Расчётные длины стали по устойчивости схемы — CSfea

Постановка Расчётные длины — CSfea определяет коэффициенты расчётной длины μx, μy стальных стержней МКЭ-схемы по расчёту схемы на устойчивость. Результат сохраняется в постановке: формы потери устойчивости, μ, lef и коэффициент запаса устойчивости КЗУ смотрятся в 3D-виде схемы, а проверка стали по КЭ в режиме Авто (МКЭ) берёт из него расчётные длины для формул устойчивости СП 16 (φ, φe, предельная гибкость).

μ назначается одним из трёх методов постановки:

• по формам (λ·N) — по формам общей устойчивости схемы и локальным задачам элементов (Назначение μ);
• номограммы ASCE — поэлементно по отношениям погонных жёсткостей в узлах концов, уравнения номограмм со смещением и без (Номограммы);
• табл. 31 СП 16 — формулы для колонн свободных и несвободных рам; наклонные и горизонтальные стержни — по номограмме ASCE.

Расчёт устойчивости выполняется при любом методе: λ₁ схемы, формы и μ по формам остаются в результате справочно. Источники методов — в разделе Методы и первоисточники.

Расчёт работает для любой схемы, которую принимает CSfea: созданной в OpenCS и импортированной из ЛИРА-САПР или SCAD. Пластины, жёсткие тела и пружины входят в модель устойчивости, но расчётные длины назначаются только стержням.

Методы и первоисточники

Метод в OpenCS	Суть	Первоисточник
по формам (λ·N), общая форма	расчёт всей схемы на устойчивость, \(N_{cr} = \lambda_k\,\lvert N\rvert\) по форме, в которой элемент участвует	СП 16.13330.2017, п. 10.3.11; системный подход — ASCE 1997, п. 2.3.3 и прил. A
по формам (λ·N), локальная задача	устойчивость одного стержня, опирающегося на остальную схему при фактических усилиях; «со схемой» и «без смещения»	Бритвин Е. И., Айзенбергер М. (Britvin E. I., Eisenberger M.) Efficient algorithm of the buckling lengths method in analysis of spatial frame systems for stability // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2025. Vol. 21, Iss. 4. P. 41–55
по формам (λ·N), правило назначения	выбор формы по участию элемента (энергия изгиба и работа продольной силы), минимум с локальной задачей, качание	правило OpenCS, описано в разделе Назначение μ; проверено тестами и примерами ниже
номограммы ASCE	изолированный фрагмент «стойка + ригели у концов», параметр узла \(G\), уравнения номограмм со смещением и без	ASCE Task Committee on Effective Length. Effective Length and Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability: Implications for American Steel Design. ASCE, 1997, п. 2.3.1, ур. 2.9, 2.10, 2.13 (исходно — Kavanagh, 1962; SSRC, 1976); эквивалентная стойка — там же, прил. D
табл. 31 СП 16	формулы для колонн свободных и несвободных рам по отношениям погонных жёсткостей \(p\), \(n\)	СП 16.13330.2017, п. 10.3.4, табл. 31

Большие μ слабо нагруженных элементов при системном расчёте (общая форма) — известное свойство подхода, а не погрешность решателя: элемент теряет устойчивость вместе со схемой при своей небольшой силе. Их интерпретация разобрана в ASCE 1997, п. 2.3.4.

Нормативная основа

СП 16.13330.2017	Как учтено
п. 10.3.11 — расчётные длины можно определять расчётом схемы на устойчивость в упругой стадии по недеформированной схеме	линейная задача на собственные значения \((K + \lambda K_\sigma)\,\varphi = 0\) с упругими сечениями; \(K_\sigma\) — по продольным силам линейного расчёта сочетания
п. 9.2.3 — усилия определяются по недеформированной схеме	μ элемента, участвующего в общей форме, содержит эффект смещения узлов: критическая сила берётся по форме всей схемы, а не по локальной задаче элемента при фактической нагрузке
п. 10.3.2 — μ определяется по сочетанию с наибольшей продольной силой и применяется для всех сочетаний	по умолчанию — одна задача по огибающей сжатия: каждый стержень одновременно с наибольшим сжатием по всем сочетаниям (Продольные силы); по выбору — задача по определяющему сочетанию каждого элемента
пп. 10.3.5, 10.3.8, 10.4	применяются в проверке поверх найденного μ, как при ручном задании

Расчётная длина балки lef,b для φb (изгибно-крутильная форма) этим расчётом не определяется.

Расчётный элемент

Расчётная длина назначается расчётному элементу:

• конструктивному элементу (КонЭ) — стержню схемы из одного или нескольких КЭ;
• если КонЭ нет (импортированные схемы «только сетка»), — цепочке соосных КЭ между узлами, где примыкают другие КЭ (та же цепочка, что у длины по сетке).

l — длина расчётного элемента, N — наибольшее сжатие его КЭ по всем сочетаниям (сочетание, где оно достигается, — определяющее), EI — жёсткость сечения наиболее сжатого КЭ по рассматриваемой оси. Для задачи устойчивости каждый расчётный элемент делится не менее чем на 4 подэлемента (при меньшем числе КЭ — дроблением; шарниры остаются на концах, нагрузки распределяются по подэлементам). Номера КЭ схемы не меняются, дробление — внутренняя деталь решателя.

Элемент без сжатия ни в одном сочетании расчётных длин не получает — в журнале называется их число.

