Нелинейный расчёт плиты: опыт McNeice (1967)

ID: TEST-CSFEA-SLAB-MCNEICE-1
Статус: сверка выполнена
Эталон: опыт G. M. McNeice (University of London, 1967), опубликован в статье
        J. C. Jofriet, G. M. McNeice. Finite element analysis of reinforced concrete slabs.
        J. Struct. Div. ASCE, 1971, vol. 97, no. ST3; https://doi.org/10.1061/JSDEAG.0002845.
        Исходные данные, кривая опыта и расчётная кривая DIANA (объёмные КЭ) — по отчёту
        верификации DIANA FEA «McNeice Slab (McNeice 1967)»,
        https://manuals.dianafea.com/d104/Verify/Verifyse9.html
Сравниваются: OpenCS — секущий нелинейный расчёт ЖБ пластин (ядро CSfea: слоистое сечение,
              диаграммы СП 63, ψs по п. 8.2.32), правила трещины Layer и Section
Результат: до трещин кривая совпадает с опытом; при правиле Layer (по умолчанию) и прогибе
           3–7 мм сила отличается от DIANA на +1,5…+5 %, от опыта (3–5 мм) — на −6…−7 %;
           без ψs плита вдвое мягче — работа бетона между трещинами определяет результат
Тест: CSfea.Tests/McNeiceSlabTests.cs

Плита McNeice — классическая проверочная задача для нелинейных расчётов железобетонных плит. Квадратная тонкая плита опирается углами и нагружена силой в центре. В опыте прослежено развитие трещин, а прогиб замерен до нагрузки, близкой к текучести арматуры. Задачу решали Lin и Scordelis (1975), Crisfield (1982), Polak и Vecchio (1993) и многие расчётные комплексы. Известно, что результат сильно зависит от того, как учитывается работа растянутого бетона между трещинами. Поэтому задача хорошо проверяет именно эту часть модели.

Расчёт выполняется ядром CSfea (CSfea.CScore, RcSecantAnalysis). В интерфейсе OpenCS нелинейный расчёт схем пока не выведен; проверка запускается тестом.

Постановка

Плита McNeice: план и разрез

Величина	Значение
Плита	`914,4 × 914,4 мм` (36 × 36 дюймов), толщина `h = 44,45 мм` (1,75 дюйма)
Опоры	четыре угла, только вертикальное перемещение `uz = 0`
Нагрузка	сосредоточенная сила `P` в центре
Арматура	одна сетка у нижней грани, `As = 282 мм²/м` в каждом направлении (`ρ = 0,85 %`), рабочая высота `d = 33,3 мм`
Бетон	`E = 28 600 МПа`, `ν = 0,15`, `fcm = 38 МПа`, `fctm = 2,9 МПа`
Арматура	`Es = 200 000 МПа`, `fy = 350 МПа`
Замер прогиба	узел на оси симметрии в `76,2 мм` от центра

Исходные данные приняты по отчёту верификации DIANA (McNeice Slab (McNeice 1967)). В других источниках предел текучести арматуры указан иначе (до 413 МПа); на участке до текучести, где сравниваются кривые, это не сказывается.

Решение в OpenCS

Модель

Параметр	Значение
Расчётная область	четверть плиты (`RcSymmetry.Cut`), плоскости симметрии `x = y = 457,2 мм`
Сетка	`12 × 12` КЭ MITC4 размером `38,1 мм` (вся плита — `24 × 24`)
Сечение	слоистое, 20 слоёв бетона, один арматурный слой на `z = −11,08 мм` в направлениях `x` и `y`
Диаграмма бетона	трёхлинейная `L3` по СП 63: `Rb = 38 МПа`, `Rbt = 2,9 МПа`, `εb0 = 0,002`, `εb2 = 0,0035`, `εbt0 = 0,0001`, `εbt2 = 0,00015`
Диаграмма арматуры	двухлинейная `L2`, `Rs = 350 МПа`
Коэффициент Пуассона	`0,15` до трещины, `0` в слое с трещиной
Нагружение	сила до `12 кН` шагами по `0,5 кН`, при несходимости шаг делится пополам

Условия на плоскостях симметрии: перемещение по нормали к плоскости и повороты вокруг двух осей, лежащих в плоскости, равны нулю. Сила в центре лежит на обеих плоскостях, поэтому в четверть передаётся P/4. Четверть повторяет решение полной плиты с точностью округления — это проверяет тест RcStructuralModelTests.RunSymmetryQuarter.

