://manuals.dianafea.com/d104/Verify/Verifyse7.html; балка B1 — «Beam B1 (Vecchio
        and Shim 2004)», https://manuals.dianafea.com/d106/Verify/Verifyse10.html
Сравниваются: OpenCS — секущий нелинейный расчёт ЖБ стержней (ядро CSfea: фибровое сечение
              CScore, диаграммы СП 63, ψs по п. 8.2.32, КЭ Тимошенко с секущей сдвиговой
              жёсткостью по хомутам сечения)
Результат: с учётом сдвига и ψs прогиб отличается от опыта на −1…+4 % (C3, 150–250 кН) и
           на +1…+2 % (B1, 200–300 кН); без сдвига (Бернулли) балки жёстче опыта на 23–27 % (C3)
           и 43–46 % (B1); предел по сжатому бетону — на 1–3 % выше опыта
Тест: CSfea.Tests/VecchioShimBeamTests.cs (C3), CSfea.Tests/VecchioShimB1BeamTests.cs (B1)

Серия балок Bresler и Scordelis (1963) — классическая проверочная задача для расчёта железобетонных балок на изгиб с поперечной силой. В 2004 году Vecchio и Shim повторили серию в Университете Торонто с той же геометрией и армированием. Балки различаются шириной, пролётом и количеством хомутов, и от этого зависит, что определяет их работу: изгиб или поперечная сила.

На этой странице две балки серии. C3 — длинная и узкая, разрушается по изгибу. B1 — короче и шире, хомутов в ней меньше, разрушение сдвигово-изгибное: с ~60 % предельной нагрузки развиваются наклонные трещины. У обеих балок значительная часть прогиба после трещин приходится на сдвиговые деформации стенки. Поэтому задача проверяет закон сдвиговой жёсткости стержня. Вторая балка взята для того, чтобы убедиться, что закон, совпавший с опытом на C3, работает и на балке с другим пролётом и армированием.

Расчёт выполняется ядром CSfea (CSfea.CScore, RcSecantAnalysis). В интерфейсе OpenCS нелинейный расчёт схем пока не выведен; проверка запускается тестами.

Постановка

Балки C3 и B1: фасад и поперечное сечение

Величина	C3	B1
Пролёт / длина	`6400 / 6840 мм`	`3660 / 4100 мм`
Сечение `b × h`	`152 × 552 мм`	`229 × 552 мм`
Пролёт среза `a/d`	`3200/457 ≈ 7,0`	`1830/457 ≈ 4,0`
Нижняя арматура	2M30 (`Ø29,9`) в `64 мм` от низа и 2M25 (`Ø25,2`) в `128 мм`	то же
Верхняя арматура	3M10 (`Ø11,3`) в `50 мм` от верха	то же
Хомуты	D4, две ветви по `25,7 мм²`, шаг `168 мм`, `ρw = 0,20 %`	D5, две ветви по `32,2 мм²`, шаг `190 мм`, `ρw = 0,15 %`
Бетон	`E = 34 300 МПа`, `fcm = 43,5 МПа`, `ftm = 3,13 МПа`	`E = 36 500 МПа`, `fcm = 22,6 МПа`, `ftm = 2,37 МПа`
M30	`fy = 436`, `fu = 700 МПа`, `εsu = 0,05`	`fy = 436`, `fu = 700 МПа`, `εsu = 0,2`
M25	`fy = 445`, `fu = 680 МПа`, `εsu = 0,05`	`fy = 445`, `fu = 680 МПа`, `εsu = 0,2`
M10	`fy = 315`, `fu = 460 МПа`, `εsu = 0,025`	то же
Хомуты, материал	`fy = 600 МПа`	`fy = 600 МПа`, `fu = 649 МПа`
Нагрузка	сила `P` в середине пролёта	то же
Опыт: предел	`265 кН` при прогибе `44,3 мм`	`434 кН` при прогибе `22,0 мм`
Опыт: характер разрушения	изгиб, дробление сжатой зоны	сдвиг с изгибом: наклонные трещины, затем дробление сжатой зоны

Исходные данные приняты по отчётам верификации DIANA для каждой балки, поэтому предельные деформации стержней εsu у балок разные. Модуль упругости всей арматуры принят 200 000 МПа (для M25 балки B1 в таблице DIANA указано 210 000 МПа). Свойства M10 для B1 в таблице DIANA не приведены и приняты как у C3; верхняя арматура на результат почти не влияет.