Задача устойчивости

Строится модель CSfea с упругими сечениями (как в линейном расчёте), выполняется линейный расчёт по сочетаниям, и по продольным силам стержней и мембранным усилиям пластин собирается геометрическая матрица \(K_\sigma\) (какие силы берутся — см. Продольные силы). Ищутся наименьшие положительные \(\lambda_k\) задачи

\[ K\,\varphi_k = \lambda_k\,(-K_\sigma)\,\varphi_k,\qquad k = 1\ldots m, \]

итерациями подпространства с проекцией Рэлея–Ритца; \(m\) — Число форм постановки (по умолчанию 20). \(\lambda_k\) — множитель продольных сил задачи (огибающей или сочетания), при котором схема теряет устойчивость по форме \(k\). Растянутые элементы делают \(-K_\sigma\) знаконеопределённой; итерации идут со сдвигом \(\sigma < \lambda_1\), поэтому отрицательные корни (короткие сильно растянутые стержни) не мешают найти положительные.

Если \(\lambda_1 \le 1\), схема неустойчива уже при самих продольных силах задачи: μ по ней не назначаются, в журнале и в пояснении элемента — «схема неустойчива при сочетании … (λ₁ = …)».

Продольные силы: огибающая сжатия или определяющее сочетание

Проверка стали получает у элемента одну расчётную длину на все строки усилий, поэтому μ должен годиться для каждого сочетания. Параметр постановки Продольные силы задаёт, по каким силам собирается \(K_\sigma\):

• огибающая сжатия по всем сочетаниям (по умолчанию) — одна задача: у каждого стержня наибольшее сжатие по сочетаниям, у стержня, растянутого во всех сочетаниях, — наименьшее растяжение;
• определяющее сочетание элемента (п. 10.3.2) — задача по каждому различному определяющему сочетанию; элемент получает μ из своего.

Разница проявляется в схемах с поддерживающими колоннами. В сочетании с частичным загружением незагруженные колонны раскрепляют загруженные, и μ загруженных получается малым. Если это сочетание даёт элементу наибольшее сжатие, малый μ применяется и к сплошному загружению, где раскреплять некому. В огибающей все колонны сжаты одновременно, и такого раскрепления нет.

Пример (тест ниже): шесть одинаковых консолей высотой \(h\), вверху шарнирно связаны ригелем. Колонна с силой \(N\) и смещением верха даёт поперечную жёсткость \(k(u) = \dfrac{EI}{h^3}\,\dfrac{u^3}{\operatorname{tg}u - u}\), \(u = h\sqrt{N/EI}\); без сжатия \(k = 3EI/h^3\); этаж теряет устойчивость при \(\sum k = 0\), \(\mu = \pi/u\).

Задача	Уравнение	μ крайней колонны
сочетание 1 (P на все)	\(k(u) = 0\)	2,000
сочетание 2 (1,2P на две крайние) — определяющее для крайних	\(2k(u) + 4\cdot 3 = 0\)	1,176
огибающая (1,2P на крайних и P на остальных одновременно)	\(2k(u) + 4k(u/\sqrt{1{,}2}) = 0\)	1,886

По определяющему сочетанию крайняя колонна получает \(\mu = 1{,}176\), а в сочетании 1 её критическая сила при этом \(\mu\) завышена в \((2/1{,}176)^2 \approx 2{,}9\) раза. По огибающей — \(\mu = 1{,}886\) (средние колонны — 2,066).

Огибающая приближённая и не строго в запас. Множитель \(\lambda\) огибающей не больше, чем у любого сочетания: в ней каждый стержень сжат не меньше. Но \(N_{cr} = \lambda\,N\) элемента может немного превышать критическую силу того сочетания, где он нагружен слабее остальных: в огибающей более нагруженные элементы опираются на менее нагруженные. В примере для сочетания 1 огибающая даёт \(\mu = 1{,}886\) вместо 2 (\(N_{cr}\) выше на 12,5 %). Отличие тем меньше, чем ближе распределение сжатия в сочетаниях к огибающей; при одном сочетании обе настройки дают одинаковый результат.

Пластины в задаче по огибающей берут мембранные усилия одного сочетания — определяющего для наибольшего числа элементов (в журнале — строка «Оболочки в задаче по огибающей — по сочетанию «…»»).

Назначение μ

По каждой форме \(k\) для каждого элемента \(i\) и каждой плоскости изгиба считаются энергия изгиба \(U_{ik} = \tfrac12\varphi_k^{\mathsf T} K_i \varphi_k\) и работа продольной силы \(W_{ik} = \tfrac12\varphi_k^{\mathsf T} (-K_{\sigma,i}) \varphi_k\) (суммы по подэлементам; \(\sum U = \lambda_k \sum W\)). Из них:

Величина	Формула	Смысл
участие	\(\theta^2_{ik} = \dfrac{W_{ik}}{\sum \lvert N\rvert\,l}\), отнесённое к наибольшему по элементам формы	средний квадрат угла поворота оси элемента; не зависит от нормировки формы и числа стоек этажа
доля работы	\(W_{ik} / \sum W_k\)	для пояснения в отчёте
\(\rho_{ik}\)	\(U_{ik} / W_{ik}\)	\(\rho > \lambda_k\) — элемент держит других; \(\rho < \lambda_k\) — его держат

Пороги (в интерфейсе не настраиваются):

Порог	Значение
наименьшее участие элемента в форме	0,1
качание: \(\rho < 0{,}01\,\lambda_k\)	элемент поворачивается почти как жёсткое тело
наименьшая доля работы стержней в форме	5 % — иначе форма пластин, стержням не назначается
локальная форма относится к плоскости, если на неё приходится работы	не меньше 50 %

