Плита по Капра-Мори: знак крутящего момента и перебор направлений

ID: TEST-PLATE-CAPRI-DIRECTION-SIGN
Статус: контрольный численный тест — подтверждено
Вердикт: запись проекции с «+Mxy·sin2α» (OpenCS) и с «−Mxy·sin2α» дают одинаковый
         результат на полном полуобороте 0…180° — меняется только угол критического
         направления (α → 180°−α); перебор по четверти оборота 0…90° теряет
         критическое направление; при Mx и My разных знаков перебор сам проверяет
         обе грани. Выводы независимо подтверждены слоистой моделью.
Источник сравнения: тождества тригонометрии (аналитически), формула проекции из справки
                    Autodesk Robot Structural Analysis (метод Капра-Мори), слоистая
                    модель OpenCS (ShellLayeredCheck, п. 8.1.30 СП 63.13330)
Тесты: CScore.Tests/ShellSimplCapriDirectionTests.cs

Упрощённая проверка плиты по Капра-Мори (shell_simpl_capri_uls, shell_simpl_capri_sls) перебирает направления α от оси x, проецирует усилия плиты на каждое направление и проверяет полосу шириной 1 м как прямоугольное сечение. Тест отвечает на три практических вопроса, которые возникают при сверке с другими методиками и программами:

почему в одних методиках крутящий момент входит в проекцию со знаком «плюс», а в других — со знаком «минус», и влияет ли это на результат;
достаточно ли перебирать направления на четверти оборота;
нужно ли в надколонных зонах, где Mx и My разных знаков, отключать один из моментов и проверять верхнюю и нижнюю грань отдельно.

Проекция усилий на направление

OpenCS переводит усилия в направление α как компоненты тензора второго ранга:

\[ M_n(\alpha)=M_x\cos^2\alpha+M_y\sin^2\alpha+M_{xy}\sin 2\alpha, \qquad N_n(\alpha)=N_x\cos^2\alpha+N_y\sin^2\alpha+N_{xy}\sin 2\alpha, \]

а арматуру — проекцией площадей

\[ A_{s,n}(\alpha)=A_{s,x}\cos^2\alpha+A_{s,y}\sin^2\alpha . \]

В справке Robot (метод Капра-Мори) и в методиках, написанных по ней, формула проекции записана с обратным знаком при касательной компоненте:

\[ M_n^{(-)}(\alpha)=M_x\cos^2\alpha+M_y\sin^2\alpha-M_{xy}\sin 2\alpha . \]

Разница — в правиле знаков крутящего момента (или в направлении отсчёта угла), а не в механике. Поскольку \(\cos^2(180^\circ-\alpha)=\cos^2\alpha\), \(\sin^2(180^\circ-\alpha)=\sin^2\alpha\) и \(\sin 2(180^\circ-\alpha)=-\sin 2\alpha\),

\[ M_n^{(-)}(\alpha)=M_n(180^\circ-\alpha),\qquad N_n^{(-)}(\alpha)=N_n(180^\circ-\alpha),\qquad A_{s,n}(\alpha)=A_{s,n}(180^\circ-\alpha). \]

Значит, на полном полуобороте обе записи дают одинаковый набор проверок, и результат отличается только отражением угла критического направления. На четверти оборота 0…90° это уже не так: одна из записей не видит направлений, в которых крутящий момент догружает изгиб.

Знаки Mxy и Nxy — только в паре

Отражение угла меняет знак сразу у Mxy и у Nxy. Если в одной конвенции задан крутящий момент, а в другой — сдвигающая сила (например, при импорте из разных источников), это уже другое напряжённое состояние, и результат изменится.

Постановка

Плита толщиной h = 200 мм, бетон B25, арматура A500, у каждой грани сетка ⌀12 с шагом 200 мм в обоих направлениях, центр арматуры в 30 мм от грани. Положительный момент растягивает верхнюю грань (+Z), см. соглашения о знаках.