Секущий расчёт

На каждом шаге нагрузки решается линейная задача с секущими жёсткостями сечений. После решения жёсткости пересчитываются по фактическим деформациям, и цикл повторяется до сходимости (метод Пикара).

flowchart TD
    Step[Шаг нагрузки] --> Solve[Линейная задача с секущими жёсткостями]
    Solve --> Strain[Деформации в КЭ: ε0, κ, γ]
    Strain --> Layers[Слои: главные деформации, трещины, ψs арматуры]
    Layers --> Secant[Новая секущая матрица ABD сечения]
    Secant --> Relax[Релаксация жёсткостей с коэффициентом Эйткена]
    Relax --> Check{Изменение жёсткостей и перемещений в допуске?}
    Check -->|нет| Solve
    Check -->|да| Commit[Фиксация трещин, следующий шаг]

Сходимость шага требует одновременно двух условий. Первое: относительное изменение перемещений ‖Δu‖/‖u‖ < 10⁻⁴. Второе: изменение секущих жёсткостей, измеренное работой деформаций в КЭ, меньше 10⁻³. Несошедшийся шаг не принимается. Он делится пополам, а если не сходится и после четырёх делений, расчёт останавливается на последней сошедшейся нагрузке.

Работа бетона между трещинами

После трещины напряжение растянутой арматуры в трещине выше, чем в среднем по длине стержня: между трещинами часть растяжения воспринимает бетон. Это учитывается коэффициентом ψs по п. 8.2.32 СП 63. Деформация εs в плоскости сечения — средняя по длине. Напряжение арматуры берётся с диаграммы при деформации в трещине:

\[ \sigma_s = \sigma\!\left(\varepsilon_s + 0{,}8\,\varepsilon_{s,crc}\right), \qquad \psi_s = \frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_s + 0{,}8\,\varepsilon_{s,crc}}, \]

где εs,crc — деформация арматуры в момент образования трещины на её уровне. Она фиксируется при первой трещине и дальше не меняется. За площадкой текучести поправка затухает сама: с диаграммы не может прийти напряжение больше Rs.

Правила трещины Layer и Section

Правило трещины задаётся опцией RcSecantOptions.PlateCrackRule и определяет, какая часть растянутого бетона сечения продолжает работать после первой трещины. Запись «+ ψs» означает, что вместе с правилом включена поправка ψs для арматуры (RcSecantOptions.Psi = true, по умолчанию). Без неё арматура работает по диаграмме при средней деформации, и бетон между трещинами не учитывается совсем.

Общее для обоих правил. Трещина в слое бетона возникает, когда эквивалентная главная растягивающая деформация слоя превышает предельную деформацию растяжения диаграммы εbt2:

\[ \varepsilon_{1,eq} = \frac{\varepsilon_1 + \nu\,\varepsilon_2}{1 - \nu^2} > \varepsilon_{bt2}, \]

где ε1 ≥ ε2 — главные деформации в середине слоя, ν — коэффициент Пуассона бетона без трещины. Далее:

Трещина необратима. Слой с трещиной больше не работает на растяжение, коэффициент Пуассона в нём равен нулю, но на сжатие слой работает по диаграмме. Напряжения вычисляются по полным деформациям, а не по приращениям. Поэтому слой с трещиной не может сохранить растягивающее напряжение, набранное до трещины.
ψs включается для арматуры данного направления (x или y), когда трещина появилась в слое бетона на уровне этой арматуры. В этот момент фиксируется εs,crc — деформация арматуры в сечении с трещиной при моменте образования трещин Mcrc и текущем соотношении усилий в КЭ. Дальше εs,crc не меняется (см. формулу выше).