Критическая сила в каждой плоскости назначается так:

flowchart TD
    A["Элемент i, плоскость p,<br/>определяющее сочетание"] --> B{"Наинизшая форма k<br/>с участием ≥ 0,1?"}
    B -- да --> C{"ρ меньше 0,01·λk?"}
    C -- "да: качание" --> D["N_cr = N_cr,лок без смещения<br/>(без локальной формы — μ = 1)"]
    C -- нет --> E["N_cr = min(λk·|N|, N_cr,лок без смещения)"]
    B -- нет --> F{"Локальная форма<br/>со схемой есть?"}
    F -- да --> G["N_cr = N_cr,лок со схемой"]
    F -- нет --> H["μ не назначен:<br/>длина по сетке или из параметров СП 16"]

\[ \mu = \frac{\pi}{l}\sqrt{\frac{EI}{N_{cr}}},\qquad l_{ef} = \mu\,l,\qquad \text{КЗУ} = \frac{N_{cr}}{|N|}. \]

У элемента, назначенного по форме, \(\text{КЗУ} = \lambda_k\); в мозаике и карточке показывается наименьший по осям КЗУ.

Локальная задача. Жёсткость всей схемы \(A = K + K_\sigma(N_0)\) при фактическом сочетании раскладывается один раз; для элемента берётся блок податливости \(F = (A^{-1})_{EE}\) по всем его степеням свободы, включая узлы дробления. Ищется множитель \(\alpha\) продольной силы только этого элемента, при котором он теряет устойчивость, опираясь на остальную схему (подход Бритвина и Айзенбергера). Решаются два варианта:

• со схемой — концы элемента смещаются вместе со схемой; применяется к элементам, не участвующим ни в одной из найденных форм (балки с малым N, стойки, которые в наинизших формах только «едут» вместе с этажом);
• без смещения — поперечные перемещения концов закреплены; применяется к качающимся элементам и как второе слагаемое минимума у участников: так находится форма без смещения слабой перегруженной стойки, которая ниже общей формы.

\(N_{cr,лок} = \alpha\,|N|\). Если \(N_{cr,лок}\) без смещения ниже \(\lambda_k |N|\), источник μ — «локальная задача», иначе — «общая форма».

Почему не локальная задача для всех

Локальная задача при фактической нагрузке не содержит эффекта смещения узлов при нагрузке, увеличенной до критической. Для элементов свободных рам она даёт μ меньше, чем по общей форме, а усилия по п. 9.2.3 СП 16 определяются без второго порядка — такое μ было бы небезопасным. Поэтому участники общей формы получают N_cr по ней, а локальная задача служит только минимумом «без смещения» и запасным путём для неучастников.

Номограммы ASCE и табл. 31 СП 16

Номограммный метод назначает μ каждому элементу по его окружению — без формы всей схемы. Он повторяет ручной расчёт по номограммам (alignment charts) и по таблице 31 СП 16, но отношения жёсткостей в узлах собираются по фактической МКЭ-схеме.

Стержни у узла конца. Для расчётного элемента и плоскости изгиба (ось изгиба \(a\) — местная z или y) у каждого конца собираются стержни, сходящиеся в узле. Соосные элементу считаются колоннами, остальные — ригелями. Вклад стержня — погонная жёсткость относительно оси \(a\):

\[ k = \frac{EI_y (e_y\cdot a)^2 + EI_z (e_z\cdot a)^2}{L}, \]

где \(e_y\), \(e_z\) — местные оси стержня, \(L\) — длина до конца его расчётного элемента. Кручение не учитывается (как в номограмме); шарнир стержня у узла даёт нулевой вклад.

Параметр узла (ASCE 1997, ур. 2.10):

\[ G = \frac{\sum k_{колонн}}{\sum c\,k_{ригелей}}, \]

в числителе — сам элемент и его соосное продолжение. Коэффициент \(c\) ригеля учитывает условия на дальнем конце и сжатие ригеля (ур. 2.11, 2.12):

Дальний конец ригеля	Со смещением	Без смещения
узел с другими стержнями	1	1
заделка (опора, закреплённая от поворота)	2/3	2
шарнир (шарнир стержня или шарнирная опора)	1/2	1,5
свободный конец	1/6	1/2

При сжатии ригеля \(c\) умножается на \(1 - Q/Q_{cr}\), \(Q_{cr} = \pi^2 EI/L^2\); растяжение в запас не учитывается. Пружина поворота узла \(k_\varphi\) добавляется как ригель с \(k = k_\varphi/6\) (со смещением) или \(k_\varphi/2\) (без смещения). Опорный узел, закреплённый от поворота, получает G заделки (по умолчанию 1 — рекомендация AISC вместо теоретического 0). Шарнирная опора, держащая элемент вдоль его оси, — не больше G шарнира (по умолчанию 10 вместо ∞). Шарнир самого элемента у узла — \(G = \infty\).

Уравнения номограмм (ASCE 1997, п. 2.3.1). Со смещением, \(K \ge 1\):

\[ \frac{G_A G_B (\pi/K)^2 - 36}{6\,(G_A + G_B)} - \frac{\pi/K}{\operatorname{tg}(\pi/K)} = 0, \]

без смещения, \(0{,}5 \le K \le 1\):

\[ \frac{G_A G_B}{4}\left(\frac{\pi}{K}\right)^2 + \frac{G_A + G_B}{2}\left[1 - \frac{\pi/K}{\operatorname{tg}(\pi/K)}\right] + \frac{2\operatorname{tg}(\pi/2K)}{\pi/K} - 1 = 0. \]

Корень ищется делением пополам по \(u = \pi/K\). Если со смещением оба конца без закрепления от поворота, это механизм: μ не определяется. \(\mu = K\), \(N_{cr} = \pi^2 EI/(\mu l)^2\).

