Учебный пример НДМ: косое внецентренное сжатие вручную

Страница показывает расчёт прямоугольного железобетонного сечения по нелинейной деформационной модели (НДМ) со всеми промежуточными числами — так, чтобы его можно было повторить в Excel, а отдельные шаги — на калькуляторе. Решаются две задачи:

НДС от заданных усилий — найти плоскость деформаций, отвечающую N, Mx, My (метод Ньютона);
предел несущей способности — найти, во сколько раз можно пропорционально увеличить те же усилия, пока бетон в самом сжатом углу не достигнет предельной деформации εb2.

К странице приложена книга Excel без макросов, в которой каждая итерация — отдельный лист с таблицей волокон и формулами: ndm-tutorial.xlsx. Жёлтые ячейки листа «Исходные» можно менять — все итерации пересчитаются.

Учебная модель упрощена

Сетка намеренно крупная (6 × 10 волокон), площадь бетона под стержнями не вычитается, бетон на растяжение не работает, диаграммы двухлинейные. Этого достаточно, чтобы увидеть устройство алгоритма; влияние сетки на результат показано ниже. Как та же задача решается в OpenCS, описано на страницах Фибровый метод и Предельные усилия.

Исходные данные

Величина	Значение
Сечение	`b = 0,30 м` (вдоль `x`), `h = 0,50 м` (вдоль `y`), начало координат в центре
Бетон B25	`Rb = 14,5 МПа`; двухлинейная диаграмма: `εb1,red = 0,0015`, `εb2 = 0,0035` (СП 63, п. 6.1.20)
Приведённый модуль	`Eb,red = Rb / εb1,red = 14,5 / 0,0015 = 9666,67 МПа`
Арматура A500	`Rs = Rsc = 435 МПа` (табл. 6.14), `Es = 200 000 МПа`, `εs0 = Rs/Es = 0,002175`, `εs2 = 0,025` (п. 6.2.14)
Стержни	4 ⌀20, `As = π·0,02²/4 = 0,000314159 м²` каждый, в точках `(±0,10; ±0,20)` м
Усилия	`N = −800 кН`, `Mx = −160 кН·м`, `My = −50 кН·м`

Двухлинейные диаграммы бетона B25 и арматуры A500

Знаки и единицы

Плоскость деформаций задаётся тремя числами u = (ε0, kx, ky):

\[ \varepsilon(x, y) = \varepsilon_0 + k_x\,y + k_y\,x . \]

Сжатие отрицательно. Усилия — суммы по волокнам:

\[ N = \sum_i \sigma_i A_i, \qquad M_x = \sum_i \sigma_i A_i\, y_i, \qquad M_y = \sum_i \sigma_i A_i\, x_i . \]

Это та же конвенция, что в OpenCS (см. Оси, знаки и единицы): отрицательный Mx сжимает верхнюю грань (y > 0), отрицательный My — правую (x > 0). Поэтому при заданных усилиях сильнее всего сжат угол (+0,15; +0,25).

Длины — в метрах, напряжения — в МПа. Произведение σ·A получается в МН; умножение на 1000 даёт кН, а σ·A·y·1000 — кН·м. Кривизны kx, ky — в 1/м.

Сетка волокон

Сечение разбито на 6 × 10 = 60 квадратных волокон 0,05 × 0,05 м, площадь каждого A = 0,0025 м². Центр волокна с индексами i = 0…5, j = 0…9:

\[ x_i = -\frac{b}{2} + (i + 0{,}5)\,\frac{b}{6}, \qquad y_j = -\frac{h}{2} + (j + 0{,}5)\,\frac{h}{10}. \]

Волокна нумеруются построчно снизу вверх: №1 — (−0,125; −0,225), №6 — (0,125; −0,225), №60 — (0,125; 0,225). Стержни — №61…64: (−0,10; −0,20), (0,10; −0,20), (−0,10; 0,20), (0,10; 0,20).

Диаграммы

Для каждого волокна нужны напряжение σ(ε) и касательный модуль Et = dσ/dε.