Величина	Значение
Толщина	`h = 0,200 м`; `a = a' = 0,030 м`; `h0 = 0,170 м`
Арматура, каждая грань и направление	`As = 5,655 см²/м` (`⌀12` шаг `200`)
Бетон B25, ПС1 (`C`)	`Rb = 14,5 МПа`; `Rbt = 1,05 МПа`; `Eb = 30 000 МПа`
Бетон B25, ПС2 (`N`)	`Rb,ser = 18,5 МПа`; `Rbt,ser = 1,55 МПа`
Арматура A500	`Rs = 435 МПа` (ПС1); `Rs,ser = 500 МПа` (ПС2); `Es = 200 000 МПа`
Перебор направлений	шаг `5°`, `α = 0…175°` (36 направлений)
Трещины	`acrc,lim = 0,3 мм`; `φ1 = 1,0`; `φ2 = 0,5`

Наборы усилий (Nx, Ny, Nxy — кН/м; Mx, My, Mxy — кН·м/м):

Случай	Назначение	`Nx`	`Ny`	`Nxy`	`Mx`	`My`	`Mxy`
A	прочность, общий случай	−50	−30	15	18	8	10
B	трещины, общий случай	−20	−10	8	12	5	7
C	прочность, надколонная зона	0	0	0	25	−12	9
D	трещины, надколонная зона	0	0	0	16	−14	7

В случаях A и B продольная сила N_n сжимающая на всех направлениях: так проверка знака не смешивается со сменой расчётного случая «сжатие/растяжение» внутри перебора.

Решение в OpenCS

Создайте материалы B25 и A500 и плитное сечение в разделе «Пластины»: толщина 0,2 м, два слоя арматуры с Asx = Asy = 5,655 см²/м, Zsx = Zsy = −0,07 м (низ) и +0,07 м (верх).
Создайте задачу «Пластина: прочность (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_uls) с видом расчёта C, «Шаг сканирования, °» = 5 и усилиями случая A (или C).
Для трещин — задачу «Пластина: трещины (Капри-Мори)» (shell_simpl_capri_sls) с видом расчёта N, acrc,lim = 0,3 мм, усилиями случая B (или D).
Для сравнения со «знаком минус» повторите задачу, сменив знак и у Mxy, и у Nxy.
Для независимой проверки — задачу «Пластина: прочность (слоистая модель)» (shell_layered_uls) на тех же усилиях, бетон на растяжение не учитывается.

Проверка 1. Знак при Mxy: полный полуоборот

Случай A считается дважды: как есть и со сменой знака у Mxy и Nxy — это ровно проекция с «−Mxy·sin2α». Для каждого из 36 направлений α результат «минус»-расчёта на угле 180°−α совпадает с «плюс»-расчётом на угле α: M_n, N_n, растянутая грань и коэффициент использования — до девятого знака.

Коэффициент использования по направлениям при двух записях знака Mxy

Ручной счёт критического направления α = 30° (\(\cos^2 30^\circ=0{,}75\), \(\sin^2 30^\circ=0{,}25\), \(\sin 60^\circ=0{,}86603\)):

\[ M_n=18\cdot0{,}75+8\cdot0{,}25+10\cdot0{,}86603=24{,}160\;\text{кН·м/м}, \]

\[ N_n=-50\cdot0{,}75-30\cdot0{,}25+15\cdot0{,}86603=-32{,}010\;\text{кН/м}. \]

Соседнее направление 35° даёт почти тот же результат (M_n = 24,107 кН·м/м, N_n = −29,325 кН/м, Кисп = 0,5920): максимум пологий, и критическое направление лежит между двумя шагами перебора.

Показатель (случай A, прочность)	Аналитически / формула с «−»	OpenCS, запись «+»	OpenCS, знаки `Mxy`, `Nxy` обращены
`M_n` в критическом направлении, кН·м/м	`24,160`	`24,160` при `30°`	`24,160` при `150°`
`N_n` в критическом направлении, кН/м	`−32,010`	`−32,010`	`−32,010`
Критическое направление	`α` и `180°−α`	`30°`	`150°`
`Кисп,max`	одинаков для обеих записей	`0,5920`	`0,5920`
Проверка по всем 36 направлениям	`M_n^{(−)}(α)=M_n(180°−α)`	совпадает до `1e-9`	совпадает до `1e-9`

Та же проверка для трещин (случай B):

Показатель (случай B, трещины)	Ожидается	OpenCS, запись «+»	OpenCS, знаки обращены
Критическое направление	`α` и `180°−α`	`35°`	`145°`
`M_n`, кН·м/м	одинаков	`16,275`	`16,275`
`N_n`, кН/м	одинаков	`−9,193`	`−9,193`
`Mcrc`, кН·м/м	одинаков	`14,489`	`14,489`
`σs` (ф. 8.134), МПа	одинаково	`179,66`	`179,66`
`σs,crc` (ф. 8.137), МПа	одинаково	`159,06`	`159,06`
`ψs`	одинаков	`0,292`	`0,292`
`acrc`, мм	одинакова	`0,0524`	`0,0524`

Проверка 2. Перебор только на четверти оборота

При записи с «−» критическое направление случая A лежит на 150°. Если ограничить перебор диапазоном 0…90°, оно в проверку не попадает (серая полоса на рисунке выше).

