Плита по Капра-Мори: сверка с присланным расчётом

ID: TEST-PLATE-CAPRI-EXTERNAL
Статус: сверка с независимым сторонним расчётом — выполнена
Вердикт: проекция усилий и критическое направление совпадают точно (62,810 кН·м/м при
         α = 25,1°); коэффициент использования по прочности совпадает до третьего знака
         (0,862); ширина раскрытия трещин воспроизводится точно (0,260 и 0,329 мм)
         при тех же предпосылках, что приняты в присланном расчёте, и отличается не
         более чем на 1,3 % при нормативных предпосылках СП 63.
Источник сравнения: независимо написанный сторонний расчёт (таблица MS Excel, метод
                    Капра-Мори, автор Георгий Апхадзе), а также два независимых пути
                    самого OpenCS —
                    формульная проверка нормального сечения (п. 8.1.13) и деформационная
                    модель (LimitForceSolver, CrackWidthSolver)
Тесты: CScore.Tests/ShellSimplExternalPlateTests.cs,
       CScore.Tests/CrackingMomentGammaTests.cs

Задача проверяет упрощённую проверку плиты по Капра-Мори (shell_simpl_capri_uls, shell_simpl_capri_sls) на реальном проектном сечении: плита перекрытия толщиной 200 мм с разным армированием у верхней и нижней грани, три сочетания усилий (прочность, кратковременные и длительные нормативные), с проверкой и несущей способности, и ширины раскрытия трещин.

Ценность сверки в том, что сторонний расчёт написан по той же методике Капра-Мори, но полностью независимо, поэтому совпадение или расхождение сразу указывает, что именно различается — проекция усилий, предельное усилие полосы или цепочка трещиностойкости.

Постановка

Плита толщиной h = 200 мм, бетон B25, арматура A500. У нижней грани — основная сетка ⌀12 с шагом 200 мм в обоих направлениях плюс такая же дополнительная сетка в каждом направлении; у верхней грани — только основная сетка. Средняя привязка центра арматуры к грани 35 мм.

Величина	Значение
Геометрия	`h = 0,200 м`; `a = a' = 0,035 м`; `h0 = 0,165 м`; полоса `b = 1 м`
Арматура низа, каждое направление	`As = 11,31 см²/м` (`⌀12` шаг `200` × 2 сетки)
Арматура верха, каждое направление	`As = 5,655 см²/м` (`⌀12` шаг `200`)
Бетон B25, ПС1 (`C`)	`Rb = 14,5 МПа`; `Rbt = 1,05 МПа`; `Eb = 30 000 МПа`
Бетон B25, ПС2 (`N`)	`Rb,ser = 18,5 МПа`; `Rbt,ser = 1,55 МПа`
Арматура A500	`Rs = 435 МПа`; `Rsc = 400 МПа`; `Rs,ser = 500 МПа`; `Es = 200 000 МПа`
Перебор направлений	шаг `0,1°`, `α = 0…179,9°`
Трещины	`φ2 = 0,5`; `φ3 = 1,0` (`N = 0`)

Приведение осей и знаков

В присланной таблице оси переставлены относительно OpenCS: с cos²α в проекции идёт момент, названный «вдоль Y», и положительный момент растягивает нижнюю грань. В OpenCS с cos²α идёт Mx, а положительный момент растягивает верхнюю грань (см. соглашения о знаках). Приведение — перестановка осей и смена знака у всех трёх компонент:

\[ M_x^{\text{OpenCS}}=-M_y^{\text{табл}},\qquad M_y^{\text{OpenCS}}=-M_x^{\text{табл}},\qquad M_{xy}^{\text{OpenCS}}=-M_{xy}^{\text{табл}} . \]

Смена знака всех трёх компонент — это разворот оси z, то есть замена верхней грани на нижнюю; именно поэтому знак нельзя менять у одной компоненты (см. знак Mxy и перебор направлений).

Сочетание	Назначение	`My` табл.	`Mx` табл.	`Mxy` табл.	`Mx` OpenCS	`My` OpenCS	`Mxy` OpenCS
1	прочность, расчётные	`60,0`	`50,0`	`6,0`	`−60,0`	`−50,0`	`−6,0`
2	трещины, нормативные полные	`55,0`	`45,0`	`5,0`	`−55,0`	`−45,0`	`−5,0`
3	трещины, нормативные длительные	`45,0`	`35,0`	`3,0`	`−45,0`	`−35,0`	`−3,0`

Значения — кН·м/м; продольные силы во всех сочетаниях нулевые.