Бетон (растяжение не учитывается, площадка не обрывается — выход за εb2 проверяется отдельно):

\[ \sigma_b(\varepsilon) = \begin{cases} 0, & \varepsilon \ge 0,\\ E_{b,red}\,\varepsilon, & -\varepsilon_{b1,red} \le \varepsilon < 0,\\ -R_b, & \varepsilon < -\varepsilon_{b1,red}; \end{cases} \qquad E_t = \begin{cases} 0, & \varepsilon \ge 0,\\ E_{b,red}, & -\varepsilon_{b1,red} \le \varepsilon < 0,\\ 0, & \varepsilon < -\varepsilon_{b1,red}. \end{cases} \]

Арматура (симметрично при растяжении и сжатии):

\[ \sigma_s(\varepsilon) = \begin{cases} E_s\,\varepsilon, & |\varepsilon| \le \varepsilon_{s0},\\ R_s\,\operatorname{sign}\varepsilon, & |\varepsilon| > \varepsilon_{s0}; \end{cases} \qquad E_t = \begin{cases} E_s, & |\varepsilon| \le \varepsilon_{s0},\\ 0, & |\varepsilon| > \varepsilon_{s0}. \end{cases} \]

В Excel это одна формула на ячейку, например для бетона (в русской версии Excel): =ЕСЛИ(e>=0; 0; ЕСЛИ(e>=-eb1; Ebr*e; -Rb)), где e — ячейка с деформацией волокна, а eb1, Ebr, Rb — именованные ячейки листа «Исходные».

Задача 1. Плоскость деформаций от заданных усилий

Система уравнений

Нужно найти u = (ε0, kx, ky), при котором внутренние усилия равны внешним:

\[ \mathbf F(\mathbf u) = \begin{pmatrix} N(\mathbf u) \\ M_x(\mathbf u) \\ M_y(\mathbf u) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -800 \\ -160 \\ -50 \end{pmatrix} = \mathbf F_{\text{зад}}. \]

Это три нелинейных уравнения с тремя неизвестными. Метод Ньютона на каждом шаге заменяет их линейными:

\[ \mathbf R = \mathbf F_{\text{зад}} - \mathbf F(\mathbf u), \qquad \mathbf D(\mathbf u)\,\Delta\mathbf u = \mathbf R, \qquad \mathbf u \leftarrow \mathbf u + \Delta\mathbf u, \]

где D — касательная матрица жёсткости сечения. Поскольку ∂ε/∂u = (1, y, x), она собирается по волокнам так же просто, как усилия:

\[ \mathbf D = 1000 \sum_i E_{t,i} A_i \begin{pmatrix} 1 & y_i & x_i\\ y_i & y_i^2 & x_i y_i\\ x_i & x_i y_i & x_i^2 \end{pmatrix}. \]

Систему 3 × 3 удобно решать правилом Крамера: Δu_k = det(D_k) / det(D), где D_k — матрица D, у которой k-й столбец заменён на R, а

\[ \det\mathbf D = d_{11}(d_{22}d_{33}-d_{23}d_{32}) - d_{12}(d_{21}d_{33}-d_{23}d_{31}) + d_{13}(d_{21}d_{32}-d_{22}d_{31}). \]

Итерации прекращаются, когда ‖R‖ / ‖F_зад‖ < 10⁻⁶.

Начальное приближение — упругое

Начинать с u = 0 нельзя. В точке ε = 0 бетон находится на ветви растяжения, его Et = 0, и в матрице D остаются только четыре стержня. Первый шаг Ньютона на такой «арматурной» жёсткости даёт кривизны kx = −0,016, ky = −0,020 1/м — в несколько раз больше правильных, на втором шаге невязка вырастает, затем кривизны уходят к 10¹⁴…10¹⁶ и матрица вырождается.

