Внецентренное сжатие прямоугольного сечения — пример IV.Г.6.1

ID: TEST-ECCENTRIC-COMPRESSION-IVG-6-1
Статус: контрольный численный тест — подтверждено
Вердикт: требования [1] выполнены и в плоскости, и из плоскости изгиба; LimitForceSolver
         согласуется с пособием в пределах десятых долей процента после приведения обоих
         результатов к одной точке отсчёта момента (см. ниже)
Источник эталона: Пособие по расчёту бетонных и железобетонных конструкций
                  на ЭВМ (к СП 63.13330.2012), раздел IV.Г, пример IV.Г.6.1

LimitForceSolver (предельные усилия, строгий нелинейный поиск по фактической двухлинейной диаграмме бетона) согласуется с пособием и в плоскости, и из плоскости изгиба. Единственная тонкость — формулы (8.10)–(8.14) СП63 считают момент не относительно центра тяжести сечения (как LimitForceSolver), а относительно центра тяжести растянутой арматуры; после приведения обоих результатов к общей точке отсчёта числа совпадают в пределах 0,05–0,2%.

Условие задачи

Прямоугольное сечение: b=400 мм; h=500 мм; a=a'=40 мм. Бетон тяжёлый класса B30, γb1=1,0. Симметричная арматура класса A500 — четыре стержня ⌀28 (As=24,63 см²) по углам сечения, на расстоянии 40 мм от ближайших граней в обоих направлениях. Продольные силы и моменты: от длительных нагрузок Nl=1300 кН, Ml=270 кН·м; от кратковременных — N=1700 кН, M=382 кН·м. Усилия определены расчётом по деформированной схеме (влияние прогиба уже учтено в самих N, M — дополнительное усиление по формуле (8.1.15) СП63 не требуется). Расчётная длина элемента — 3 м, конструкция статически неопределима в обеих плоскостях изгиба.

Пособие требует два расчёта — в плоскости действия момента M и из плоскости (где учитывается только случайный эксцентриситет). Сечение обладает двойной симметрией (бетон и арматура), поэтому в OpenCS оба расчёта выполняются на одном и том же сечении — заданием целевого момента по Mx (в плоскости, рабочая высота — большая сторона h=500) или по My (из плоскости, рабочая высота — меньшая сторона b=400).

Величина	Значение
Геометрия	`b=0,400 м`; `h=0,500 м`; `a=a'=0,040 м`
Бетон B30, `γb1=1,0` (табл. П3 пособия)	`Rb=17,0 МПа`; `Rbt=1,15 МПа`; `Eb=32 500 МПа`
Диаграмма бетона (двухлинейная, п. 6.1.20 СП63)	`εb1,red=0,0015`; `εb2=0,0035`; `εbt1,red=0,00008`; `εbt2=0,00015`
Арматура A500 (табл. П4)	`Rs=Rsc=435 МПа`; `Es=200 000 МПа`; `εs2=0,025`
Армирование	`As,tot=24,63 см²` по углам, `xr=b/2−a=0,160 м`, `yr=h/2−a=0,210 м`

Важно: две разные точки отсчёта момента

M=382 кН·м — это исходный момент, заданный ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ: пособие прямо называет e0=M/N=382/1700=0,225 м «эксцентриситетом продольной силы относительно центра тяжести сечения». Именно этот базис (центр тяжести сечения) использует и LimitForceSolver.MomentFactor для своих N, Mx, My.

Но формулы (8.10)–(8.13) [1] внутри себя пересчитывают эксцентриситет на ДРУГУЮ точку — центр тяжести растянутой (наименее сжатой) арматуры: по формуле (8.11) e=e0+(h0−a')/2=0,225+0,21=0,435 м, и именно от этой точки отсчитаны и «действующий» M=Ne=739,5 кН·м, и предельный Mult=772,59/771,31 кН·м — оба относительно арматуры, а не центра тяжести сечения. Перевод между базисами — обычный сдвиг момента на N·(плечо):

Mult(отн. ц.т. сечения) = Mult(отн. ц.т. арматуры) − N·(h0−a')/2
                        = 771,31 − 1700×0,21 = 414,31 кН·м

Расчёт в плоскости изгиба

var result = LimitForceSolver.ForCrossSection(section, CalcType.C)
    .MomentFactor(n: -1700.0, mx: 1.0, my: 0.0);

Показатель	Пособие	OpenCS (`LimitForceSolver`)
`M`, отн. ц.т. сечения	`382 кН·м` (исходное задание)	`382 кН·м` (тот же)
`Mult`, отн. ц.т. арматуры	`771,31…772,59 кН·м` (ф. 8.10–8.13)	`414,13+1700×0,21=771,13 кН·м` (приведено)
`Mult`, отн. ц.т. сечения	`771,31−1700×0,21=414,31 кН·м` (приведено)	`414,13 кН·м` (`MxLimit` напрямую)
Расхождение (общий базис)	—	0,04%
`M < Mult`?	Да	Да