Табл. 31 СП 16 применяется к вертикальным стержням (отклонение оси от вертикали не больше 25,8°, \(|\cos| \ge 0{,}9\)). По тем же стержням узлов:

• \(p = \sum I_i l_c/(I_c l_i)\) — ригели у нижнего конца колонны, \(n = \sum I_s l_c/(I_c l_s)\) — у верхнего; коэффициенты дальнего конца не вводятся;
• основание, закреплённое от поворота, — \(p = \infty\); шарнирное — \(p = 0\);
• этаж: верхний — над колонной нет соосного продолжения, нижний — колонна стоит на опоре, средний — остальные; одноэтажная рама — верхний и нижний сразу;
• число пролётов \(k\) — обходом соосных ригелей от узла; у крайней колонны (один ригель в узле) \(k = 1\) по примечанию к таблице;
• приведение \(p\), \(n\) по \(k\) и этажу и формулы (141)–(145) с частными случаями — по таблице; формула (141) — в редакции письма ФАУ «ФЦС» от 10.11.2023 № Исх-8076: \(\mu = 2\sqrt{1 + 0{,}38/n}\).

Наклонные и горизонтальные стержни при методе СП 16 получают μ по номограмме ASCE, в пояснении это отмечено.

Смещение концов решается по одному из правил постановки:

Правило	Со смещением, если
по общей форме	в общей форме, где элемент участвует, доля смещения хорды в работе продольной силы \(\dfrac{(\Delta v)^2/l}{\sum (\Delta v_j)^2/l_j} \ge 0{,}5\); элемент вне найденных форм — без смещения
по жёсткости окружения	жёсткость остальной схемы на взаимное смещение концов \(r_3\) (справочная стойка окружения) меньше порог·\(12EI/l^3\); порог по умолчанию 5
вручную	отмечено в постановке по оси x или y сечения (СП 16) — для всех элементов

Доля смещения хорды около 0,8 у стойки, конец которой смещается при закреплённых поворотах, и 0 — у изгиба между несмещёнными концами.

Пояснение по оси называет метод, смещение и его признак, G концов (у СП 16 — этаж, \(k\), приведённые \(p\), \(n\) и номер формулы), N и \(N_{cr}\). Ход вычисления — по каждому узлу колонны и ригели с погонными жёсткостями и коэффициентами, опоры, G; затем уравнение или формула таблицы с подстановкой и справочно — назначение по формам того же элемента.

Номограмма и форма схемы

Номограмма предполагает, что все колонны подсистемы теряют устойчивость одновременно, с одинаковым параметром \(L\sqrt{P/EI}\). Перегруженную колонну, которую держат слабо нагруженные соседи, или стойку с шарниром сверху, которую держит остальная рама (качание), она не видит — μ таких элементов по номограмме и по форме схемы заметно различаются (см. пример 4). Справочное значение по формам в ходе вычисления позволяет сразу увидеть такие случаи.

Эквивалентная стойка в отчёте

Чтобы μ можно было проверить вручную, по каждой оси строится эквивалентная стойка (Масленников А.М., 2017, с. 218): низ несмещаем, пружины поворота концов \(r_1\), \(r_2\) и пружина смещения верха относительно низа \(r_3\).

• По форме, по которой назначена \(N_{cr}\) (общей при \(\lambda_k\) или локальной при \(\alpha\)): из равновесия конца \(f + r\,\delta = 0\), \(r = -f/\delta\), где \(f = (K + m K_\sigma)\,d\) — усилие в форме, \(\delta\) — перемещение конца. Стойка с такими пружинами находится в равновесии в той же форме, и её корень даёт тот же μ с точностью дробления. \(r < 0\) означает, что окружение не держит, а нагружает элемент (например, консоль, держащая стойки-качалки).
• Справочно — жёсткости окружения при фактическом сочетании: диагональ сведённой к концам матрицы \(K + K_\sigma\) остальной схемы. Связи между перемещениями концов отброшены, поэтому μ такой стойки лишь близок к расчётному.

Форма стойки \(y = A\sin kx + B(\cos kx - 1) + Cx\), граничные условия — из полной энергии, безразмерные жёсткости

\[ \rho_1 = \frac{r_1 l}{EI},\quad \rho_2 = \frac{r_2 l}{EI},\quad \rho_3 = \frac{r_3 l^3}{EI},\qquad u = l\sqrt{\frac{N_{cr}}{EI}},\quad \mu = \frac{\pi}{u}. \]

Корень \(u\) ищется на \(\mu \in [0{,}25;\ 100]\); для стойки по форме — ближайший к найденной \(N_{cr}\). Если к элементу в пролёте примыкают другие КЭ (их усилия в форме больше 1 % концевых) или μ стойки отличается от расчётного больше чем на 1 % (переменные N или EI по длине — в стойке наибольшее сжатие), строка отчёта сопровождается примечанием.

Оси СП 16

Плоскости местных осей стержня переводятся в оси сечения СП 16 так же, как в проверке стали: у КЭ схемы OpenCS ось x сечения — местная z (lef,x — изгиб с Iz), у импортированных схем ось x параллельна местной Y1.