Правильный старт — упругое решение, в котором весь бетон, включая растянутую зону, работает с модулем Eb,red. Для симметричного сечения матрица получается диагональной:

\[ \mathbf D_{\text{упр}} = \begin{pmatrix} 1\,701\,327{,}41 & 0 & 0 \\ 0 & 39\,959{,}35 & 0 \\ 0 & 0 & 13\,086{,}19 \end{pmatrix} \]

(например, d11 = 1000·(9666,67·60·0,0025 + 200 000·4·0,000314159) = 1 450 000 + 251 327,41), и начальное приближение считается делением:

\[ \varepsilon_0 = \frac{-800}{1\,701\,327{,}41} = -0{,}00047022, \quad k_x = \frac{-160}{39\,959{,}35} = -0{,}0040041, \quad k_y = \frac{-50}{13\,086{,}19} = -0{,}0038208 . \]

Это лист «Н0» книги Excel.

Итерация 1 подробно

Подставляем u0 в каждое волокно. Три волокна для самопроверки:

Волокно	`ε = ε0 + kx·y + ky·x`	Участок	`σ`, МПа	`σ·A·1000`, кН
№1 `(−0,125; −0,225)`	`−0,00047022 + 0,00090092 + 0,00047760 = +0,00090830`	растяжение	0	0
№60 `(0,125; 0,225)`	`−0,00047022 − 0,00090092 − 0,00047760 = −0,00184874`	площадка	−14,50	−36,25
№64, стержень `(0,10; 0,20)`	`−0,00047022 − 0,00080081 − 0,00038208 = −0,00165311`	упругий	−330,62	−103,87

Полная таблица волокон итерации 1 — в раскрывающемся блоке:

Таблица 64 волокон на итерации 1 (лист «Н1»)