Исходные данные и результаты присланного расчёта — как они выглядят в самой таблице (жёлтым выделены вводимые величины, зелёным — результаты):

Исходные данные и результаты присланного расчёта по методу Капра-Мори

Решение в OpenCS

Создайте материалы B25 и A500 и плитное сечение в разделе «Пластины»: толщина 0,2 м, два слоя арматуры — Asx = Asy = 11,31 см²/м при Zsx = Zsy = −0,065 м (низ) и Asx = Asy = 5,655 см²/м при +0,065 м (верх), диаметр 12 мм.
Прочность: задача «Пластина: прочность (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_uls), вид расчёта C, «Шаг сканирования, °» = 0,1, усилия сочетания 1 в конвенции OpenCS.
Трещины: задача «Пластина: трещины (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_sls), вид расчёта N, три запуска — сочетание 2 при φ1 = 1,0, сочетание 3 при φ1 = 1,0 и при φ1 = 1,4. Итоговые ширины собираются по п. 8.2.5 (см. ниже).
Независимая сверка внутри OpenCS: ту же полосу шириной 1 м можно задать обычным сечением 1000 × 200 мм и посчитать задачами «Предельное усилие» (limit_force) и «Ширина раскрытия трещин» (crack_width) по деформационной модели.

Проверка 1. Проекция усилий и критическое направление

OpenCS проецирует тензор на направление α как M_n = Mx·cos²α + My·sin²α + Mxy·sin2α, а арматуру — как As,n = As,x·cos²α + As,y·sin²α. Сетка одинакова в обоих направлениях, поэтому As,n от α не зависит и критическое направление определяется только максимумом |M_n|:

\[ M_n(\alpha)=-\bigl(55+5\cos 2\alpha+6\sin 2\alpha\bigr),\qquad |M_n|_{\max}=55+\sqrt{5^2+6^2}=62{,}810\ \text{кН·м/м}, \]

максимум достигается при tg 2α = 6/5, то есть α = 25,10°.

Показатель	Аналитически	Присланный расчёт	OpenCS
Критическое направление `α`	`25,10°`	`25°`	`25,10°`
`M_n` в нём, кН·м/м	`62,810`	—	`62,810`
Растянутая грань	нижняя	нижняя	нижняя
`As,n` растянутой грани, см²/м	`11,31`	`11,31`	`11,31`

Шаг перебора влияет только на то, попадёт ли узел сетки в точку максимума, и в этой задаче почти не сказывается на результате — максимум пологий:

Шаг перебора	Найденное `α`	`M_n`, кН·м/м	`Кисп`
`10°`	`30°`	`62,696`	`0,8852`
`5°`	`25°`	`62,810`	`0,8868`
`1°`	`25°`	`62,810`	`0,8868`
`0,1°`	`25,10°`	`62,810`	`0,8868`

Проверка 2. Прочность

Присланный расчёт считает полосу как сечение с одиночным армированием: сжатая арматура не учитывается, x = Rs·As/(Rb·b) = 33,93 мм, M_ult = Rs·As·(h0 − x/2) = 72,83 кН·м/м.

OpenCS приходит к тому же значению нормативным путём. Сначала по ф. (8.5) п. 8.1.9 с учётом сжатой арматуры x = (Rs·As − Rsc·A's)/(Rb·b) = 18,33 мм. Поскольку x ≤ 2a' = 70 мм, сжатая арматура при такой высоте сжатой зоны до Rsc не дорабатывает, и по п. 8.1.13 применяется ф. (8.9): момент считается относительно равнодействующей сжатой зоны бетона при исключённой сжатой арматуре, то есть с высотой x = Rs·As/(Rb·b) = 33,93 мм и плечом h0 − x/2. Ту же ветвь применяет формульная проверка нормального сечения (Sp63NormalFormulas) — плитная полоса и стержневая проверка используют общий код.

Показатель	Присланный расчёт	Капра-Мори (`shell_simpl_capri_uls`)	Формульная проверка нормального сечения	НДМ (`limit_force`) OpenCS
`x` по ф. (8.5), мм	—	`18,33`	`18,33`	—
Применённая ветвь	одиночное армирование	п. 8.1.13, ф. (8.9)	п. 8.1.13, ф. (8.9)	деформационный критерий
Расчётная высота сжатой зоны `x`, мм	`33,93`	`33,93`	`33,93`	—
`ξ = x/h0`	`0,206`	`0,206`	`0,206`	—
`ξR`	—	`0,493`	`0,493`	—
`M_ult`, кН·м/м	`72,83`	`72,83`	`72,83`	`72,51`
`Кисп = M_n/M_ult`	`0,862`	`0,862`	`0,862`	`0,866`
Остаточный запас	`13,8 %`	`13,8 %`	`13,8 %`	`13,4 %`

Все три формульных пути дают одно и то же значение, деформационная модель отличается на 0,4 %. Совпадение не тривиально: присланный расчёт приходит к 72,83 кН·м/м сразу, отбросив сжатую арматуру, а OpenCS — через проверку условия x ≤ 2a' и переход на ф. (8.9); численно это одно и то же равновесие.

