Плита: слоистая модель

Слоистая модель рассчитывает напряжённо-деформированное состояние плоского выделенного элемента плиты или стены по нелинейным диаграммам бетона и арматуры. Сечение разбивается по толщине на слои бетона, арматура учитывается отдельными слоями. По заданным усилиям находятся деформации срединной плоскости и кривизны, по ним проверяются прочность и трещины.

СП 63 в п. 8.1.54 (плиты) и п. 8.1.57 (стены) в общем случае предписывает расчёт с разделением плоского элемента на слои сжатого бетона и растянутой арматуры. Слоистая модель OpenCS реализует этот подход в форме деформационной модели. Она распространяет на плоский элемент предпосылки пп. 8.1.20–8.1.30: деформации распределены по толщине линейно, работа материалов описывается диаграммами состояния.

Где применяется

Задача	Kind	Что делает
НДС оболочки	shell_strain_state, shell_strain_state_batch	деформации и напряжения по заданным усилиям
Пластина: прочность (слоистая модель)	shell_layered_uls, shell_layered_uls_batch	проверка по п. 8.1.30
Ширина раскрытия трещин слоистой пластины	shell_layered_sls, shell_layered_sls_batch	ширина раскрытия по полосам «слой × направление»

Реализация — CScore/PlateSection.cs (интегрирование по толщине), CScore/ShellStrainSolver.cs (поиск НДС), CScore/ShellLayeredCheck.cs (прочность), CScore/Fem/ShellLayeredCrackWidth.cs и CScore/Fem/ShellCrackingSolver.cs (трещины).

Кинематика

Состояние элемента задаётся шестью параметрами [ε0x, ε0y, γ0xy, κx, κy, κxy]. Деформации на расстоянии z от срединной плоскости (z > 0 — к грани +Z) распределены линейно:

\[ \varepsilon_x(z) = \varepsilon_{0x} + z\,\kappa_x,\qquad \varepsilon_y(z) = \varepsilon_{0y} + z\,\kappa_y,\qquad \gamma_{xy}(z) = \gamma_{0xy} + z\,\kappa_{xy}. \]

Поперечные сдвиги (Qx, Qy) в модель не входят.

Бетон

Толщина h делится на NLayers равных слоёв (не менее 10; для слабоармированных плит и в сверках — 40, см. ниже). Для каждого слоя в его середине вычисляются главные деформации и угол главных осей:

\[ \varepsilon_{1,2} = \frac{\varepsilon_x + \varepsilon_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x - \varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}, \qquad \theta = \tfrac12\operatorname{atan2}(\gamma_{xy},\ \varepsilon_x - \varepsilon_y). \]

Напряжения по главным направлениям берутся из одноосной диаграммы бетона сечения (L2, L3 или SP63, режим C/CL/N/NL по виду расчёта): σ1 = σb(ε1), σ2 = σb(ε2). Затем они поворачиваются в оси x, y:

\[ \sigma_x = \sigma_1 c^2 + \sigma_2 s^2,\quad \sigma_y = \sigma_1 s^2 + \sigma_2 c^2,\quad \tau_{xy} = (\sigma_1 - \sigma_2)\,sc,\qquad c = \cos\theta,\ s = \sin\theta. \]

Главные оси напряжений совпадают с главными осями деформаций, взаимное влияние направлений через коэффициент Пуассона не учитывается. Растянутая ветвь диаграммы работает только при включённом учёте растянутого бетона.

По выбору в сечении прочность сжатого бетона снижается поперечным растяжением (модель Vecchio-Collins в форме Craveiro et al., 2021, ур. (50)):

\[ \beta = \frac{1}{0{,}8 + 0{,}34\,\varepsilon_1/\varepsilon_{c2}},\qquad \frac{0{,}60}{0{,}85} \le \beta \le 1, \]

ε1 — главная растягивающая деформация того же слоя, εc2 — деформация бетона в вершине диаграммы (параметр сечения, по умолчанию 0,002, как εb0 по СП 63). Нижняя граница — отношение прочностей растрескавшегося и нерастрескавшегося бетона fcd2/fcd1 по Model Code 1990; она достигается при ε1 ≈ 3,6‰. Множитель β применяется к сжатой ветви при ε1 > 0 и снижает только напряжение: деформации вершины диаграммы не меняются. Угол главных осей и β у каждого слоя свои, по деформациям этого слоя. По умолчанию снижение выключено (β = 1).

Помимо послойного интегрирования есть два варианта интегрирования по характерным точкам диаграммы с квадратурой Гаусса — по главным осям и по осям x/y (PlateModel = char1d_principal | char1d_axial). Вариант по осям не учитывает главные оси и τxy бетона.

Арматура

Каждый арматурный слой — два точечных вклада на координатах Zsx и Zsy. Напряжение определяется по одноосной диаграмме арматуры от деформации своего направления: σsx = σs(εx(Zsx)), σsy = σs(εy(Zsy)). Арматура воспринимает только нормальные усилия своего направления. В Nxy и Mxy она не участвует, нагельный эффект не учитывается.

Усилия и поиск НДС

\[ N_x = \int_{-h/2}^{h/2}\sigma_x\,dz + \sum \sigma_{sx}A_{sx},\qquad M_x = \int_{-h/2}^{h/2}\sigma_x z\,dz + \sum \sigma_{sx}A_{sx}Z_{sx}, \]

аналогично Ny, My; Nxy = ∫τxy dz, Mxy = ∫τxy·z dz.

По заданным усилиям [Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxy] система из шести нелинейных уравнений решается методом Ньютона с численной матрицей Якоби. Допуск по невязке — 10⁻³ в единицах кН/м и кН·м/м, не более 25 итераций. Если решение из упругого начального приближения не сходится, используются начальное приближение по методу Капра-Мори и пошаговое нагружение.