Постановка

Постановка создаётся в дереве схемы, узел Расчёты схемы: в диалоге постановки Тип расчёта — Расчётные длины — CSfea (третий после нелинейного секущего и линейного CSfea). Имя по умолчанию — «Расчётные длины — CSfea». В дереве у постановки индиговая плашка CSfea · lef.

Поле	Что задаёт
Сочетания	Комбинации и загружения схемы, отмеченные в окне выбора нагрузки (кнопка Выбрать…, как у пакета вариантов). Шага и предела λ нет. Без отмеченных сочетаний постановка не сохраняется.
Продольные силы	огибающая сжатия по всем сочетаниям (по умолчанию) — одна задача, или определяющее сочетание элемента (п. 10.3.2) — задача по каждому определяющему сочетанию; см. Продольные силы.
Число форм	Сколько наинизших форм ищется в каждой задаче; целое от 1 до 200, по умолчанию 20. Элементы, не участвующие ни в одной из форм, получают μ по локальной задаче — чем больше форм, тем больше элементов назначается по общей форме, но тем дольше расчёт.
Назначение μ	по формам (λ·N) (по умолчанию), номограммы ASCE или табл. 31 СП 16 — см. Номограммы. Номограммные поля ниже видны только у номограммных методов.
Смещение концов	по общей форме (по умолчанию), по жёсткости окружения — с полем порог r₃/(12EI/l³) (по умолчанию 5), вручную — с флажками со смещением по оси x и со смещением по оси y.
G заделки, G шарнира	G опорного узла, закреплённого от поворота, и верхняя граница G шарнирной опоры; по умолчанию 1 и 10 (AISC).

Сетка схемы, если она устарела, перестраивается перед расчётом. Ошибки входа (в схеме нет стержней, нет сочетаний) выводятся в журнал, расчёт не начинается. Сохранённый результат устаревает и при смене метода назначения, номограммных параметров или продольных сил: они входят в отпечаток входа.

Результат

Журнал. При огибающей — «Огибающая сжатия по K сочетаниям: μ для N эл., λ₁ = …» (и строка о сочетании оболочек, если в схеме есть пластины); при определяющих сочетаниях — по каждому «Сочетание «…»: определяющее для N эл., λ₁ = …, форм …»; отметки «Итерации не сошлись» и «Схема неустойчива при сочетании (λ₁ ≤ 1) — μ не назначаются»; затем число элементов без сжатия, с N_cr по локальной задаче и без формы.

3D-вид. Источник Расчёт, затем постановка (см. Результат расчёта в 3D-виде схемы):

• Формы — выпадающий список Форма: в строке результата под 3D-видом: все заказанные формы каждой задачи, «задача · форма k · λ = …» (при огибающей — «огибающая сжатия» · форма k); стрелки ◀ ▶ по бокам листают предыдущую и следующую форму без открытия списка. Деформированная схема включается сразу и показывает форму, нормированную на \(\max |u| = 1\), с множителем масштаба; под ней — серый контур исходной схемы (кнопка Исходная схема). Стержень рисуется ломаной через точки дробления, поэтому форма видна и у стержня из одного КЭ. Формы показываются статично, без анимации.
• Мозаика стержней — величины КЗУ = N_cr/N (наименьший по осям), μx, μy, lef,x, м, lef,y, м, Источник μx и Источник μy категориями: общая форма (λ·N), качание, локальная задача, не участвует (μ не назначен), номограмма со смещением, номограмма без смещения, не назначен. Перемещения формы мозаикой не предлагаются — они безразмерные.
• Карточка выбранного КЭ или КонЭ — «Расчётные длины: …»: элемент, определяющее сочетание, l, N; по каждой оси μ, lef, N_cr, КЗУ и источник; у одного выбранного элемента — ход вычисления (пояснения, у номограмм — узлы, G и уравнение, эквивалентные стойки). Элемент без сжатия — «сжатия нет ни в одном сочетании — расчётные длины не нужны». Сжатие меньше 10⁻⁶ наибольшего по схеме (шум округления у ригелей под узловой нагрузкой) считается отсутствием сжатия.

Пояснение по общей форме строится по образцу:

μx = … по расчёту устойчивости (элемент, l = … м): форма k сочетания «…», λ = …, доля работы элемента в форме … %, ρ/λ = …; N = … кН, N_cr = λ·N = … кН, μ = π/l·√(EI/N_cr).

У качания, локальной задачи и неучастника — свои формулировки с α, N_cr = α·N и причиной; за пояснением по оси следуют строки эквивалентной стойки по форме и справочной стойки по жёсткостям окружения.

У номограммы пояснение строится по образцу:

μx = … по номограмме ASCE (элемент, l = … м, сочетание «…»): рама со смещением (по форме k: доля смещения хорды …); G = … у конца I, G = … у конца J, ур. (2.9). N = … кН, N_cr = π²EI/(μl)² = … кН.

Сравнение методов на раме Бритвина. Одна схема, три постановки, мозаика μx при форме 1 сочетания С1:

Таблицы результата для этой постановки ведут в 3D-вид: отдельного окна таблиц нет.

Результат хранит сводку (задачи с λ форм, элементы с l, N, определяющим сочетанием, μ, N_cr, источником, номером формы, пояснениями) и формы — перемещения узлов сетки и точек дробления стержней. Вместе с ними сохраняется отпечаток входа (SHA-256): модель (узлы, стержни с упругими характеристиками и шарнирами, пластины, жёсткие тела, опоры, пружины, загружения), расчётные элементы, сочетания, число форм, метод назначения μ и продольные силы задачи.