Почему нельзя остаться на ф. (8.4)

Если при x ≤ 2a' считать по ф. (8.4) с учётом сжатой арматуры, получится M_ult = 70,82 кН·м/м и Кисп = 0,887 — на 2,5 % меньше. Причина не в методе Капра-Мори, а в том, что при малой высоте сжатой зоны равнодействующая сжатия смещается к грани и плечо внутренней пары сокращается. Именно для этого случая норма вводит отдельную ветвь п. 8.1.13.

Деформированное состояние полосы в предельном состоянии по НДМ (сечение 1000 × 200, разрез через нижние стержни, бетон на растяжение не работает): предельная деформация достигнута на сжатой грани бетона (εb = −3,458·10⁻³ при εb2 = −3,5·10⁻³), арматура растянута до εs = 1,161·10⁻², то есть до площадки текучести, но далеко от предельной 0,025.

Эпюра деформаций полосы в предельном состоянии

Эпюра напряжений полосы в предельном состоянии

Проверка 3. Трещиностойкость

Ширины раскрытия собираются по п. 8.2.5 из трёх расчётов:

\[ a_{crc,\text{длит}}=a_{crc}(\text{длит},\ \varphi_1=1{,}4), \]

\[ a_{crc,\text{кратк}}=a_{crc}(\text{полн},\ \varphi_1=1{,}0) -a_{crc}(\text{длит},\ \varphi_1=1{,}0) +a_{crc}(\text{длит},\ \varphi_1=1{,}4). \]

Сумма собирается по каждому направлению отдельно, и только потом берётся максимум по направлениям: критические направления у полного и у длительного сочетания разные (22,5° и 15,5°), поэтому складывать максимумы разных сочетаний нельзя.

Автор присланного расчёта принял упругопластический момент сопротивления по «старому» СНиП 2.03.01-84*, то есть Wpl = 1,75·Wred вместо нормативных 1,3·Wred СП 63, и замкнул ψs через момент образования трещин (ф. 8.138). При тех же двух предпосылках OpenCS воспроизводит его числа точно:

Величина	Присланный расчёт	OpenCS, те же предпосылки (`γ = 1,75`, ф. 8.138)	OpenCS, предпосылки СП 63 (`γ = 1,3`, ф. 8.137)	НДМ (`crack_width`)
`acrc` продолжительного раскрытия, мм	`0,260`	`0,260`	`0,2567` (при `α = 15,5°`)	`0,2474`
`acrc` непродолжительного раскрытия, мм	`0,329`	`0,329`	`0,3255` (при `α = 20,8°`)	`0,3188`

Разброс между всеми четырьмя вариантами — в пределах 5 %, и это тот редкий случай, когда совпадение не случайно: варианты отличаются предпосылками, а не механикой.

Промежуточная цепочка упрощённой проверки для длительного сочетания (α = 15,5°, M_n = 45,83 кН·м/м):

Величина	OpenCS
`Rbt,ser·Wred`, кН·м/м	`11,20`
`Mcrc` (п. 8.2.11, `Wpl = 1,3·Wred`), кН·м/м	`14,56`
Высота сжатой зоны сечения с трещиной `xm`, мм	`58,81`
Плечо `zs = h0 − xm/3`, мм	`145,4`
`σs` (ф. 8.134), МПа	`282,05`
`σs,crc` (п. 8.2.18, ф. 8.137), МПа	`123,40`
`ψs = 1 − 0,8·σs,crc/σs`	`0,650`
`ls` (ограничение `≤ 400 мм`), мм	`400`

Примечание о коэффициенте пластичности γ

Все расхождения по трещиностойкости в этой сверке сводятся к одному числу — коэффициенту пластичности γ в упругопластическом моменте сопротивления Wpl = γ·Wred (п. 8.2.11). Для прямоугольного сечения его значение в нормах менялось: СНиП 2.03.01-84* принимал 1,75 (формула Гвоздева-Дмитриева, 1957), действующий СП 63.13330 — 1,3, то есть на 35 % меньше.

Деформационная модель даёт независимую точку отсчёта: CrackWidthSolver ищет Mcrc бисекцией по реальной трёхлинейной диаграмме растянутого бетона и никакого γ не использует вовсе. Эквивалентный коэффициент восстанавливается из результата как γ_экв = Mcrc / (Rbt,ser·Wred):

Источник `γ`	`γ`	`Mcrc`, кН·м/м	доля от `Mcrc` по НДМ
СП 63.13330	`1,300`	`14,56`	`0,73`
СНиП 2.03.01-84*	`1,750`	`19,60`	`0,98`
По степени армирования (`μs = 0,566 %`)	`1,733`	`19,41`	`0,97`
Деформационная модель (`γ` не задаётся)	`1,778` (экв.)	`19,91`	`1,00`

Три независимых источника укладываются в 19,4…19,9 кН·м/м, а нормативные γ = 1,3 дают 14,56 — на четверть ниже. Заниженный Mcrc сам по себе идёт в запас (трещина считается образовавшейся раньше), но через ψs = 1 − 0,8·Mcrc/M он завышает и расчётную ширину раскрытия.