Показатель	Ожидается	OpenCS, `0…180°`	тот же расчёт, только `0…90°`
`Кисп,max`, случай A, запись «−»	не зависит от записи	`0,5920` (`150°`)	`0,4546` (`0°`) — занижение на 23 %
`acrc`, случай B, запись «−»	не зависит от записи	`0,0524 мм` (`145°`), трещины есть	`0` — трещина не найдена

Вывод: перебор по полуобороту 0…180° обязателен; при четверти оборота результат зависит от правила знаков крутящего момента.

Проверка 3. Смена знака только у Mxy

Показатель	Знаки `Mxy` и `Nxy` обращены вместе	Обращён только `Mxy`
`Кисп,max`, случай A (Капра-Мори)	`0,5920` (как исходный)	`0,5820` (`150°`)
`acrc`, случай B (Капра-Мори)	`0,0524 мм` (как исходный)	`0,0454 мм` (`150°`)
`λ_пред`, случай A (слоистая модель)	`1,830` (как исходный)	`2,016`

Обращение одного Mxy — другое напряжённое состояние: обе независимые модели показывают изменение результата в одну сторону.

Проверка 4. Mx и My разных знаков

В надколонной зоне (случай C) момент по направлениям меняет знак: при α ≈ 15° растянута верхняя грань, при α ≈ 105° — нижняя. Перебор выбирает растянутую грань в каждом направлении по знаку M_n и находит критическое направление отдельно для каждой грани, поэтому отключать Mx или My не требуется.

Момент по направлениям в надколонной зоне и растянутая грань

Ручной счёт (\(\cos^2 15^\circ=0{,}93301\), \(\sin 30^\circ=0{,}5\); \(\cos^2 105^\circ=0{,}06699\), \(\sin 210^\circ=-0{,}5\)):

\[ M_n(15^\circ)=25\cdot0{,}93301-12\cdot0{,}06699+9\cdot0{,}5=27{,}021,\qquad M_n(105^\circ)=25\cdot0{,}06699-12\cdot0{,}93301-9\cdot0{,}5=-14{,}021 . \]

Показатель	Аналитически	OpenCS, случай C (прочность)	OpenCS, случай D (трещины)
Верхняя грань: направление	максимум `M_n`	`15°`	`15°`
Верхняя грань: `M_n`, кН·м/м	`27,021` (C)	`27,021`; `Кисп = 0,6801`	`17,490`; `acrc = 0,0710 мм`
Нижняя грань: направление	минимум `M_n`	`105°`	`105°`
Нижняя грань: `M_n`, кН·м/м	`−14,021` (C)	`−14,021`; `Кисп = 0,3529`	`−15,490`; `acrc = 0,0479 мм`

Проверка 5. Обнуление одного из моментов

Приём «отключить My и проверить верх, отключить Mx и проверить низ» убирает момент, который разгружает рассматриваемую грань, поэтому идёт в запас:

Показатель	Полный тензор	`My = 0`	`Mx = 0`
Капра-Мори, `Кисп` верхней грани (C)	`0,6801` (`15°`)	`0,7012` (`20°`) — в запас	—
Капра-Мори, `Кисп` нижней грани (C)	`0,3529` (`105°`)	—	`0,4227` (`120°`) — в запас
Капра-Мори, `acrc` верхней грани (D)	`0,0710 мм` (`15°`)	`0,0841 мм` (`20°`) — в запас	—
Капра-Мори, `acrc` нижней грани (D)	`0,0479 мм` (`105°`)	—	`0,0637 мм` (`110°`) — в запас
Слоистая модель, `λ_пред` (C)	`1,458`	`1,435`	`2,395`

Приём не ошибочен, но избыточен: полный перебор уже учитывает взаимную разгрузку граней, а обнуление завышает армирование. По слоистой модели огибающая двух обнулений (min(1,435; 2,395) = 1,435) тоже ниже, чем для полного тензора (1,458).

Проверка 6. Независимая слоистая модель

Слоистая модель (shell_layered_uls) не перебирает направления: она находит деформированное состояние по полному тензору усилий и проверяет предельные деформации бетона и арматуры по п. 8.1.30 СП 63. Бетон на растяжение не работает, бетон — трёхлинейная диаграмма, арматура — двухлинейная. Тест находит предельный множитель нагрузки λ_пред — наибольший множитель ко всем усилиям, при котором состояние существует и коэффициент использования не больше 1.