№	тип	x, м	y, м	A, м²	ε	σ, МПа	Et, МПа	σ·A, кН
1	бет.	−0,125	−0,225	0,002500	0,000908	0,00	0	0,00
2	бет.	−0,075	−0,225	0,002500	0,000717	0,00	0	0,00
3	бет.	−0,025	−0,225	0,002500	0,000526	0,00	0	0,00
4	бет.	0,025	−0,225	0,002500	0,000335	0,00	0	0,00
5	бет.	0,075	−0,225	0,002500	0,000144	0,00	0	0,00
6	бет.	0,125	−0,225	0,002500	−0,000047	−0,45	9667	−1,13
7	бет.	−0,125	−0,175	0,002500	0,000708	0,00	0	0,00
8	бет.	−0,075	−0,175	0,002500	0,000517	0,00	0	0,00
9	бет.	−0,025	−0,175	0,002500	0,000326	0,00	0	0,00
10	бет.	0,025	−0,175	0,002500	0,000135	0,00	0	0,00
11	бет.	0,075	−0,175	0,002500	−0,000056	−0,54	9667	−1,36
12	бет.	0,125	−0,175	0,002500	−0,000247	−2,39	9667	−5,97
13	бет.	−0,125	−0,125	0,002500	0,000508	0,00	0	0,00
14	бет.	−0,075	−0,125	0,002500	0,000317	0,00	0	0,00
15	бет.	−0,025	−0,125	0,002500	0,000126	0,00	0	0,00
16	бет.	0,025	−0,125	0,002500	−0,000065	−0,63	9667	−1,58
17	бет.	0,075	−0,125	0,002500	−0,000256	−2,48	9667	−6,19
18	бет.	0,125	−0,125	0,002500	−0,000447	−4,32	9667	−10,81
19	бет.	−0,125	−0,075	0,002500	0,000308	0,00	0	0,00
20	бет.	−0,075	−0,075	0,002500	0,000117	0,00	0	0,00
21	бет.	−0,025	−0,075	0,002500	−0,000074	−0,72	9667	−1,80
22	бет.	0,025	−0,075	0,002500	−0,000265	−2,57	9667	−6,41
23	бет.	0,075	−0,075	0,002500	−0,000456	−4,41	9667	−11,03
24	бет.	0,125	−0,075	0,002500	−0,000648	−6,26	9667	−15,65
25	бет.	−0,125	−0,025	0,002500	0,000107	0,00	0	0,00
26	бет.	−0,075	−0,025	0,002500	−0,000084	−0,81	9667	−2,02
27	бет.	−0,025	−0,025	0,002500	−0,000275	−2,65	9667	−6,64
28	бет.	0,025	−0,025	0,002500	−0,000466	−4,50	9667	−11,25
29	бет.	0,075	−0,025	0,002500	−0,000657	−6,35	9667	−15,87
30	бет.	0,125	−0,025	0,002500	−0,000848	−8,19	9667	−20,49
31	бет.	−0,125	0,025	0,002500	−0,000093	−0,90	9667	−2,24
32	бет.	−0,075	0,025	0,002500	−0,000284	−2,74	9667	−6,86
33	бет.	−0,025	0,025	0,002500	−0,000475	−4,59	9667	−11,47
34	бет.	0,025	0,025	0,002500	−0,000666	−6,44	9667	−16,09
35	бет.	0,075	0,025	0,002500	−0,000857	−8,28	9667	−20,71
36	бет.	0,125	0,025	0,002500	−0,001048	−10,13	9667	−25,32
37	бет.	−0,125	0,075	0,002500	−0,000293	−2,83	9667	−7,08
38	бет.	−0,075	0,075	0,002500	−0,000484	−4,68	9667	−11,70
39	бет.	−0,025	0,075	0,002500	−0,000675	−6,53	9667	−16,31
40	бет.	0,025	0,075	0,002500	−0,000866	−8,37	9667	−20,93
41	бет.	0,075	0,075	0,002500	−0,001057	−10,22	9667	−25,55
42	бет.	0,125	0,075	0,002500	−0,001248	−12,07	9667	−30,16
43	бет.	−0,125	0,125	0,002500	−0,000493	−4,77	9667	−11,92
44	бет.	−0,075	0,125	0,002500	−0,000684	−6,61	9667	−16,53
45	бет.	−0,025	0,125	0,002500	−0,000875	−8,46	9667	−21,15
46	бет.	0,025	0,125	0,002500	−0,001066	−10,31	9667	−25,77
47	бет.	0,075	0,125	0,002500	−0,001257	−12,15	9667	−30,38
48	бет.	0,125	0,125	0,002500	−0,001448	−14,00	9667	−35,00
49	бет.	−0,125	0,175	0,002500	−0,000693	−6,70	9667	−16,76
50	бет.	−0,075	0,175	0,002500	−0,000884	−8,55	9667	−21,37
51	бет.	−0,025	0,175	0,002500	−0,001075	−10,40	9667	−25,99
52	бет.	0,025	0,175	0,002500	−0,001266	−12,24	9667	−30,61
53	бет.	0,075	0,175	0,002500	−0,001457	−14,09	9667	−35,22
54	бет.	0,125	0,175	0,002500	−0,001649	−14,50	0	−36,25
55	бет.	−0,125	0,225	0,002500	−0,000894	−8,64	9667	−21,59
56	бет.	−0,075	0,225	0,002500	−0,001085	−10,48	9667	−26,21
57	бет.	−0,025	0,225	0,002500	−0,001276	−12,33	9667	−30,83
58	бет.	0,025	0,225	0,002500	−0,001467	−14,18	9667	−35,44
59	бет.	0,075	0,225	0,002500	−0,001658	−14,50	0	−36,25
60	бет.	0,125	0,225	0,002500	−0,001849	−14,50	0	−36,25
61	арм.	−0,100	−0,200	0,000314	0,000713	142,53	200000	44,78
62	арм.	0,100	−0,200	0,000314	−0,000051	−10,30	200000	−3,24
63	арм.	−0,100	0,200	0,000314	−0,000889	−177,79	200000	−55,85
64	арм.	0,100	0,200	0,000314	−0,001653	−330,62	200000	−103,87

Суммы по таблице:

\[ \mathbf F(\mathbf u_0) = \begin{pmatrix} -924{,}33 \\ -131{,}48 \\ -37{,}47 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf R = \mathbf F_{\text{зад}} - \mathbf F = \begin{pmatrix} 124{,}328 \\ -28{,}525 \\ -12{,}528 \end{pmatrix}, \qquad \frac{\|\mathbf R\|}{\|\mathbf F_{\text{зад}}\|} = 0{,}157 . \]