Эпюра деформаций сечения в найденном OpenCS предельном состоянии, IV.Г.6.1 (в плоскости)

Эпюра напряжений сечения в найденном OpenCS предельном состоянии, IV.Г.6.1 (в плоскости)

Разрез через колонку угловой арматуры (x=0,16 м) в предельном состоянии, найденном LimitForceSolver, построенный тем же кодом, что использует приложение (SectionCutBuilder/SectionCutSvgExporter). Крайнее сжатое волокно бетона — на пределе εb,ult=−0,0035 (σ=−17 МПа=Rb, пунктирная лиловая линия предела). Ближняя к сжатой грани арматура уже потекла в сжатии (ε=−0,00304, σ=−435 МПа=Rsc); дальняя — ещё не достигла текучести в растяжении (ε=+0,00182 < εs0=0,00218, σ=+364 МПа < Rs=435 МПа) — обычная для сечений с x/h0 вблизи границы ξR картина, не влияющая на согласие с пособием (см. выше).

Расчёт из плоскости изгиба

var result = LimitForceSolver.ForCrossSection(section, CalcType.C)
    .MomentFactor(n: -1700.0, mx: 0.0, my: 1.0);

Та же логика приведения базиса, но с плечом до растянутой арматуры в этом направлении (b0−a')/2=(0,36−0,04)/2=0,16 м (рабочая высота здесь — меньшая сторона b=400):

Показатель	Пособие	OpenCS (`LimitForceSolver`)
`Mult`, отн. ц.т. арматуры	`592,44 кН·м` («по программе» [1])	`319,95+1700×0,16=591,95 кН·м` (приведено)
`Mult`, отн. ц.т. сечения	`592,44−1700×0,16=320,44 кН·м` (приведено)	`319,95 кН·м` (`MyLimit` напрямую)
Расхождение (общий базис)	—	0,15%
`M=294,67 < Mult`?	Да	Да

Дополнительная сверка: сторонний расчёт по коэффициенту использования

Независимая инженерная программа (расчёт по СП63 через коэффициент использования k=N/Nult при постоянном эксцентриситете e=M/N=0,225 м, η=1,001, Rsc=400 МПа для чисто кратковременного загружения) даёт Nult=1767 кН, k=0,962. Эквивалентный запрос к LimitForceSolver — AllFactor (масштабирует N и M вместе по одному лучу постоянного e, а не Mx при фиксированном N) — даёт NLimit≈1802 кН, k=N/NLimit≈0,943. Разница (1802 против 1767, 2%) существенно меньше первоначально казавшегося расхождения и находится в пределах обычного разброса между независимыми реализациями метода предельных усилий (в т.ч. из-за разного Rsc — 400 в стороннем расчёте против 435 в этом тесте, см. табл. П4 [1]: скобочное значение 400 — только для чисто кратковременного загружения).

Критерий прохождения

В плоскости: LimitForceSolver.Converged=true, 382<MxLimit; приведённое к базису пособия значение MxLimit+N·(h0−a')/2 ∈ [755,9; 786,7] (±2% от 771,31).
Из плоскости: LimitForceSolver.Converged=true; приведённое значение MyLimit+N·(b0−a')/2 ∈ [580,6; 604,3] (±2% от 592,44).
Независимая бисекция (в плоскости, в обход LimitForceSolver): Mx∈[410;418] кН·м при N∈[−1701;−1699] кН — подтверждает MxLimit независимо от кода LimitForceSolver.

Диагностика

при сравнении Mx/My из LimitForceSolver (относительно центра тяжести сечения) с моментом или предельным моментом из формул (8.10)–(8.14) СП63 (относительно центра тяжести растянутой арматуры) — ПЕРВЫМ ДЕЛОМ проверьте, не нужен ли сдвиг на N·(h0−a')/2 (или (b0−a')/2 для расчёта из плоскости), прежде чем делать вывод о расхождении методов; этот сдвиг равен нулю только при N=0 (чистый изгиб), поэтому в задачах внецентренного сжатия/растяжения он не работает так, как «сходит с рук» в задачах на чистый изгиб;
расхождение LimitForceSolver (после приведения к общему базису) с формулами (8.10)–(8.14) в пределах единиц процентов — ожидаемая разница методов (прямоугольный блок против фактической диаграммы бетона); расхождение на порядок при N≠0 — почти наверняка означает пропущенный сдвиг точки отсчёта момента, а не реальную проблему в LimitForceSolver.

Связанные страницы: НДС сечения, предельные усилия, изгиб прямоугольного сечения, изгиб таврового сечения, раздел тестов.