Трещиностойкость стержневого сечения (упрощённая проверка) — пример 47

ID: TEST-BAR-CRACK-WIDTH-EXAMPLE-47
Статус: контрольный численный тест — подтверждено
Вердикт: раскрытие трещин образуется в обоих методах, требования [1] выполнены в обоих
         методах (acrc ≤ 0,3 мм); σs и ls совпадают почти точно, Mcrc/ψs и итоговая ширина
         раскрытия трещин расходятся на ~20-25% — методы принципиально разные (см. ниже).
         Итоговая acrc у OpenCS НИЖЕ книжной, деформационная модель на этом же примере
         подтверждает значение OpenCS в пределах 7%
Источник эталона: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций
                  из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры
                  (к СП 63.13330.2018), раздел 4, пример расчёта 47

Sp63CrackWidthChecker (sp63_crack_width) — упрощённая (не деформационно-модельная) проверка ширины раскрытия трещин обычных стержневых сечений по п. 8.2.9–8.2.16 СП 63: применимость (прямоугольник, ровно два эффективных слоя точечной арматуры, без преднапряжения, ненулевой момент) распознаётся тем же Sp63RebarLayoutAnalyzer, что и упрощённая проверка нормального сечения sp63_normal, а сама формула не продублирована — вызывается уже проверенная ShellSimplSolver.ComputeStripSls (та же математика, что и у упрощённой трещиностойкости плит Wood & Armer/Капра-Мори, пример 48), с усилиями и площадью арматуры, делёнными на реальную ширину сечения b вместо расчётной полосы 1 м. В отличие от примера 48 (колонна, привлечённая для сверки плитного решателя), пример 47 — именно то сечение, для которого написан sp63_crack_width: обычная стержневая полоса плиты фундамента с реальной шириной b=1,15 м. Пособие даёт готовый эталонный расчёт трещиностойкости такого прямоугольного сечения от чистого изгиба с одиночным армированием.

Условие задачи

Железобетонная плита фундамента: h=300 мм, b=1150 мм, a=42 мм. Бетон класса B15 (Rb,ser=11 МПа, Rbt,ser=1,1 МПа, Eb=24000 МПа — как в примере 48). Рабочая арматура класса A400, As=923 мм² (6⌀14), у растянутой грани; сжатой арматуры нет. Момент в расчётном сечении: от постоянных и длительных нагрузок Ml=50 кН·м, от кратковременных Msh=10 кН·м; эксплуатация в неагрессивных условиях.

Исходное сечение примера 47: полоса плиты фундамента 1150×300 мм, защитный слой 42 мм, 6⌀14 A400 у растянутой грани

Величина	Значение
Геометрия	`b=1,150 м`; `h=0,300 м`; `h0=0,258 м`; `a=0,042 м`
Бетон B15	`Rbt,ser=1,1 МПа`; `Rb,ser=11 МПа`; `Eb=24 000 МПа`
Арматура A400	`Rs,ser≈400 МПа`; `Es=200 000 МПа`
Армирование	`As=9,23 см²` (`6⌀14`), сжатой арматуры нет
Момент, все нагрузки	`M=Ml+Msh=60 кН·м`
Момент, длительные	`Ml=50 кН·м`

Пособие проверяет условие (4.32) и приходит к выводу, что определяющим является продолжительное раскрытие трещин: расчёт ведётся при M=Ml=50 кН·м с φ1=1,4 (коэффициент продолжительного действия нагрузки). Sp63CrackWidthChecker считает ширину раскрытия по ОДНОМУ переданному моменту с одним φ1 — так же, как ShellSimplSolver для плит (см. пример 48), а не через официальную трёхчленную сумму acrc1+acrc2−acrc3 п. 8.2.7. Поэтому здесь воспроизводится именно определяющий случай книги: M=50 кН·м, φ1=1,4, φ2=0,5 (периодический профиль), φ3=1,0 (при N=0).

ComputeStripSls работает с усилиями и площадью арматуры НА МЕТР ширины (внутри всегда b=1), поэтому M и As делятся на фактическую ширину полосы b=1,15 м перед вызовом — результат (напряжение, ширина трещины) от этого не меняется, это интенсивные величины:

\[ M'=\frac{M}{b}=\frac{50}{1{,}15}=43{,}48\;\text{кН·м/м},\qquad A_{s}^{(b)}=\frac{A_s}{b}=\frac{9{,}23}{1{,}15}=8{,}03\;\text{см²/м} \]

(здесь и далее \(A_s^{(b)}\) — площадь арматуры на метр ширины, не путать с \(A_s'\) — площадью сжатой арматуры в формулах ниже, которой в этом примере практически нет).