Касательная матрица (волокна в растянутой зоне и на площадке в неё не входят):

\[ \mathbf D = \begin{pmatrix} 1\,266\,327{,}4 & 42\,291{,}7 & 13\,291{,}7\\ 42\,291{,}7 & 26\,275{,}0 & -4\,259{,}4\\ 13\,291{,}7 & -4\,259{,}4 & 9\,551{,}8 \end{pmatrix}, \qquad \det\mathbf D = 2{,}68326\cdot 10^{14}. \]

По Крамеру:

\[ \Delta\mathbf u = \begin{pmatrix} 0{,}0001816 \\ -0{,}0017586 \\ -0{,}0023484 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf u_1 = \mathbf u_0 + \Delta\mathbf u = \begin{pmatrix} -0{,}000289 \\ -0{,}005763 \\ -0{,}006169 \end{pmatrix}. \]

Ход итераций

В строке — плоскость, с которой начинается итерация, внутренние усилия при ней и невязка R = F_зад − F.

Лист	`ε0`	`kx`, 1/м	`ky`, 1/м	`N`, кН	`Mx`, кН·м	`My`, кН·м	`R_N`	`R_Mx`	`R_My`	`‖R‖/‖F‖`
Н1	−0,000470	−0,004004	−0,003821	−924,33	−131,48	−37,47	124,328	−28,525	−12,528	1,6·10⁻¹
Н2	−0,000289	−0,005763	−0,006169	−825,04	−153,12	−47,90	25,038	−6,884	−2,104	3,2·10⁻²
Н3	−0,000230	−0,006324	−0,006843	−800,83	−159,35	−49,93	0,831	−0,652	−0,069	1,3·10⁻³
Н4	−0,000226	−0,006389	−0,006906	−800,00	−160,00	−50,00	0,000	0,000	0,000	0

Матрицы D по итерациям:

Лист	`d11`	`d12`	`d13`	`d22`	`d23`	`d33`	`det D`
Н1	1 266 327,4	42 291,7	13 291,7	26 275,0	−4 259,4	9 551,8	2,68326·10¹⁴
Н2	976 327,4	42 291,7	13 291,7	21 260,4	−3 776,0	7 437,2	1,19151·10¹⁴
Н3	768 495,6	29 725,3	−3 866,5	16 239,8	−4 791,0	5 751,6	4,99181·10¹³
Н4	768 495,6	29 725,3	−3 866,5	16 239,8	−4 791,0	5 751,6	4,99181·10¹³

На третьей итерации ни одно волокно уже не переходит на другой участок диаграммы, матрица перестаёт меняться, и для кусочно-линейных диаграмм следующий шаг Ньютона попадает в решение точно. С криволинейной диаграммой такого «точного попадания» не будет: вблизи решения число верных знаков у метода Ньютона примерно удваивается с каждой итерацией, и остановку определяет допуск по невязке.

Проверка найденного состояния

Равновесие само по себе ещё не означает прочность: площадка бетона в модели не обрывается, и Ньютон найдёт равновесие и при деформациях больше εb2. Поэтому после сходимости обязательно сравнить деформации с предельными:

Проверка	Значение	Предел	Итог
Самый сжатый угол бетона `(0,15; 0,25)`	`−0,00047 − 0,00160 − 0,00104 = −0,00286`	`−0,0035`	выполнено
Наиболее растянутый стержень №61	`+0,00174`	`+0,025`	выполнено
Наиболее сжатый стержень №64	`−0,00219`	`−0,025`	выполнено (стержень текучий: `\|ε\| > εs0`)

Деформация угла сечения, а не центра углового волокна: предел достигается на границе сечения.