Решение в OpenCS

Модель

Параметр	C3	B1
Схема	свободно опёртая балка, все стержневые КЭ одного сечения	то же
Сетка	`32` КЭ по `200 мм`	`24` КЭ по `152,5 мм`; контроль — `48` КЭ
Сечение	фибровое CScore: бетон `4 × 60` фибр, стержни — точечные фибры	то же
Диаграмма бетона	трёхлинейная `L3`: `Rb = fcm`, `Rbt = ftm`, `εb0 = 0,002`, `εb2 = 0,0035`, `εbt0 = 0,0001`, `εbt2 = 0,00015`	то же
Диаграмма арматуры	двухлинейная с упрочнением: упруго до `fy`, далее прямая до `fu` при `εsu`	то же
Хомуты	группа хомутов сечения (`MaterialArea.Stirrups`): замкнутый контур, две вертикальные ветви	то же
Нагружение	сила до `300 кН`, `60` шагов	сила до `500 кН`, `100` шагов
Собственный вес	не учитывается	не учитывается

Несошедшийся шаг делится пополам; если он не сходится и после четырёх делений, расчёт останавливается на последней сошедшейся нагрузке. Схема итераций та же, что в нелинейном расчёте плиты: на шаге решается линейная задача с секущими жёсткостями, жёсткости уточняются по деформациям до сходимости.

Изгиб и трещины

Изгибная жёсткость КЭ — секущая жёсткость фибрового сечения CScore в трёх точках КЭ (концы и середина), КЭ получает среднюю податливость. Нормальная трещина в точке необратима: после неё растянутый бетон не работает, а напряжение растянутой арматуры берётся с поправкой ψs по п. 8.2.32 СП 63 — так же, как в стержневом НДМ и в расчёте плиты.

Сдвиг: КЭ Тимошенко с секущей сдвиговой жёсткостью

Поперечная сила вызывает в стержне угол сдвига γ = Q/GAv. В КЭ Бернулли этот угол равен нулю, и в тонкостенной балке с наклонными трещинами такой КЭ заметно жёстче опыта. В секущем расчёте CSfea КЭ стержня учитывает сдвиговую податливость (КЭ Тимошенко), а сдвиговая жёсткость GAv зависит от состояния КЭ:

flowchart TD
    A[КЭ без трещин:<br/>GA₀ = 0,4·Eb·Av] -->|первая нормальная трещина в КЭ| B[наклонная трещина:<br/>Qcr фиксируется]
    B --> C["после трещины:<br/>Q = Qcr + Kv·(γ − γcr)"]
    C --> D[секущая GA = Q/γ<br/>на следующей итерации]

До наклонной трещины работает упругая жёсткость бетона

\[ GA_0 = 0{,}4\,E_b\,A_v,\qquad A_v = \min\left(\tfrac{5}{6}A_b;\ b_w h\right), \]

где G = 0,4·Eb — модуль сдвига бетона по п. 6.1.15 СП 63, bw — ширина сечения на уровне центра тяжести, h — высота сечения.

Наклонная трещина появляется в КЭ вместе с первой нормальной трещиной (изгибно-сдвиговые трещины) и необратима. Поперечная сила трещинообразования Qcr — поперечная сила КЭ в этот момент, приведённая к моменту трещинообразования Mcrc в точке трещины. При пропорциональном нагружении она не зависит от размера шага.

После наклонной трещины приращение поперечной силы воспринимает ферма из бетонных подкосов и хомутов. Жёсткость фермы при наклоне трещин 45° и вертикальных хомутах — по Park и Paulay (1975, гл. 10.4):

\[ Q = Q_{cr} + K_v\left(\gamma - \frac{Q_{cr}}{GA_0}\right), \qquad K_v = \frac{\rho_w}{1 + 4\,n\,\rho_w}\,E_s\,b_w\,h_0, \]

\[ \rho_w = \frac{A_{sw}}{b_w\,s_w},\qquad n = \frac{E_s}{E_b}, \]

где Asw — площадь ветвей хомута в плоскости сдвига, sw — шаг хомутов, Es — модуль материала хомутов, h0 — расстояние от сжатой грани до центра тяжести растянутой продольной арматуры. Хомуты берутся из группы хомутов сечения CScore. В сечении без хомутов закона после трещины нет, и сдвиг остаётся упругим.

Площадки текучести хомутов в законе нет. Закон определяет деформации, а прочность наклонных сечений им не проверяется — для неё в OpenCS есть отдельные проверки по СП 63.

Сдвиговые характеристики сечений проверены ручным расчётом (тесты ShearSection):

Величина	Формула	C3, ручной расчёт	C3, OpenCS	B1, ручной расчёт	B1, OpenCS
`GA0`, МН	`0,4·Eb·5/6·b·h`	`959`	`959`	`1538`	`1538`
`h0`, мм	по центру тяжести 2M30 + 2M25	`461`	`461`	`461`	`461`
`ρw`	`2·Asw1/(b·sw)`	`0,00201`	—	`0,00148`	`0,00148`
`Kv`, МН	формула выше	`27,0`	`27,0`	`30,3`	`30,3`

После наклонной трещины сдвиговая жёсткость падает в 35–50 раз: с 959 до 27 МН у C3 и с 1538 до 30 МН у B1.