Значение 1,733 в третьей строке получено по эмпирической зависимости γ = 1,6 + 1/(100·√μs) при μs = As/(b·h), предложенной в работе Радайкина О.В. (Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова, 2018, № 3) по опытным данным Пирадова, Ватагина и Тошина. Там же показано, что γ = 1,3 не следует из собственных предпосылок СП 63: при трапециевидной эпюре растянутой зоны и Ebt ≠ Eb теоретический вывод даёт 1,76…2,52. Автор ограничивает область применения формулы бетонами В15…В35 и отдельно отмечает, что опытные значения γ с ростом процента армирования падают, тогда как из теории следует обратное, — вопрос не закрыт.

Что отсюда следует для расчёта

При замыкании ψs по напряжениям (ф. 8.137) ширина раскрытия от γ не зависит вовсе: σs,crc определяется сбросом растянутого бетона рабочей зоны, а не моментом образования трещин. В этой задаче так получается 0,2567 мм при любом из четырёх значений γ. Через момент (ф. 8.138) γ входит напрямую: 0,2945 мм при γ = 1,3 и 0,2598 мм при γ = 1,75. Сам вердикт «трещины образуются / не образуются» от γ зависит всегда — здесь M = 45,83 кН·м/м заведомо больше Mcrc при любом γ.

Критерий прохождения

критическое направление α = 25,1 ± 0,1°, M_n = 62,810 ± 0,001 кН·м/м, растянута нижняя грань, As,n = 11,31 см²/м;
сработала ветвь п. 8.1.13 (x по ф. (8.5) = 18,33 мм ≤ 2a' = 70 мм), расчётная высота сжатой зоны x = 33,93 ± 0,01 мм;
M_ult = 72,83 ± 0,01 кН·м/м и Кисп = 0,862 ± 0,001 — совпадение с присланным расчётом до третьего знака; плитная полоса и формульная проверка нормального сечения совпадают точно;
НДМ даёт M_ult в пределах 5 % от формульного значения;
при предпосылках присланного расчёта (γ = 1,75, ф. 8.138) acrc продолжительного и непродолжительного раскрытия равны 0,260 и 0,329 мм — совпадение до третьего знака;
при нормативных предпосылках СП 63 (γ = 1,3, ф. 8.137) — 0,2567 и 0,3255 мм, отличие от присланного расчёта не более 1,5 %;
γ_экв деформационной модели лежит в диапазоне 1,75…1,82, а Mcrc при γ = 1,75 и по формуле от степени армирования отличаются от деформационного не более чем на 5 %.

Диагностика

результат стороннего расчёта отличается ровно перестановкой Mx и My — сверьте, какая компонента идёт с cos²α в чужой методике, и какая грань считается растянутой при положительном моменте;
Кисп по Капра-Мори выше стороннего на 2-3 % при малой высоте сжатой зоны — проверьте, какую ветвь применяет сторонний расчёт: при x ≤ 2a' ф. (8.4) занижает предельный момент, а нормативная ветвь (8.9) даёт больше; применённая ветвь видна в поле «Случай» результата;
ширина раскрытия отличается в полтора раза при совпадающих σs и ls — сравнивайте Mcrc и σs,crc: именно через них в ψs попадает разница методик;
ширина раскрытия расходится со сторонним расчётом на 10-15 % при совпадающих σs и ls — сверьте коэффициент γ в Wpl = γ·Wred: расчёты по «старому» СНиП используют 1,75, СП 63 предписывает 1,3, и разница целиком уходит в ψs;
складывать максимумы acrc разных сочетаний по отдельности нельзя: трёхчленная сумма п. 8.2.5 собирается в каждом направлении, а максимум берётся уже от суммы.

Благодарность

Сверка стала возможной благодаря Георгию Апхадзе — автору той самой расчётной таблицы. Он самостоятельно реализовал метод Капра-Мори и прислал полный набор данных: постановку, все три сочетания усилий, промежуточные величины и итоговые коэффициенты — расчёт удалось воспроизвести целиком, не догадываясь ни об одном значении.

Такие независимые реализации — самый ценный вид обратной связи: совпадение двух написанных порознь программ подтверждает обе, а каждое расхождение указывает конкретное место в методике, которое стоит разобрать. Именно так в этой сверке была локализована граница применимости ф. (8.4) и условие перехода на ф. (8.9) при x ≤ 2a'.

Связанные страницы: плиты и оболочки, знак Mxy и перебор направлений, соглашения о знаках, раздел тестов.