Задача 2. Предельный коэффициент к усилиям

Постановка

Ищется множитель λ, при котором усилия λ·F_зад доводят сечение до предела. В предельном состоянии в самом сжатом углу (xc, yc) деформация бетона равна −εb2:

\[ \varepsilon_0 + k_x\,y_c + k_y\,x_c = -\varepsilon_{b2} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_0 = -\varepsilon_{b2} - k_x\,y_c - k_y\,x_c . \]

Это условие линейно, поэтому ε0 просто выражается через кривизны, и неизвестных остаётся три — v = (kx, ky, λ) — на три уравнения равновесия:

\[ \mathbf G(\mathbf v) = \mathbf F\bigl(\varepsilon_0(k_x, k_y),\, k_x,\, k_y\bigr) - \lambda\,\mathbf F_{\text{зад}} = \mathbf 0 . \]

Шагов нагрузки не требуется: λ — такая же неизвестная, как кривизны. Тем же способом работает быстрый решатель OpenCS (см. Предельные усилия).

Выбор угла. Самый сжатый угол — там, где kx·y + ky·x минимально. По упругому решению kx0 < 0, ky0 < 0, значит yc = −sign(kx0)·h/2 = +0,25, xc = −sign(ky0)·b/2 = +0,15.

Начальное приближение. Упругое решение u0 из задачи 1 даёт в этом углу ε = −0,00047022 − 0,0040041·0,25 − 0,0038208·0,15 = −0,00204436. Масштабируем его так, чтобы угол дошёл до −εb2:

\[ s = \frac{0{,}0035}{0{,}00204436} = 1{,}71203, \qquad \mathbf v_0 = (s\,k_{x0},\; s\,k_{y0},\; s) = (-0{,}006855;\; -0{,}006541;\; 1{,}71203). \]

Якобиан. Первые два столбца проще всего получить численно: увеличить kx (или ky) на δ = 10⁻⁵ 1/м, пересчитать ε0 из условия в углу, заново просуммировать волокна и разделить разность усилий на δ. Третий столбец получается точно: ∂G/∂λ = −F_зад = (800; 160; 50).

\[ \mathbf J = \left[\;\frac{\mathbf G(k_x+\delta) - \mathbf G}{\delta}\;\middle|\; \frac{\mathbf G(k_y+\delta) - \mathbf G}{\delta}\;\middle|\; -\mathbf F_{\text{зад}}\;\right], \qquad \mathbf J\,\Delta\mathbf v = -\mathbf G . \]

Аналитический вариант

Поскольку ε0 линейно зависит от кривизн, производные можно взять из той же касательной матрицы D задачи 1: первый столбец J равен D·(−yc; 1; 0), второй — D·(−xc; 0; 1). Для кусочно-линейных диаграмм оба способа совпадают, пока ни одно волокно не пересекает излом диаграммы на отрезке δ.

Ход итераций

Лист	`kx`, 1/м	`ky`, 1/м	`λ`	`ε0`	`N`, кН	`Mx`, кН·м	`My`, кН·м	`G_N`	`G_Mx`	`G_My`	`‖G‖/‖F_зад‖`
П0	−0,006855	−0,006541	1,71203	−0,000805	−1287,50	−173,06	−42,50	82,12	100,86	43,10	1,7·10⁻¹
П1	−0,007312	−0,008769	1,10863	−0,000357	−916,09	−167,13	−56,16	−29,19	10,25	−0,72	3,8·10⁻²
П2	−0,007669	−0,008687	1,07727	−0,000280	−864,36	−172,14	−53,96	−2,55	0,22	−0,10	3,1·10⁻³
П3	−0,007687	−0,008683	1,07729	−0,000276	−861,83	−172,37	−53,86	0,00	0,00	0,00	0

Якобиан и приращения первой итерации (лист «П0»):

\[ \mathbf J = \begin{pmatrix} -238\,523{,}6 & -130\,908{,}1 & 800\\ 20\,046{,}0 & -2\,171{,}8 & 160\\ -5\,183{,}8 & 6\,867{,}4 & 50 \end{pmatrix}, \quad \det\mathbf J = 6{,}28899\cdot 10^{11}, \quad \Delta\mathbf v = \begin{pmatrix} -0{,}0004568 \\ -0{,}0022279 \\ -0{,}60340 \end{pmatrix}. \]

Результат

\[ \lambda = 1{,}0773, \qquad \text{К}_{\text{исп}} = \frac{1}{\lambda} = 0{,}928 . \]

Предельные усилия: N = −861,8 кН, Mx = −172,4 кН·м, My = −53,9 кН·м. Плоскость: ε0 = −0,000276, kx = −0,007687, ky = −0,008683 1/м.