Layer + ψs — послойное правило (по умолчанию). Трещину получают только те слои, в которых выполнено условие трещины. При росте нагрузки зона трещин растёт от растянутой грани. Слои между вершиной трещины и нейтральной осью растянуты меньше предела и работают по диаграмме растяжения, вплоть до Rbt. Когда зона трещин доходит до уровня арматуры, включается ψs. В итоге работу бетона между трещинами отражают два механизма сразу: растянутые слои над вершиной трещины (в пластине они «размазаны» по всей площади КЭ) и повышение напряжений в арматуре через ψs.

Section + ψs — сечение с трещиной. Первая трещина в любом слое КЭ помечает как треснувшие все слои. Растянутый бетон выключается по всей толщине, сжатые слои продолжают работать по диаграмме, коэффициент Пуассона равен нулю во всех слоях. ψs включается сразу для всей арматуры сечения. Это та же схема, что в стержневом НДМ по п. 8.2.32 СП 63: сечение с трещиной без растянутого бетона, работа бетона между трещинами — только через ψs.

На рисунке — КЭ четверти, примыкающий к центру плиты (центр КЭ в 19 мм от осей симметрии), при P = 6 кН. Деформации и напряжения взяты из решения, а не нарисованы схематично.

Величина	`Layer + ψs`	`Section + ψs`
Слоёв с трещиной из 20	`10` (до `z = 0`)	`20` (все)
Наибольшее растяжение бетона, МПа	`2,73` (слой над вершиной трещины)	`0`
Наибольшее сжатие бетона, МПа	`−9,75`	`−8,90`
Кривизна `κx`, 1/м	`−0,0190`	`−0,0237`
Деформация арматуры `εs`, ‰	`0,321`	`0,451`
Напряжение арматуры `σs` с `ψs`, МПа	`169`	`218`
То же без `ψs` (`Es·εs`), МПа	`64`	`90`
`ψs`	`0,38`	`0,41`

Как правила соотносятся с другими проверками:

Проверка	`Layer + ψs`	`Section + ψs`
Полоса пластины 6 м, свободное опирание, `M ≈ 2,5·Mcrc` (тест `SecantPicardTests`), прогиб к стержневому НДМ `15,016 мм`	`10,31 мм` (`−31 %`, жёстче НДМ)	`15,017 мм` (`+0,01 %`)
Плита McNeice, сила при прогибе `3–5 мм`	к опыту `−6…−7 %`, к DIANA `+1,5…+2 %`	к опыту `−10…−15 %`, к DIANA `−3…−7 %`

Section + ψs воспроизводит стержневой НДМ по СП 63, то есть нормативную схему учёта трещин, и для одноосного изгиба полосы совпадает с ним точно. Layer + ψs на полосе заметно жёстче НДМ: работа бетона между трещинами там учитывается дважды. На плите McNeice с двухосным изгибом, кручением у опор и быстро растущей зоной трещин ближе к опыту и к DIANA оказывается Layer + ψs, поэтому оно принято по умолчанию. Для расчёта, который должен совпадать со стержневым НДМ по СП 63, задайте PlateCrackRule = Section.

Результат

Кривая «сила — прогиб»

Сила — прогиб узла замера: опыт, DIANA и OpenCS

Кривые опыта и DIANA оцифрованы с рисунка отчёта DIANA, погрешность — около 0,2 кН.

Прогиб, мм	Опыт, кН	DIANA, кН	OpenCS Layer + ψs, кН	Section + ψs, кН	Section без ψs, кН	Layer к DIANA	Layer к опыту
`0,5`	`3,15`	`3,54`	`3,24`	`3,24`	`3,24`	`−8,5 %`	`+2,9 %`
`1`	`5,73`	`6,46`	`5,34`	`5,00`	`3,78`	`−17 %`	`−6,8 %`
`2`	`7,54`	`8,24`	`7,43`	`6,56`	`4,24`	`−9,8 %`	`−1,5 %`
`3`	`9,03`	`8,19`	`8,36`	`7,66`	`4,72`	`+2,1 %`	`−7,4 %`
`4`	`9,94`	`9,18`	`9,33`	`8,69`	`5,67`	`+1,6 %`	`−6,1 %`
`5`	`10,83`	`10,04`	`10,19`	`9,75`	`6,20`	`+1,5 %`	`−5,9 %`
`6`	—	`10,60`	`10,98`	`10,64`	`6,70`	`+3,6 %`	—
`7`	—	`11,13`	`11,70`	`11,45`	`7,60`	`+5,1 %`	—