Результат

Кривые опыта и DIANA оцифрованы с рисунков отчётов DIANA, погрешность — около 3–5 кН. Кривая опыта B1 имеет местные провалы (разгрузки при появлении трещин), поэтому отдельные точки опыта на ней отклоняются от плавной кривой на 5–10 %.

Балка B1

Балка B1: сила — прогиб в середине пролёта, опыт, DIANA и OpenCS

P, кН	Опыт, мм	DIANA, мм	OpenCS ψs + сдвиг, мм	к опыту	без ψs + сдвиг, мм	к опыту	ψs, Бернулли, мм	к опыту
`100`	`1,44`	`1,24`	`1,30`	`−10 %`	`1,95`	`+35 %`	`0,99`	`−31 %`
`200`	`4,81`	`3,81`	`4,86`	`+1 %`	`5,79`	`+20 %`	`2,74`	`−43 %`
`300`	`9,40`	`7,00`	`9,57`	`+2 %`	`10,65`	`+13 %`	`5,05`	`−46 %`
`400`	`16,2`	`11,9`	`14,95`	`−7 %`	`16,05`	`−1 %`	`7,90`	`−51 %`

Показатель	Опыт / DIANA	OpenCS, ψs + сдвиг
Первые трещины	—	`P = 66 кН`
Начало текучести нижней арматуры	—	`P = 410 кН`, `w = 15,6 мм`
Бетон сжатой грани достиг `εb2`	опыт: предел `434 кН` при `22,0 мм`; DIANA: `446 кН`	`446 кН` при `19,4 мм` (`+3 %` к опыту); `48` КЭ — `437 кН` при `18,0 мм` (`+1 %`)
Прогиб при `200–300 кН`	опыт `4,81–9,40 мм`	`4,86–9,57 мм` (`+1…+2 %`)
Доля сдвига в прогибе при `300 кН`	—	`4,5` из `9,6 мм` (разность с расчётом Бернулли)
Сетка `48` КЭ, прогиб при `200 / 300 / 400 кН`	—	`4,79 / 9,41 / 14,81 мм` (к `24` КЭ: `−1,4 / −1,7 / −0,9 %`)

На участке 100 кН трещины только развиваются, и результат сильнее всего зависит от момента их появления: здесь OpenCS жёстче опыта на 10 %. При 400 кН в опыте уже развиты наклонные трещины и начинается текучесть арматуры; OpenCS жёстче опыта на 7 %. Расчёт DIANA для B1 жёстче опыта на 20–25 % на всём участке до предела; в отчёте DIANA также отмечено, что расчётный прогиб занижен.

Балка C3

Балка C3: сила — прогиб в середине пролёта, опыт, DIANA и OpenCS

P, кН	Опыт, мм	DIANA, мм	OpenCS ψs + сдвиг, мм	к опыту	без ψs + сдвиг, мм	к опыту	ψs, Бернулли, мм	к опыту
`50`	`5,2`	`3,8`	`3,8`	`−27 %`	`5,6`	`+8 %`	`3,4`	`−34 %`
`100`	`12,0`	`11,0`	`10,9`	`−9 %`	`13,3`	`+11 %`	`8,7`	`−27 %`
`150`	`19,1`	`18,3`	`18,9`	`−1 %`	`21,5`	`+13 %`	`14,4`	`−25 %`
`200`	`26,5`	`26,7`	`27,6`	`+4 %`	`30,3`	`+15 %`	`20,5`	`−23 %`
`250`	`37,1`	`40,4`	`37,4`	`+1 %`	`40,1`	`+8 %`	`27,7`	`−25 %`

Показатель	Опыт / DIANA	OpenCS, ψs + сдвиг
Первые трещины	опыт: излом кривой около `33 кН`	`P = 32,5 кН`
Начало текучести нижней арматуры	—	`P = 240 кН`, `w = 35,2 мм`
Бетон сжатой грани достиг `εb2`	опыт: предел `265 кН` при `44,3 мм`; DIANA: `≈ 258 кН`	`271,6 кН` при `47,2 мм` (`+2,5 %` к опыту)
Прогиб при `150–250 кН`	опыт `19,1–37,1 мм`	`18,9–37,4 мм` (`−1…+4 %`)

При 50 кН опыт мягче и OpenCS, и DIANA: на этом участке трещины только появляются. Расчёт OpenCS здесь совпадает с DIANA.