Сечение в предельном состоянии: участки диаграммы бетона по волокнам, нейтральная линия, деформации стержней

Остаётся проверить арматуру: наиболее растянутый стержень №61 имеет εs = +0,00213 < εs2 = 0,025, значит предел определяет бетон. Если бы условие по арматуре нарушилось (это бывает при малом сжатии или при растяжении), задачу следовало бы решить ещё раз с условием εs = εs2 в наиболее растянутом стержне вместо условия в углу и принять меньший из двух λ.

Влияние сетки

Тот же расчёт на более мелких сетках (площадь бетона под стержнями также не вычитается):

Сетка волокон	`λ`
6 × 10 (учебная)	1,0773
12 × 20	1,0813
30 × 50	1,0826
60 × 100	1,0827

Крупная сетка занижает предел примерно на 0,5 %: для понимания алгоритма её достаточно, для проектных расчётов сетку мельчат или интегрируют бетон по контуру, как это делает OpenCS (контурное интегрирование).

Почему решение «уходит в разнос»

Причина	Что происходит	Что делать
Старт с `u = 0`	В `D` нет бетона (на ветви растяжения `Et = 0`), первый шаг в разы больше нужного	Начинать с упругого решения, в котором весь бетон работает с `Eb,red`
Нагрузка больше несущей способности	Ньютон сходится к состоянию с деформациями за пределом (при `1,1·F_зад` угол получает `εb = −0,0041`) либо, при `1,3·F_зад`, кривизны растут на порядки и `det D → 0`	После сходимости проверять `εb` и `εs`; предел искать задачей 2, а не увеличением нагрузки
Вырожденная матрица `D`	Весь сжатый бетон на площадке, стержни текучие — касательной жёсткости нет	`det D ≈ 0` — признак исчерпания; в задаче 2 эта ситуация не возникает, потому что предел задан деформацией
Перепутаны знаки	Момент сжимает не ту грань, где ожидается; сечение «держит» нагрузку только растянутой арматурой	Сверить знаки `Mx`, `My` с формулами `Mx = Σσ·A·y`, `My = Σσ·A·x`
Единицы	`σ·A` в МН, моменты в МН·м, а заданные усилия в кН	Привести всё к одной системе (здесь множитель 1000)

Короткие ответы на частые вопросы

Как дойти до предела? Двумя способами. Первый — показанный выше: предельная деформация в самой сжатой точке задаётся как условие, а λ ищется вместе с кривизнами методом Ньютона. Второй — перебор: решать задачу 1 для λ·F_зад и сужать интервал λ делением пополам, проверяя деформации; он надёжнее, но требует десятков решений.

Нужен ли линейный поиск? В этом примере нет. Он полезен как страховка: если после шага невязка выросла, шаг уменьшают вдвое и пересчитывают.

Касательные или секущие модули? Метод Ньютона использует касательные — так сходимость самая быстрая (здесь 3 шага), но на площадках Et = 0, и вблизи предела матрица может выродиться. Секущие модули Esec = σ/ε не обращаются в ноль на площадках, итерация u ← D_sec⁻¹·F_зад устойчивее, но медленнее: на этом же примере — 22 итерации до той же точности 10⁻⁶.

Нужна ли нисходящая ветвь на двух- и трёхлинейных диаграммах? Нет. Диаграммы СП 63 имеют горизонтальную площадку до εb2 и εs2, а предел определяется деформацией, а не максимумом напряжения. Обрывать стоит только работу бетона на растяжение (здесь она не учитывается вовсе).

Нужно ли нагружать шагами? Для монотонной диаграммы без разгрузки — нет: упругого начального приближения и итераций достаточно. Шаги нужны там, где важна история — разгрузка, преднапряжение по стадиям, ползучесть.