Смена знака у Mxy и Nxy — зеркальное отражение плиты относительно оси x. При ортогональной симметричной арматуре деформированное состояние должно отразиться: γ0xy и κxy меняют знак, остальные компоненты не меняются.

Показатель (случай A, `λ = 1`)	Ожидается при отражении	Знаки как есть	Знаки `Mxy`, `Nxy` обращены
`ε0x`	не меняется	`6,511·10⁻⁴`	`6,511·10⁻⁴`
`ε0y`	не меняется	`5,194·10⁻⁴`	`5,194·10⁻⁴`
`γ0xy`	меняет знак	`1,2213·10⁻³`	`−1,2213·10⁻³`
`κx`, 1/м	не меняется	`9,347·10⁻³`	`9,347·10⁻³`
`κy`, 1/м	не меняется	`6,716·10⁻³`	`6,716·10⁻³`
`κxy`, 1/м	меняет знак	`1,6574·10⁻²`	`−1,6574·10⁻²`
Коэффициент использования	не меняется	`0,1357`	`0,1357`
`λ_пред`	не меняется	`1,830`	`1,830`

Сопоставление упрощённой и слоистой моделей по запасу нагрузки (для Капра-Мори в качестве грубой оценки запаса взято 1/Кисп,max):

Случай	Капра-Мори, `1/Кисп,max`	Слоистая модель, `λ_пред`
A	`1,689`	`1,830`
A, обращён только `Mxy`	`1,718`	`2,016`
C	`1,470`	`1,458`
C, `My = 0`	`1,426`	`1,435`
C, `Mx = 0`	`2,366`	`2,395`

Абсолютные значения не обязаны совпадать — это разные модели (прямоугольная эпюра сжатой зоны полосы против деформационного критерия п. 8.1.30 с нелинейными диаграммами). В чистом изгибе (случай C, N = 0) обе модели сходятся в пределах 1,5 %; в случае A, где есть мембранные усилия, слоистая модель даёт на 8–17 % больший запас — там упрощённая полоса приводит тензор к внецентренному сжатию полосы, а слоистая работает с полным тензором. Совпадают и качественные выводы: инвариантность к отражению, направление изменения при смене одного Mxy и консервативность обнуления.

Критерий прохождения

для каждого из 36 направлений результат при обращённых знаках Mxy, Nxy на угле 180°−α совпадает с исходным на угле α (M_n, N_n, грань, Кисп или acrc) до 1e-9;
M_n и N_n OpenCS совпадают с формулой с «−Mxy·sin2α» на отражённом угле до 1e-9;
Кисп,max(A) = 0,5920 ± 0,0005; acrc(B) = 0,0524 ± 0,0005 мм; критические направления 30° / 150° для прочности и 35° / 145° для трещин;
перебор 0…90° при записи «−» даёт Кисп = 0,4546 ± 0,0005 и не находит трещину случая B;
в случаях C и D найдены критические направления обеих граней (15° и 105°) с указанными значениями; в случае C работает ветвь п. 8.1.13 (x ≤ 2a');
в случае B соблюдена нормативная граница σs,crc ≤ σs (п. 8.2.18): σs,crc = 159,1 МПа при σs = 179,7 МПа, ψs = 1 − 0,8·σs,crc/σs = 0,292 — в пределах 0,2…1,0;
обнуление разгружающего момента увеличивает Кисп или acrc своей грани;
слоистая модель: отражённое состояние совпадает с относительной точностью 1e-4 (ограничена точностью решателя), λ_пред(A) = 1,830 ± 0,002 для обеих записей, λ_пред(C) = 1,458 ± 0,003, огибающая обнулений ниже λ_пред(C).

Диагностика

результат сверки с другой программой отличается только углом критического направления (α против 180°−α) — это разное правило знаков крутящего момента, а не расхождение;
результат отличается по величине и сторонний перебор идёт только по 0…90° — сначала расширьте перебор до 0…180°;
при импорте усилий проверьте, что Mxy и Nxy приведены к одной конвенции: импорт ЛИРА и SCAD инвертирует изгибающие и крутящий моменты, но не мембранные усилия (см. плиты и оболочки);
если Mx и My разных знаков и сторонний расчёт обнуляет один из моментов — его армирование будет больше, чем по полному перебору; это запас, а не ошибка.

Связанные страницы: сверка с присланным расчётом, плиты и оболочки, соглашения о знаках, трещиностойкость плиты по Wood & Armer — пример 48, раздел тестов.