Расчёт

var options = new Sp63CrackWidthOptions(
    Sp63NormalShapeKind.Rectangular, Sp63NormalAxis.Mx,
    Phi1: 1.4, Phi2: 0.5, AcrcLimMm: 0.3);

var result = Sp63CrackWidthChecker.Check(section, new LoadItem { N = 0, Mx = 50.0, My = 0 },
    CalcType.N, options);

Тест: CScore.Tests/Sp63CrackWidth/Sp63CrackWidthCheckerTests.cs → Check_Example47_PlateFoundation_MatchesBookWithinMethodTolerance.

Сечение книги — без верхней арматуры

У примера 47 нет сжатой арматуры вовсе. Sp63RebarLayoutAnalyzer (общий с sp63_normal) требует ровно два эффективных слоя точечной арматуры для распознавания геометрии сечения — поэтому в тесте и в реальной постановке для такого сечения нужен номинальный второй слой у противоположной грани (здесь — пренебрежимо малой площади, 1 мм², As_c≈0), иначе проверка вернёт NotApplicable с кодом insufficient_rebar_layers. На результат (σs, ψs, ls, acrc) это не влияет — сжатая арматура при As_c≈0 не участвует в формулах ни для Mcrc, ни для приведённого сечения с трещиной. Сечения с двумя реальными слоями (типичная балка/плита с конструктивной верхней арматурой) проверяются без этой оговорки.

Момент образования трещин Mcrc

Модульные отношения и приведённое сечение БЕЗ трещины (полоса b=1 м, арматура на метр ширины из формулы выше):

\[ \alpha_{full}=\frac{E_s}{E_b}=\frac{200\,000}{24\,000}=8{,}333,\qquad A_{red}=h+\alpha_{full}A_s=0{,}300+8{,}333\times0{,}000803=0{,}30669\;\text{м (на 1 м ширины)}. \]

\[ y_c=\frac{h^2/2+\alpha_{full}A_s h_0}{A_{red}}=\frac{0{,}045+8{,}333\times0{,}000803\times0{,}258}{0{,}30669} =0{,}15233\;\text{м от сжатой грани}, \]

\[ I_{red}=\frac{h^3}{12}+h\left(y_c-\frac h2\right)^2+\alpha_{full}A_s\left(y_c-h_0\right)^2 =0{,}0022516+0{,}0000747=0{,}0023263\;\text{м}^3\;\text{(на 1 м ширины)}. \]

\[ W_{red}=\frac{I_{red}}{h-y_c}=\frac{0{,}0023263}{0{,}14768}=0{,}015755\;\text{м}^3\text{/м},\qquad W_{pl}=1{,}3\,W_{red}=0{,}020482\;\text{м}^3\text{/м} \]

\[ M_{crc}'=R_{bt,ser}\,W_{pl}=1\,100\times0{,}020482=22{,}53\;\text{кН·м/м} \;\;\Longrightarrow\;\; M_{crc}=M_{crc}'\times b=22{,}53\times1{,}15=25{,}91\;\text{кН·м}. \]

M=50 кН·м > Mcrc=25,91 кН·м — трещины образуются (как и у пособия при Mcrc=33,22 кН·м). Момент образования трещин у OpenCS ниже пособия: пособие использует уточнённый (по армированию) коэффициент из своей таблицы 4.1, Wpl/Wred=1,75, а решатель — общий блокированный коэффициент, который сама норма (п. 8.2.9, ф. 8.122) прямо разрешает для прямоугольных сечений как более простую, но заведомо более консервативную альтернативу таблице:

\[ W_{pl}=1{,}3\,W_{red}\qquad\text{(вместо }1{,}75\,W_{red}\text{ у пособия)}. \]

Нейтральная ось приведённого сечения с трещиной, σs

Модульное отношение для сечения С трещиной и нейтральная ось (не зависят от M — только от геометрии и модульного отношения, п. 8.2.28):

\[ E_{b,red}=\frac{R_{b,ser}}{0{,}0015}=\frac{11}{0{,}0015}=7\,333\;\text{МПа},\qquad \alpha_{s1}=\frac{E_s}{E_{b,red}}=\frac{200\,000}{7\,333}=27{,}27\;\left(=\frac{300}{R_{b,ser}}\right), \]

\[ \frac{x_m^2}{2}+\alpha_{s1}A_s\,x_m-\alpha_{s1}A_s\,h_0=0 \qquad(A_s'\approx0) \;\;\Longrightarrow\;\; x_m=86{,}62\;\text{мм}\;(0{,}335\,h_0). \]

