Изгиб прямоугольного сечения — примеры IV.Б.2.1, IV.Б.2.2, IV.Б.4.1

ID: TEST-BENDING-RECTANGULAR-IVB-2-1-2-2-4-1
Статус: контрольный численный тест
Вердикт: требования [1] выполнены во всех трёх примерах
Источник эталона: Пособие по расчёту бетонных и железобетонных конструкций
                  на ЭВМ (к СП 63.13330.2012), раздел IV.Б, примеры IV.Б.2.1, IV.Б.2.2, IV.Б.4.1

Тест проверяет расчёт изгибаемого прямоугольного сечения по деформационной модели (StrainSolver) и по предельным усилиям (LimitForceSolver) и сопоставляет его с «ручным» контролем пособия — на одиночной группе растянутой арматуры, на арматуре, распределённой по четырём группам, и в сравнении двух теорий расчёта на одном и том же сечении.

Условие задачи

Прямоугольное сечение: b = 300 мм; h = 600 мм; a = 40 мм. Бетон тяжёлый класса B15, γb1 = 0,9, двухлинейная диаграмма состояния. Арматура класса A400. Изгибающий момент M = 200 кН·м.

Сечение, пример IV.Б.2.1

Точная эпюра деформаций (из штатного SectionCutBuilder/SectionCutSvgExporter OpenCS), пример IV.Б.2.1

Первая схема — геометрия и армирование. Вторая — настоящая эпюра деформаций по решению StrainSolver, полученная тем же кодом, которым приложение строит разрез сечения (SectionCutBuilder/SectionCutSvgExporter), а не отрисовкой вручную.

Исходные данные в единицах расчёта

Величина	Значение
Ширина, высота, защитный слой	`b=0,300 м`, `h=0,600 м`, `a=0,040 м`
Бетон B15	`Rb=7,65 МПа=7650 кПа`; `εb1,red=0,0015`; `εb2=0,0035`; `Eb,red=Rb/εb1,red=5100 МПа`
Арматура A400	`Es=200 000 МПа`; `εs0=0,00175` (`Rs=350 МПа`); `εs2=0,025`
IV.Б.2.1: арматура	`As=12,36 см²` (2⌀25+1⌀18), одна растянутая группа у нижней грани
IV.Б.2.2: арматура	основная растянутая `3⌀22=11,40 см²` (низ) + 7⌀12 вдоль боковых/верхней граней, сведённые в 3 группы

Знаковая конвенция

Диаграмма деформаций бетона в пособии задаётся как σ = Eb,red·ε при 0 ≤ ε < εb1,red и σ = Rb при εb1,red ≤ ε ≤ εb2 — то есть в своей системе пособие считает сжатие положительным, а OpenCS — отрицательным (как и во всех остальных материалах CScore). Из этого следует важная для воспроизведения примеров деталь: положительная координата Zby (y в терминах StrainSolver) в формулах пособия — это сторона, где при заданных (1/ry, ε0) получается растяжение, а не интуитивно ожидаемый «низ» в координатах «y вверх». Убедиться в этом можно прямой подстановкой: с растянутой арматурой у отрицательного y результат подстановки готового ответа пособия в условия равновесия даёт N ≈ −868 кН вместо ожидаемых ≈ 0; после переноса растянутой арматуры на положительную y (как на рисунках ниже) — N ≈ −2,5 кН, остаток от округления исходных 1/ry, ε0 пособия до 4–5 значащих цифр.

Пример IV.Б.2.1 (базовый) — деформационная модель, одна группа арматуры

Расчёт ведётся с ten=false (бетон на растяжение не работает — как и принято в самом примере: «считается, что бетон на растяжение не работает»).

Подстановка готового ответа пособия (1/ry=0,01166, ε0=0,0005372) в условия равновесия сечения даёт N=−2,5 кН, Mx=200,18 кН·м — практически точное равновесие, тем же способом, которым правильность решения проверяет само пособие.

Независимая сходимость StrainSolver даёт N=0, Mx=200 (точно — это целевые значения) и деформации:

Величина	Пособие	OpenCS
`εb,max` (сжатие)	`0,0028`	`0,0030`
`εs,max` (растяжение)	`0,0036`	`0,0037`
Предел `εb,ult` / `εs,ult`	`0,0035` / `0,025`	те же
Требования [1]	Выполнены	Выполнены

Числа 1/ry, ε0 у решателя (0,0121, 0,00060) отличаются от пособия (0,01166, 0,0005372) заметнее, чем деформации крайних волокон, — и это не расхождение методики: при данном M растянутая арматура уже течёт (ε=0,0037 > εs0=0,00175), а часть сжатой зоны бетона лежит на пластической площадке диаграммы (εb1,red ≤ ε ≤ εb2) — там напряжение постоянно, поэтому пара (1/ry, ε0) слабо определена: разные её значения дают практически одинаковые N, Mx. Поэтому и в пособии, и здесь правильность решения проверяется подстановкой в условия равновесия, а не прямым сравнением кривизны.

