Плита на колонне: АЖТ примыкания и решение Кирхгофа

ID: TEST-CSFEA-RIGID-JUNCTION-1
Статус: сверка выполнена
Эталон: осесимметричный изгиб кольцевой пластины Кирхгофа — внутренний край защемлён,
        наружный шарнирно опёрт, равномерная нагрузка (замкнутое решение)
Сравниваются: OpenCS — линейный расчёт CSfea схемы «колонна + плита», сетка Gmsh,
              АЖТ примыкания по следу колонны; тот же расчёт без АЖТ
Результат: с АЖТ радиальный момент у грани колонны отличается от решения Кирхгофа на 0,3–2,5 %
           при шаге сетки 0,4; 0,2 и 0,1 м, пик момента от шага не зависит;
           без АЖТ пик растёт с измельчением сетки: 13,9 → 21,3 → 26,4 кН·м/м
Тест: CSfea.Tests/RigidJunctionColumnSlabTests.cs

Задача проверяет АЖТ в примыканиях стержней к плитам. Без жёсткого тела колонна передаёт усилие в плиту одним узлом. Момент над колонной в такой модели — особая точка, и его пик зависит от шага сетки. Если след колонны охвачен жёстким телом, плита над колонной работает как защемлённая по грани колонны, и момент у грани должен сходиться к решению теории пластин.

Чтобы получить замкнутый эталон, плита взята круглой, а колонна — круглого сечения. Такая задача осесимметрична и сводится к изгибу кольцевой пластины.

Постановка

Круглая плита на колонне: план и разрез

Величина	Значение
Плита	круг радиусом `a = 3,0 м` (многоугольник из 96 сторон), толщина `t = 0,2 м`
Материал плиты	упругий, `E = 30 000 МПа`, `ν = 0,2`
Колонна	круг `Ø 0,6 м` (`b = 0,3 м`, контур сечения — 32-угольник), длина 3 м под плитой, оба узла закреплены по шести степеням свободы
Опирание контура	шарнир: `ux = uy = uz = 0`, повороты свободны
Нагрузка	равномерная `q = 10 кПа` вниз на все КЭ плиты
Сетка	Gmsh, четырёхугольные КЭ, шаг `h = 0,4; 0,2; 0,1 м`
АЖТ	след колонны — выпуклая оболочка контура сечения; ведущий узел — узел колонны в плите, связаны все шесть степеней свободы

Перемещения контура в плоскости плиты закреплены, чтобы в варианте без АЖТ плита не поворачивалась вокруг вертикальной оси. На изгиб линейной плиты эти закрепления не влияют.

Эталон

Прогиб кольцевой пластины Кирхгофа под равномерной нагрузкой (прогиб w положителен вниз):

\[ w(r) = \frac{q\,r^4}{64\,D} + C_1\,r^2\ln r + C_2\,r^2 + C_3\ln r + C_4, \qquad D = \frac{E\,t^3}{12\,(1-\nu^2)} . \]

Постоянные \(C_1 \dots C_4\) находятся из четырёх условий: на грани колонны \(w(b) = 0\) и \(w'(b) = 0\) (защемление жёстким телом), на контуре \(w(a) = 0\) и \(M_r(a) = 0\) (шарнир), где

\[ M_r = -D\left(w'' + \frac{\nu}{r}\,w'\right). \]

В OpenCS положительный момент растягивает верхнюю грань плиты, поэтому сравнивается \(M = -M_r\): над колонной он положителен.

Точка	\(M\), кН·м/м
Грань колонны, `r = 0,30 м`	22,39
`r = 0,32 м`	19,98
`r = 0,40 м`	13,46
Наибольший момент в пролёте, `r ≈ 1,78 м`	−5,20

Решение в OpenCS

Тест повторяет команду Построить сетку схемы без базы данных: дискретизация стержня, следы АЖТ, вшивание контура следа в сетку плиты (реальный Gmsh), материализация сетки и тел. Затем модель передаётся в линейный расчёт CSfea. Радиальный момент в центре каждого КЭ получается из усилий в общих осях:

\[ M_{rr} = M_x \cos^2\varphi + M_y \sin^2\varphi + 2\,M_{xy} \sin\varphi \cos\varphi , \]

где \(\varphi\) — полярный угол центра КЭ. Момент у грани оценивается средним отношением \(M_{rr} / M(r)\) по КЭ, центры которых лежат в кольце \(b < r < b + 2h\). Пик — наибольший \(M_{rr}\) по всем КЭ плиты.

Результаты

Момент у грани колонны с АЖТ

Шаг сетки `h`, м	Ведомых узлов АЖТ	\(M_{rr}/M\) у грани (среднее по кольцу)	Отклонение
0,4	54	1,003	+0,3 %
0,2	70	0,975	−2,5 %
0,1	97	0,982	−1,8 %

Пик момента над колонной

Пик с АЖТ сравнивается с эталоном в той же точке — в центре КЭ, где он достигнут. Пик без АЖТ эталона не имеет: опора одним узлом — особая точка.

Шаг сетки `h`, м	С АЖТ: пик, кН·м/м (при `r`, м)	Кирхгоф в той же точке, кН·м/м	Без АЖТ: пик, кН·м/м (при `r`, м)
0,4	19,50 (0,323)	19,77	13,87 (0,181)
0,2	19,74 (0,321)	19,98	21,34 (0,086)
0,1	19,74 (0,321)	19,98	26,40 (0,057)

С АЖТ пик при шагах 0,2 и 0,1 м один и тот же: у грани колонны размер КЭ задают вшитые рёбра контура следа, а не шаг сетки. Без АЖТ пик смещается к узлу колонны и растёт с каждым измельчением.

Равновесие

Во всех шести расчётах сумма вертикальных реакций равна нагрузке на плиту: \(\sum R_z = q\,S = 282{,}5\) кН, где S — площадь многоугольника контура.

Допуски теста

Проверка	Допуск
\(\sum R_z = q\,S\) в каждом расчёте	1 %
Одно тело на колонну	точно
\(M_{rr}/M\) у грани с АЖТ при каждом шаге	5 %
Пик с АЖТ: изменение между `h = 0,2` и `h = 0,1`	меньше 2 %
Пик без АЖТ: рост между `h = 0,2` и `h = 0,1`	больше 15 %
Пик без АЖТ при `h = 0,1` выше пика с АЖТ	—

Примечания

Пластины CSfea учитывают сдвиговые деформации (теория Миндлина), эталон — теория Кирхгофа. При отношении толщины плиты к радиусу колонны t/b ≈ 0,67 это может давать расхождение порядка процента у защемлённого края.
Контур колонны — 32-угольник, а не окружность; след и эталон совпадают с точностью до этой аппроксимации.
Тест относится к категории Verification и выполняется при наличии Gmsh.