Плечо внутренней пары сил и напряжение в арматуре (одиночное армирование, N=0 — общая ф. (8.134)/(8.135) точно сводится к допускаемой ф. (8.132)):

\[ z_s=h_0-\frac{x_m}{3}=258-\frac{86{,}62}{3}=229{,}13\;\text{мм}, \]

\[ \sigma_s=\frac{M}{z_s A_s}=\frac{50\times10^6}{229{,}13\times923}=236{,}4\;\text{МПа}. \]

Abt, ls и σs,crc

Высота растянутой зоны на момент образования трещин h-y_c=147,7 мм > 2a=84 мм, поэтому она ограничивается h0/2=129 мм (п. 8.2.17):

\[ A_{bt}=b\left(\frac{h_0}{2}\right)=1150\times129=148\,350\;\text{мм}^2,\qquad l_s=0{,}5\,\frac{A_{bt}\,d_s}{A_s}=0{,}5\times\frac{148\,350\times14}{923}=1\,125\;\text{мм}, \]

что больше 40ds=560 мм и больше 400 мм — поэтому ls=400 мм (то же ограничение, что и у пособия).

Напряжение в арматуре сразу после образования трещины (п. 8.2.18): растянутый бетон рабочей зоны сбрасывает усилие Rbt,ser·Abt, и оно переходит в арматуру; с учётом упругого перераспределения (αs=Es/Eb=8,333)

\[ \sigma_{s,crc}=R_{bt,ser}\,\frac{A_{bt}+\alpha_s A_s}{A_s} =1{,}1\times\frac{148\,350+8{,}333\times923}{923}=186{,}0\;\text{МПа}. \]

ψs и ширина раскрытия трещин

\[ \psi_s=1-0{,}8\,\frac{\sigma_{s,crc}}{\sigma_s}=1-0{,}8\times\frac{186{,}0}{236{,}4}=0{,}371. \]

\[ a_{crc}=\varphi_1\varphi_2\varphi_3\,\psi_s\,\frac{\sigma_s}{E_s}\,l_s =1{,}4\times0{,}5\times1{,}0\times0{,}371\times\frac{236{,}4}{200\,000}\times400 =0{,}123\;\text{мм}. \]

Через критическую точку (продолжительное раскрытие трещин, M=Ml=50 кН·м) построены эпюры деформаций и напряжений тем же кодом, что использует приложение (SectionCutBuilder/SectionCutSvgExporter), по плоскости деформаций, восстановленной из xm и σs (линейная упругая плоскость: ε=0 на нейтральной оси, ε=σs/Es у растянутой арматуры):

Эпюра деформаций сечения примера 47 при продолжительном моменте Ml=50 кН·м

Эпюра напряжений сечения примера 47 при продолжительном моменте Ml=50 кН·м

Сжатая грань — сверху (A), растянутая — снизу (B); 6⌀14 показаны одним эквивалентным точечным маркером (объединённая площадь 9,23 см²), как их видит ComputeStripSls — без разбивки по стержням. Крайнее сжатое волокно бетона ε=-0,0006, σ=-4,38 МПа — заметно ниже Rb,ser=11 МПа, сечение работает в квазиупругой стадии сжатой зоны. Растянутая арматура ε=+0,00118, σ≈+235,3 МПа — практически то же значение, что и в формуле выше (236,4 МПа); малое расхождение (<0,5 %) — техническая особенность отображения: SectionCutBuilder рисует арматуру дифференциальной диаграммой «сталь минус вытесненный бетон», а при растяжении за пределом трещинообразования вытесняемый бетон уже несёт нулевое напряжение, поэтому дифференциальная диаграмма практически совпадает с чистой сталью.