Тонкая сжатая зона и число слоёв

Бетон слоя работает по деформации его середины. У слабоармированной плиты сжатая зона может быть тоньше половины слоя: при h = 200 мм, арматуре 2,6 см²/м (минимальный процент армирования) и бетоне B25 x = Rs·As/Rb ≈ 8 мм, а при десяти слоях середина крайнего слоя лежит в 10 мм от грани. Сжатого бетона в такой модели нет, момент воспринимает только пара «сжатая — растянутая арматура», и при моменте больше Rsc·A's·(h0 − a') равновесия не существует — итерации расходятся.

Поэтому, если НДС не найдено ни одним из способов, а слоёв меньше 40, проверка прочности и трещин повторяет поиск на том же сечении с 40 слоями. Результат, полученный на измельчённом сечении, помечается в описании: «слоёв по толщине 40 (при 10 решения нет)». Заданное в сечении число слоёв при этом не меняется.

Для плит с арматурой, близкой к минимальной, сразу задавайте не менее 40 слоёв. Сечения, создаваемые по данным ЛИРЫ, получают 40 слоёв.

Прочность, п. 8.1.30

Проверка деформационная. Для обеих граней вычисляется наименьшая главная деформация бетона. Грань с наибольшим сжатием даёт ε2, противоположная — ε1.

• Эпюра двузначная (ε1 ≥ 0): εb,ult = εb2 = 0,0035.
• Эпюра однозначная (обе грани сжаты): εb,ult = εb2 − (εb2 − εb0)·ε1/ε2, εb0 = 0,002.
• Бетон: Кисп,b = |ε2|/εb,ult.
• Арматура: наибольшая деформация растяжения по всем слоям и направлениям, отнесённая к εs,ult = 0,025 (физический предел текучести) или 0,015 (условный).

Кисп = max(Кисп,b; Кисп,s). Если НДС не найдено, задача сообщает об отсутствии сходимости и считает проверку не выполненной.

Два разных коэффициента

Деформационный Кисп — это отношение деформаций, а не усилий. При нелинейной диаграмме он обычно заметно меньше отношения момента к предельному моменту. В сверках с формульными методами дополнительно вычисляется Кисп по моменту: множитель моментов при неизменных N увеличивается бисекцией, пока выполняется условие п. 8.1.30 и существует равновесие. Тогда Кисп = 1/λ_пред. При большом обжатии предел наступает раньше, чем деформация бетона доходит до εb,ult: момент достигает максимума, и равновесия с большим моментом не существует.

Трещины

Используются нормативные диаграммы (N) и характеристики материалов. НДС находится по заданным нормативным усилиям. Ширина раскрытия считается для каждой пары «арматурный слой × направление x/y».

1. σs = Es·εs — деформация арматуры в найденном НДС (не более Rs,ser).
2. Трещинообразование — по деформационной модели (пп. 8.2.8, 8.2.14). Все три момента Mx, My, Mxy увеличиваются общим множителем k при неизменных Nx, Ny, Nxy, пока главная растягивающая деформация бетона на одной из граней не достигнет εbt,ult растянутой ветви диаграммы. Найденный множитель kcrc один на сечение. Трещина есть, если kcrc < 1. В результатах по полосе выводится Mcrc = kcrc·|M|, где M — Mx или My. Крутящий момент растягивает грань наравне с изгибающими, поэтому при заметном Mxy трещина может образоваться раньше, чем Mx или My в отдельности достигнет своего момента трещинообразования. Если раньше предела растяжения исчерпывается равновесие сечения (сечение обжато почти до предельной продольной силы), трещин до этого множителя нет, и при k > 1 проверка трещиностойкости выполняется без трещин.
3. σs,crc — напряжение в той же арматуре в сечении с трещиной при моментах kcrc·M (п. 8.2.18), ψs = 1 − 0,8·σs,crc/σs.
4. ls — по п. 8.2.17, высота растянутой зоны для Abt — из состояния при kcrc.
5. acrc = φ1·φ2·φ3·ψs·σs/Es·ls, φ3 = 1,2 при растягивающей N, иначе 1,0.

Дополнительно выводится угол трещины. Она перпендикулярна главной растягивающей деформации в уровне арматуры.

Трещина одна на сечение, поэтому признак трещины у полос обоих направлений общий. Ширина раскрытия по каждой полосе определяется деформацией её арматуры: если трещина вызвана изгибом одного направления и почти параллельна арматуре другого, раскрытие по этой арматуре получается малым или нулевым.

В задаче одного состояния φ1 задаётся вручную. Продолжительное и непродолжительное раскрытие по п. 8.2.7 собирается в нормативной проверке МКЭ-модели, где заданы полное и длительное сочетания.

Ограничения

• Модель без учёта сдвига по толщине: поперечные силы проверяются отдельно.
• Главные оси напряжений бетона следуют за главными осями деформаций.
• Двухосное сжатие не повышает прочность бетона: в каждом главном направлении работает одна и та же одноосная диаграмма.
• Коэффициент η влияния прогиба (п. 8.1.15) не учитывается. Для гибкой стены эффекты второго порядка должны войти во входные усилия.
• Для задачи прочности используется диаграмма бетона, выбранная в сечении (L2, L3 или SP63), и результат от этого выбора зависит.

Проверка

• Плита — сверка с ЛИРА-САПР на опорном сечении
• Сжатая стена — сверка с ЛИРА-САПР и упрощённым расчётом по СП 63
• Слоистая модель — сверка с многослойным методом (Craveiro et al., 2021)
• Нелинейный расчёт плиты — опыт McNeice (1967)

Связанные страницы: метод Вуда-Армера, метод Капра-Мори, плиты и оболочки, фибровый метод.