Что показывает сравнение двух балок

Вариант	C3, прогиб к опыту при `150–250 кН`	B1, прогиб к опыту при `200–300 кН`
`ψs` + сдвиг (по умолчанию)	`−1…+4 %`	`+1…+2 %`
без `ψs` + сдвиг	`+8…+15 %`	`+13…+20 %`
`ψs`, без сдвига (Бернулли)	`−23…−25 %`	`−43…−46 %`

Закон сдвига с одинаковыми формулами и без подбираемых параметров даёт близкий к опыту прогиб на обеих балках. У B1 короче пролёт и меньше хомутов, и доля сдвига в прогибе примерно вдвое больше, чем у C3. Без сдвига ошибка у B1 соответственно почти вдвое больше.
Учёт работы бетона между трещинами (ψs) и сдвиг нужны вместе: без ψs обе балки мягче опыта на 8–20 %.
Предел в модели наступает по деформации сжатого бетона εb2. В обеих балках он на 1–3 % выше опытного. Без сдвига предельная нагрузка практически та же (C3 — 271,6 кН при 36,2 мм, B1 — расчёт остановлен на 444 кН при 10,3 мм), меняется только прогиб. Предельная нагрузка B1 близка к изгибной несущей способности сечения, поэтому совпадение предела с опытом не подтверждает прочность по наклонным сечениям — этот закон её не проверяет (см. сдвиг).

Критерий прохождения

Расчёт ψs + сдвиг: прогиб C3 при 150–250 кН и прогиб B1 при 200–300 кН отличаются от опыта не более чем на ±10 %.
Расчёт без сдвига (Бернулли) заметно жёстче опыта (качественный признак того, что сдвиговые деформации существенны и учтены).
Нагрузка, при которой бетон сжатой грани достигает εb2, отличается от опытного предела не более чем на ±10 %.
Сдвиговые характеристики сечений совпадают с ручным расчётом (тесты ShearSection).

Все условия выполнены. Тесты печатают кривые всех вариантов; с переменной окружения OPENCS_CSFEA_OUT кривые выгружаются в CSV, по которым построены рисунки этой страницы.

dotnet test CSfea.Tests --filter "FullyQualifiedName~VecchioShim"

Ограничения и диагностика

Нагрузка задаётся силой, а диаграмма бетона L3 не имеет нисходящей ветви. Поэтому ниспадающую ветвь кривой и разрушение расчёт не воспроизводит; предел определяется по достижению εb2 на сжатой грани. На графиках расчётные кривые показаны до этой точки.
Закон сдвига описывает деформации; площадки текучести хомутов и прочности наклонных сечений в нём нет. Разрушение по наклонному сечению этим расчётом не выявляется.
Наклонная трещина появляется в КЭ одновременно с нормальной. Для балок с малым пролётом среза (a/d < 2,5), где работает арочный механизм, закон не проверялся.
В модели DIANA сила и реакции передаются через стальные пластины, а продольная арматура B1 приварена к торцевым пластинам; в стержневой модели OpenCS это не моделируется.
Сдвиговая податливость учитывается только в секущем нелинейном расчёте (RcSecantOptions.BeamShear, по умолчанию включено); упругий линейный стержень CSfea — КЭ Бернулли. Для сечения без хомутов сдвиг после трещины остаётся упругим, и такой стержень будет жёстче реального.
При расхождении проверьте: заданы ли в сечении хомуты (группа хомутов с шагом и материалом), направление ветвей хомута относительно плоскости изгиба, положение растянутой арматуры (от него зависит h0), включение ψs и BeamShear.

Источники

Bresler B., Scordelis A. C. Shear strength of reinforced concrete beams. Journal of the American Concrete Institute, 1963, vol. 60, no. 1.
Vecchio F. J., Shim W. Experimental and analytical reexamination of classic concrete beam tests. Journal of Structural Engineering, ASCE, 2004, vol. 130, no. 3, pp. 460–469. doi:10.1061/(ASCE)0733-9445(2004)130:3(460)
Park R., Paulay T. Reinforced concrete structures. Wiley, 1975, гл. 10.4 — жёсткость стенки с наклонными трещинами по ферменной аналогии.
DIANA FEA. Verification Report, раздел 5.1 «Beam C3 (Vecchio and Shim 2004)» — manuals.dianafea.com/d104/Verify/Verifyse7.html.
DIANA FEA. Verification Report 10.6, раздел 6.2 «Beam B1 (Vecchio and Shim 2004)» — manuals.dianafea.com/d106/Verify/Verifyse10.html.
СП 63.13330.2018, п. 6.1.15 — модуль сдвига бетона; п. 8.2.32 — коэффициент ψs.