Показатель	Опыт / DIANA	OpenCS, Layer + ψs
Начальный участок до трещин	опыт: `P/w ≈ 6,3 кН/мм` при `w ≤ 0,5 мм`	`6,5 кН/мм`
Первые трещины	—	`P = 4,0 кН` (3 КЭ четверти)
Начало текучести арматуры	—	`P = 10,5 кН`, `w = 5,4 мм`
Сила при `w = 5 мм`	опыт `10,83 кН`, DIANA `10,04 кН`	`10,19 кН`

Развитие трещин

Зоны трещин и текучести арматуры при росте нагрузки, правило Layer

Трещины начинаются под силой и развиваются полосами вдоль осей симметрии к краям плиты, затем занимают всю плиту. Текучесть нижней арматуры начинается под силой около 10,5 кН. Для наглядности решение четверти отражено на всю плиту.

Поле прогибов при P = 8 кН, правило Layer

Без учёта работы бетона между трещинами

Без ψs при правиле Section растянутый бетон после трещины не работает вовсе. Кривая сразу после трещин уходит вниз: при прогибе 3–5 мм сила вдвое меньше опытной. Это подтверждает вывод литературы: для плиты McNeice решающим является учёт работы бетона между трещинами, а не диаграмма сжатого бетона.

Бетон без растяжения

Если растянутый бетон не учитывается с самого начала, расчёт останавливается на 0,16 кН. Это ожидаемый результат, а не дефект решателя. Верхней арматуры в плите нет, а у угловых опор крутящий момент Mxy растягивает верхнюю грань. Без растянутого бетона воспринять его нечем, и система превращается в механизм.

Критерий прохождения

До трещин сила при прогибе 0,5 мм совпадает с опытом в пределах ±5 %.
Правило Layer с ψs: при прогибе 3–7 мм сила отличается от DIANA не более чем на ±10 %.
Без ψs кривая заметно мягче (качественный признак учёта работы бетона между трещинами).

Все три условия выполнены. Тест печатает кривые всех вариантов; с переменной окружения OPENCS_CSFEA_OUT он выгружает кривые, состояние КЭ и поле прогибов на каждом шаге в CSV, по которым построены рисунки этой страницы.

dotnet test CSfea.Tests --filter McNeiceSlabTests

Ограничения и диагностика

Нагрузка задаётся силой. После массовой текучести арматуры шаг перестаёт сходиться, поэтому расчёт доведён до 12 кН; ниспадающую ветвь и разрушение без управления по перемещению не получить.
Опора — точка в углу, сила — в одном узле. В модели DIANA сила и реакции передаются через стальные пластины, что повышает жёсткость у опор и под силой.
Прогиб на участке 1–2 мм у DIANA выше опыта, у OpenCS — ниже. На этом участке трещины распространяются быстрее всего, и результат сильнее всего зависит от модели растянутого бетона.
При расхождении проверьте: положение арматурного слоя (z от срединной плоскости, ниже середины — отрицательное), знак нагрузки (сила вниз растягивает низ), правило трещины и включение ψs, а также что опоры в углу закреплены только по uz. Связи в плане в угловых узлах дают ложный распор.

Источники

McNeice G. M. Elastic-plastic bending of plates and slabs by the finite element method. PhD thesis. University of London, 1967.
Jofriet J. C., McNeice G. M. Finite element analysis of reinforced concrete slabs. Journal of the Structural Division, ASCE, 1971, vol. 97, no. ST3. doi:10.1061/JSDEAG.0002845
DIANA FEA. Verification Report, раздел 7.1 «McNeice Slab (McNeice 1967)»: постановка, свойства материалов, кривая опыта и расчёт DIANA объёмными КЭ — manuals.dianafea.com/d104/Verify/Verifyse9.html.
СП 63.13330.2018, п. 8.2.32 — коэффициент ψs.