Проверка стали «Авто (МКЭ)»

В блоке Расчётные длины диалога Нормативная проверка стальной группы (или на странице группы) флажок Авто (МКЭ): μ по расчёту устойчивости схемы и список Постановка:. Постановки «Расчётные длины — CSfea» стоят в списке первыми и выбираются по умолчанию.

При запуске проверки:

1. если отпечаток входа совпадает с сохранённым — длины берутся из результата постановки, в журнале «расчётные длины — из результата постановки «…» от … (вход не изменился)»;
2. если результата нет или схема, сечения, нагрузки, сочетания или число форм изменились — постановка пересчитывается и сохраняется (её статус в дереве обновляется), затем длины берутся из нового результата; причина пересчёта — в журнале.

Можно выбрать и постановку другого вида: тогда сочетаниями служат её стадии, а расчёт устойчивости выполняется перед каждой проверкой и не сохраняется.

Приоритет источников длин у КЭ:

1. КЭ стальной группы SCAD — длины своей группы;
2. расчётные длины «Авто (МКЭ)» — по каждой оси, где μ назначен: \(l_{ef} = \mu\,l\), l — длина расчётного элемента;
3. по оси, где μ не назначен, — длина по сетке при включённом флажке lef = μ·l, l — по сетке схемы для каждого КЭ, иначе lef из параметров СП 16 группы.

lef балки для φb берётся по сетке или из параметров группы. Сводка результата проверки называет число КЭ с длинами по расчёту устойчивости и число КЭ, у которых μ назначен не по обеим осям. Пояснения источника μ и эквивалентные стойки попадают в примечания результата строки — их видно в отчёте проверки.

Проверочные тесты

Автоматические тесты — CSfea.Tests/StructuralBucklingTests.cs, RcBucklingAnalysisTests.cs, RcBucklingLengthsTests.cs, RcBucklingLocalTests.cs, RcRestrainedColumnTests.cs, RcNomogramLengthsTests.cs, GolenkinWebinarTests.cs, CScore.Tests/Fem/FemBucklingUnitsTests.cs, OpenCS.Tests/FemSteelBucklingLengthsTests.cs, FemBucklingRunnerTests.cs, FemResult/BucklingResultLayerTests.cs, FemCheckBucklingVMTests.cs.

Случаи Эйлера. Стойка из одного КЭ, дробление на 4 подэлемента, допуск 0,3 %.

Закрепление	Эталон μ	OpenCS μ
шарнир — шарнир	1,000	0,9997
консоль	2,000	2,0000
заделка — шарнир	0,6992	0,6984

Рама Бритвина и Айзенбергера (IJCCSE 21(4), 2025, рис. 5: двухэтажная двухпролётная рама, колонны HE320C, ригели RVS 300×300×15, \(E = 2{,}0594\cdot10^{11}\) Па; один КЭ на стержень). Колонна 5 — средняя нижнего этажа, μ — по локальной задаче при нагрузке \(P\) (дробление на 8 подэлементов).

Показатель	Статья	OpenCS
\(P_{cr}\), Н (дробление на 4)	1,005·10⁷	1,0084·10⁷
\(P_{cr}\), Н (дробление на 8)	1,005·10⁷	1,0054·10⁷
μ колонны 5, \(P \to 0\)	0,790	0,7861
μ колонны 5, \(P = 2{,}5\cdot10^6\) Н	0,827	0,8270
μ колонны 5, \(P = 5\cdot10^6\) Н	0,884	0,8839
μ колонны 5, \(P = 8\cdot10^6\) Н	1,002	1,0015

При \(P \to 0\) определитель (10) статьи с точными функциями устойчивости и жёсткостями остальной схемы, приведёнными в статье для узла B, даёт \(\alpha = 3{,}9966\) и \(\mu = 0{,}7861\) — значение 0,790 (α = 3,977) в таблице статьи, по всей видимости, содержит неточность. Эквивалентная стойка по локальной форме даёт тот же μ (0,7861…1,0015).

Эквивалентная стойка и номограммы ASCE (ASCE, Effective Length and Notional Load Approaches, 1997, ур. D.3; \(\rho = 6/G\) со смещением, \(\rho = 2/G\) без смещения).

Случай	ASCE	OpenCS μ
со смещением, \(G_A = G_B = 1\)	1,316	1,3173
без смещения, \(G_A = G_B = 1\)	0,774	0,7743

Уравнения номограмм (ур. 2.9 и 2.13 ASCE; предельные случаи — случаи Эйлера).

Случай	Эталон K	OpenCS K
со смещением, \(G_A = G_B = 1\)	1,316 (номограмма)	1,3173
без смещения, \(G_A = G_B = 1\)	0,774 (номограмма)	0,7743
со смещением, заделка — заделка (\(G = 0\))	1	1,0000
со смещением, заделка — шарнир	2	2,0000
без смещения, шарнир — шарнир	1	1,0000
без смещения, заделка — шарнир	0,6992	0,6992
без смещения, заделка — заделка	0,5	0,5000

Демо-рама по мотивам Бритвина — номограммы и табл. 31 по схеме. Два пролёта по 6 м, два этажа по 3 м; колонны — сварной двутавр 360×320 (полки 26 мм, стенка 16 мм; \(EI\) в плоскости 103 817 кН·м², из плоскости 29 273 кН·м²), ригели — гнутый короб 300×300×15 (\(EI\) = 43 343 кН·м²), С345; низ — заделка, узлы этажей закреплены из плоскости рамы; вертикальная нагрузка 600 кН на крайние и 1200 кН на средние узлы обоих этажей, ветер 40 кН. Эталон — ручной расчёт: \(G\) по погонным жёсткостям (\(k_c\) = 34 606 кН·м, \(k_g\) = 7 224 кН·м), корни ур. (2.9), формулы табл. 31. В плоскости рамы все колонны — со смещением (доля смещения хорды 0,85…0,99), из плоскости — без смещения.