Пример IV.Б.2.2 — то же сечение, армирование по таблице IV.4

Сечение с боковой арматурой, пример IV.Б.2.2

Растянутая арматура — не простая пара «растянутая/сжатая», а 4 группы (координаты и площади — из таблицы IV.4 пособия, знак y — по конвенции выше):

Группа	`y`, м	Площадь	Комментарий
1	−0,26	3,39 см²	3⌀12 у верхней грани
2	−0,10	2,26 см²	2⌀12 у боковой грани
3	+0,10	2,26 см²	2⌀12 у боковой грани
4	+0,26	11,40 см²	3⌀22 у нижней грани — основная растянутая

Подстановка ответа пособия (1/ry=0,005941, ε0=0,0001927) даёт N и Mx в пределах ±5 кН / 199…201 кН·м от целевых 0 и 200 — согласуется с проверкой «Способом 2» самого пособия (Nb+Ns=−321,8+320,8≈0; Mult=200,1≈M=200). Независимая сходимость StrainSolver даёт деформации в пределах, допускаемых нормой (|εb,max|<0,0035, εs,max<0,025) — требования выполнены, как и в пособии.

Пример IV.Б.4.1 — то же сечение, расчёт по предельным усилиям

Та же геометрия и арматура (As=12,36 см²), что в IV.Б.2.1, но вместо деформационной модели — предельные усилия (LimitForceSolver, формулы 8.4–8.5 СП63 в постановке пособия):

Показатель	Пособие (формулы 8.4–8.5)	OpenCS (`LimitForceSolver`)
Высота сжатой зоны `x`	`0,189 м`	не выводится напрямую (нелинейный поиск)
`Mult`	`201,9 кН·м`	`200,62 кН·м`
`M < Mult`?	Да	Да

Расхождение ≈0,6% — не методическая ошибка: LimitForceSolver ищет предельное состояние по нелинейной диаграмме (масштабирует нагрузку до достижения предельной деформации бетона или арматуры), а не по формулам (8.4)–(8.5) с идеализированной прямоугольной эпюрой напряжений в сжатой зоне, которыми пользуется «ручной» контроль пособия для этого раздела. Оба метода допускаются нормой (п. 8.1.1: деформационная модель — основной путь, предельные усилия — допускаемое упрощение для простых сечений) и ожидаемо дают близкие, но не тождественные числа — это же отмечено и в самом пособии (раздел IV.И) при сравнении двух теорий расчёта на одних и тех же примерах.

Критерий прохождения

IV.Б.2.1: подстановка ответа пособия даёт N=−5…5 кН, Mx=199…201 кН·м; независимая сходимость даёт |εb,max|<0,0035, 0,0030<εs,max<0,0045, статус «Выполнены»;
IV.Б.2.2: подстановка ответа пособия даёт N=−5…5 кН, Mx=199…201 кН·м; независимая сходимость даёт |εb,max|<0,0035, εs,max<0,025, статус «Выполнены»;
IV.Б.4.1: Mult=201,9×(0,985…1,015) (≈199,0…204,9 кН·м), M=200<Mult, статус «Выполнены».

Диагностика

если подстановка готового ответа пособия даёт большую по модулю продольную силу (сотни кН) — проверьте знак y растянутой арматуры: в конвенции пособия положительная сторона y — растянутая (см. раздел «Знаковая конвенция» выше);
если StrainSolver не сходится или расходится к нефизичным (1/ry, ε0) — проверьте, что ten: false передан явно (в примерах пособия бетон на растяжение не работает) и что начальное приближение (initialGuess) не переопределено чем-то неудачным;
малое расхождение 1/ry, ε0 при почти точном совпадении N, Mx и деформаций крайних волокон — не повод для тревоги, если растянутая арматура и часть сжатой зоны бетона уже на пластических площадках своих диаграмм (см. пояснение к примеру IV.Б.2.1);
расхождение в несколько процентов между LimitForceSolver и формулами (8.4)–(8.5) пособия — ожидаемая разница между нелинейным (по деформациям) и упрощённым (прямоугольная эпюра) методами, а не признак ошибки.

Связанные страницы: НДС сечения, предельные усилия, раздел тестов.