Результат

Показатель	Пособие (табл. 4.1/4.3, ζ по рис. 4.3)	OpenCS (`Sp63CrackWidthChecker`, ф. 8.122/8.134)
`Mcrc`	`33,22 кН·м` (коэфф. `1,75` по табл. 4.1)	`25,91 кН·м` (коэфф. `1,3` по ф. 8.122)
Трещины образуются? (`M=50 > Mcrc`)	Да	Да
`zs`	`229,6 мм` (`ζ=0,89` по графику)	`229,1 мм` (`h0-xm/3`, `xm=86,6 мм`)
`σs`	`235,9 МПа`	`236,4 МПа`
`σs,crc`	— (метод не выделяет)	`186,0 МПа`
`ψs`	`0,468`	`0,371`
`ls`	`400 мм` (ограничение `40ds`/400мм)	`400 мм` (то же ограничение)
`acrc` (продолжительное)	`0,155 мм`	`0,123 мм`
Допустимо (`≤0,3 мм`)?	Да	Да

zs и σs — единственные величины, где методики почти не расходятся (<1 %): при одиночном армировании и N=0 обе сводятся к одной и той же элементарной формуле σs=M/(zs·As), а нейтральная ось приведённого сечения через xm (OpenCS) и через табличный коэффициент ζ (пособие) для этого сечения дают практически одно и то же плечо пары сил. Mcrc расходится сильнее (~22 %, из-за Wpl=1,3 против табличного 1,75), но в ширину раскрытия он напрямую не входит: ψs замыкается по напряжениям (1-0,8·σs,crc/σs, п. 8.2.18), а σs,crc определяется сбросом растянутого бетона рабочей зоны и от табличного коэффициента Wpl не зависит.

Итоговая acrc у OpenCS ниже книжной на ~21 %. Деформационная модель на этом же примере даёт 0,132 мм (см. пример 47 по НДМ), то есть формульный и деформационный пути OpenCS сходятся между собой в пределах 7 %, а расходятся оба с табличной методикой книги: та опирается на коэффициент ζ по графику рис. 4.3 и Wpl=1,75·Wred старого СНиП. Результат не в запас относительно книги — при проверке ответственных конструкций по этому примеру стоит сверяться с деформационной моделью.

Критерий прохождения

Cracked=true при M=50 кН·м (совпадает с пособием — трещины образуются в обоих методах);
σs ∈ [235,9×0,9; 235,9×1,1]=[212,3; 259,5] МПа (узкий допуск: для одиночного армирования при N=0 обе методики используют, по существу, одну и ту же формулу);
ls=400 мм точно (оба метода упираются в один и тот же абсолютный предел ls≤400 мм независимо от способа вычисления сырого ls);
acrc=0,1227 мм (значение закреплено в тесте; книга даёт 0,155 мм — расхождение методик по ψs);
acrc ≤ acrc,lim=0,3 мм в обоих методах.

Диагностика

сечение книги — с одним слоем арматуры; для формульного режима нужен второй (пусть номинальный) слой у противоположной грани — иначе NotApplicable (insufficient_rebar_layers), см. врезку выше;
нулевой момент (M=0) или момент только в другой плоскости (My≠0 при Axis=Mx) всегда дают NotApplicable (zero_moment/biaxial_load) — упрощённый путь построен для изгиба/внецентренного нагружения с ненулевым моментом, для центрального растяжения/сжатия нужна деформационная модель (crack_width);
если сторонний расчёт замыкает ψs через Mcrc/M (ф. 8.138), его acrc будет больше: формульный Mcrc занижен коэффициентом Wpl=1,3·Wred, и эта погрешность идёт в запас;
при сравнении Mcrc/ψs/acrc со сторонним расчётом по табличному коэффициенту Wpl/Wred не ищите точного совпадения — разница 15-25 % при коэффициенте таблицы заметно выше 1,3 (вплоть до 1,75-2,0) ожидаема и не является браком;
расхождение на порядок (не в разы, а в 5-10 раз) в σs, zs или acrc — повод искать реальную ошибку (единицы, знак N, перепутанные As_t/As_c, ось изгиба), а не списывать на разницу методов;
как и у плит (пример 48), решатель считает ширину раскрытия через один коэффициент φ1 для одного переданного момента, а не через официальную сумму acrc1+acrc2−acrc3 п. 8.2.7 — при значимой разнице кратковременной и длительной частей момента заранее выберите определяющий случай (как это делает условие (4.32) пособия) и передайте соответствующие M/φ1.

Связанные страницы: тот же пример по деформационной модели (НДМ) — полная трёхчленная сумма acrc1+acrc2−acrc3 и Mcrc ближе к книге, трещины и кривизна, трещиностойкость плиты по Wood & Armer — пример 48, нормативная база — раскрытие трещин, раздел тестов.