Колонна	\(G\) низ / верх	ASCE, эталон	ASCE, OpenCS	СП 16, эталон	СП 16, OpenCS	По формам
К1 крайняя нижняя	1 / 9,581	1,8912	1,891	1,6049 (p = ∞, n = 0,104)	1,605	1,843
К2 крайняя верхняя	9,581 / 4,790	2,5123	2,512	2,4829 (143: p = 0,104, n = 0,209)	2,483	2,606
К3 средняя нижняя	1 / 4,790	1,6872	1,687	1,4163 (p = ∞, n = 0,278, k = 2)	1,416	1,311
К4 средняя верхняя	4,790 / 2,395	1,9131	1,913	1,7022 (144: p = 0,278, n = 0,557)	1,702	1,851
нижние, из плоскости	1 / ∞	0,8749	0,875	0,7071 (p = ∞, n = 0)	0,707	0,66…0,69
верхние, из плоскости	∞ / ∞	1	1	1 (p = n = 0)	1	0,93…0,98

Ригели по номограмме — без смещения: \(\mu\) = 0,550 у нижних и 0,630 у верхних (по формам 2,2…4,1: при \(N\) = 13–34 кН системная форма даёт большие μ). У крайних верхних колонн и номограмма, и табл. 31 дают μ около 2,5: ригели слабые (\(G\) = 4,8…9,6), и свободная рама при такой жёсткости ригелей сама по себе даёт большую расчётную длину.

Поддерживающие колонны: огибающая и определяющее сочетание

Тесты RcBucklingLengthsTests.RunEnvelope и FemSteelBucklingLengthsTests.Run_EnvelopeByDefault_GoverningOnRequest. Шесть колонн высотой 4 м с шагом 5 м, заделка внизу, шарнир вверху, верхние узлы связаны шарнирными тягами; сочетание 1 — \(P\) = 1000 Н на все колонны, сочетание 2 — 1,2P на две крайние. Эталон — корни уравнений из раздела Продольные силы, допуск 0,3 %.

Показатель	Эталон	OpenCS
определяющее сочетание крайней / средней колонны	2 / 1	2 / 1
μ крайней, задача по сочетанию 2	1,1758	1,1764
μ крайней, задача по сочетанию 1	2,0000	2,0000
N крайней в огибающей	−1,2P	−1,2P
μ крайней, огибающая	1,8857	1,8857
μ средней, огибающая	2,0657	2,0657

Примеры вебинара А. Голенкина

Вебинар А. Голенкина (structuristik) о расчётных длинах — плоские рамы, профили по СТО АСЧМ 20-93, \(E = 2{,}06\cdot10^5\) МПа; в модели все узлы, кроме опорных, закреплены из плоскости.

Пример 1.1 «Распределение раскрепления»: портал 11 м, колонны 30К1 с шарнирами внизу, ригели 70Ш5 (на высоте 7,3 м) и 35Б1 (5,5 м), по 1800 кН на колонну. В вебинаре нижний участок BC рассчитан номограммой с «распределением раскрепления»: верхний участок AB учтён как раскрепляющий элемент с поправкой \(1 - P/P_{cr,AB}\).

Показатель	Вебинар	OpenCS
\(P_{cr}\) на колонну по ЛРУ, кН	2111	2131 (по формам)
\(K_{BC}\)	2,423 (номограмма с распределением раскрепления)	2,438 по формам; 3,228 по номограмме ASCE

Классическая номограмма относит короткий участок AB к колоннам числителя \(G_B\) и завышает μ участка BC; форма схемы и распределение раскрепления дают близкие значения.

Пример 4 «Взаимное раскрепление»: две консоли 30К1 высотой 5 м, шарнирная распорка 45Б1 6 м, нагрузки 4500 и 1000 кН. В вебинаре — этажный подход AISC: \(K_i = \max\left(\sqrt{\dfrac{P_{e,i}}{P_i}\cdot\dfrac{\sum P}{\sum P_{e,sw}}},\ \sqrt{5/8}\,K_{sw}\right)\), \(K_{sw}\) = 2.

Показатель	Вебинар	OpenCS по формам	OpenCS, номограмма ASCE
\(\lambda_1\) (КЗУ схемы)	1,394 (\(\sum P_{e,sw}/\sum P\))	1,384	—
\(K_1\) (4500 кН)	1,581 (предел \(\sqrt{5/8}\cdot2\); без предела 1,563)	1,569	2,328
\(K_2\) (1000 кН)	3,317	3,329	2,328

Этажная формула \(\sum P_e/\sum P\) приближённа: точное условие устойчивости пары связанных консолей нелинейно по нагрузкам, и МКЭ даёт \(\lambda_1\) на 0,7 % ниже. Номограмма по элементу не видит взаимного раскрепления: обе консоли получают одинаковый \(K\) = 2,328 (\(G\) = 1 у заделки, ∞ у шарнира распорки), и у нагруженной консоли \(N_{cr}\) = 2830 кН меньше её \(N\) = 4500 кН — КЗУ 0,63 при устойчивой схеме.

Пример «Расчётные длины через ЛРУ»: два пролёта по 8 м, два этажа по 4 м, шарнирные опоры; левые и средние колонны 30К1, правые 20К1; ригели 60Б1, правого пролёта — шарнирные; нагрузки \(P\), \(P\), \(2P\) в каждом этаже.

Показатель	Вебинар	OpenCS
КЗУ при \(P\) = 1000 кН	1,320	1,321
\(K\) колонн 30К1 нижнего этажа	3,012	3,011
\(K\) колонн 30К1 верхнего этажа	4,260 (по \(\lambda_1 N\))	4,259 по \(\lambda_1 N\); 1,626 по правилу участия

В вебинаре и колонны верхнего этажа получают \(N_{cr} = \lambda_1 N\). В первой форме они почти не изгибаются (участие ниже порога 0,1), поэтому OpenCS назначает им μ по более высокой форме.

Пример 2 «Распределение раскрепления»: колонны 40К2 высотой 13,5 + 6,5 м с шарнирами внизу; верхняя панель 10 × 6,5 м раскреплена крестом и распорками из труб 160×6 (шарнирно); 600 кН в верхних узлах и 10 кН в узлах уровня B. Значение вебинара здесь не приводится; для сравнения — ручная оценка нижнего участка номограммой с распределением раскрепления: участок AB раскрепляет BC с дальним шарнирным концом (\(c\) = 0,5) и поправкой \(1 - 600/32\,058\), \(G_B\) = 0,981, \(G_C = \infty\).

Показатель	Ручная оценка	OpenCS по формам
\(K_{BC}\)	2,322	2,340
\(N_{cr,BC}\), кН	1379	1357 (\(\lambda_1\) = 2,225)
\(K_{AB}\)	—	1,710 (форма 6); локально без смещения 0,903

Классическая номограмма для BC здесь неприменима: участок AB в узле B относится к колоннам, распорки шарнирные, и \(G_B = \infty\).

Остальные проверки тестов: элемент — вся схема (локальная задача даёт \(\alpha = \lambda_1\)), шарнирная стойка на поперечной пружине (\(N_{cr} = \min(k l,\ \pi^2 EI/l^2)\)), консоль со стойкой-качалкой (у качалки μ = 1, у консоли \(r_3 < 0\), её μ = π/u по уравнению \(\operatorname{tg} u = 2u\): эталон 2,6953, OpenCS 2,6954), неучастник и правило минимума, перевод плоскостей в оси СП 16, сохранение сводки и форм с проверкой отпечатка (изменение нагрузки или числа форм делает результат устаревшим), шаги-формы, ломаная стержня и карточка 3D-вида.

Ручной прогон на схеме SCAD промышленного здания (1273 стальных стержня, 13 загружений, 22 920 степеней свободы, около 107 с): эквивалентная стойка построена для всех 2122 плоскостей, у 7 из них μ стойки отличается от расчётного больше чем на 1 % (до 5 %) — это цепочки из 2–3 стержней с продольной силой, меняющейся по длине на 5–13 %.

Ограничения

• lef,b для φb (изгибно-крутильная форма) не определяется; табличные длины элементов ферм по п. 10.1 не применяются.
• Расчёт по деформированной схеме с несовершенствами (условные нагрузки, единое несовершенство по форме) не выполняется — только упругая задача по недеформированной схеме по п. 10.3.11.
• Пороги энергетического разбора не настраиваются в интерфейсе.
• Элементы, не участвующие ни в одной из найденных форм, получают μ по локальной задаче; при малом числе форм на большой схеме это большинство элементов. Короткие куски длинного пояса, теряющего устойчивость целиком, могут получить большой μ своей длины (lef при этом близка к длине пояса).
• Огибающая сжатия (Продольные силы) приближённая: при заметно разном распределении сжатия по сочетаниям N_cr элемента может быть выше критической силы сочетания, где он нагружен слабее остальных (в примере раздела — на 12,5 %). Мембранные усилия пластин не огибаются — берутся по одному сочетанию.
• Номограммный метод: кручение ригелей не учитывается. Из плоскости рамы ригель сдерживает поворот узла колонны только кручением, поэтому его вклад в знаменатель \(G = \sum k_{колонн} / \sum c\,k_{ригелей}\) равен нулю и \(G = \infty\) — конец считается шарнирным, в запас (\(G = 0\) означало бы заделку); закрепления в пролёте элемента (промежуточные опоры узлов сетки) не учитываются — μ относится ко всей длине расчётного элемента; качание и взаимное раскрепление колонн этажа (этажные поправки ASCE/AISC) не вводятся; пластины, примыкающие к узлу, не учитываются (отмечается в ходе вычисления).
• Табл. 31 СП 16 рассчитана на регулярные рамы с одинаковым нагружением узлов одного уровня (п. 10.3.4); для нерегулярных схем μ по ней — оценка, ход вычисления показывает принятые этаж, \(k\), \(p\), \(n\).
• Эквивалентная стойка — пружины только по концам; при промежуточных примыканиях или переменной N она приближённая (отмечается в отчёте).
• Выделение в 3D-виде остаётся отрезком КЭ, форма стержня в выделении не подсвечивается; статус узла постановки в дереве после пересчёта из проверки обновляется при перерисовке дерева.