Трещиностойкость стержневого сечения по деформационной модели — пример 47 (НДМ)

ID: TEST-BAR-CRACK-WIDTH-EXAMPLE-47-NDM
Статус: контрольный численный тест — подтверждено
Вердикт: раскрытие трещин образуется во всех трёх методах, требования [1] выполнены во всех
         трёх (acrc ≤ 0,3 мм); Mcrc у деформационной модели ближе к книге (~9%), чем у
         упрощённой проверки (~22%), но итоговая acrc у НДМ ниже книги (~15%), а у
         упрощённой проверки — выше (~25%): три самостоятельных, но нормативно допустимых
         метода дают разный знак отклонения
Источник эталона: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций
                  из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры
                  (к СП 63.13330.2018), раздел 4, пример расчёта 47

CrackWidthSolver/CrackingSolver (задача crack_width) — полная деформационная модель раскрытия трещин по СП 63 п. 8.2.7-8.2.18: момент трещинообразования ищется бисекцией по РЕАЛЬНОЙ нелинейной (здесь — трёхлинейной, DiagrammType.L3, обе ветви: и на растяжение, и на сжатие) диаграмме бетона на сетке волокон по высоте сечения, а не по формульному приведённому сечению; ширина раскрытия трещин считается по официальной трёхчленной сумме acrc=acrc1+acrc2−acrc3 (п. 8.2.7) — в отличие от упрощённой проверки sp63_crack_width (пример 47, упрощённая проверка), которая считает через Mcrc=1,3Wred·Rbt,ser и один коэффициент φ1. Здесь используется то же сечение книги, что и в упрощённой проверке — страница сравнивает сразу три метода: пособие / упрощённая проверка СП63 / полная деформационная модель.

Диаграмма бетона — только непродолжительного действия. П. 6.1.26 СП63.13330 прямо указывает: при расчёте раскрытия трещин по НДМ для сжатого бетона используют диаграмму состояния с учётом непродолжительного действия нагрузки; длительная (пониженного модуля, NL/CL) диаграмма в этом расчёте не участвует вовсе — ни для длительной, ни для кратковременной части. Различие «длительная/кратковременная составляющая» в самой формуле раскрытия трещин — это разница в РАССМАТРИВАЕМОМ МОМЕНТЕ (Ml против M) и в коэффициенте φ1 (1,4 против 1,0), а НЕ в диаграмме бетона. Поэтому ниже calcCrc, calcService и calcServiceLong — все три — используют один и тот же кратковременный CalcType.N.

Условие задачи

То же сечение, что и в упрощённой проверке: железобетонная плита фундамента h=300 мм, b=1150 мм, a=42 мм, бетон B15, арматура A400 As=923 мм² (6⌀14) у растянутой грани, сжатой арматуры нет. Момент: Ml=50 кН·м (длительный), Msh=10 кН·м (кратковременный), M=60 кН·м (полный).

Исходное сечение примера 47: полоса плиты фундамента 1150×300 мм, защитный слой 42 мм, 6⌀14 A400 у растянутой грани

Настройка сечения для НДМ

TestSections.Example47() — общая fixture (используется также тестами бисекционных pin-решателей момент-кривизна): трёхлинейная диаграмма бетона B15 на растяжение и на сжатие (короткая C/N и длительная CL/NL заданы в fixture для других тестов, но в расчёте раскрытия трещин, как показано выше, участвует только короткая), бетонная область разбита сеткой SliceXY(nx, ny), 6 отдельных стержней ⌀14 с реальными координатами (шаг 180 мм).

Достаточность разбиения по высоте. Сходимость acrc (длительная) при измельчении сетки от ny=12 (значение по умолчанию у fixture) до ny=400:

`ny` (слоёв по высоте)	`Mcrc`, кН·м	`acrc` (длит.), мм	Отклонение от `ny=400`
12	36,117	0,13413	1,26 %
24	36,223	0,13056	1,43 %
50	36,250	0,13248	0,02 %
100	36,254	0,13210	0,27 %
200	36,256	0,13246	0,005 %
400	36,256	0,13246	— (эталон)

Немонотонность на ny=24 — обычный дискретизационный эффект (положение нейтральной оси относительно границ слоёв фибр), не признак расходимости: с ny=50 отклонение уже устойчиво мало. Ниже используется заведомо измельчённая сетка nx=6, ny=200 (1200 фибр), чтобы результат не зависел от разбиения даже в четвёртом значащем разряде. Тест сходимости — CScore.Tests/CrackWidthSolverExample47Tests.cs → Compute_ConvergesWithHeightSubdivision.

Расчёт

var section = TestSections.Example47(nx: 6, ny: 200);   // измельчённая сетка по высоте

// П. 6.1.26: диаграмма бетона — только непродолжительного действия, для ОБЕИХ частей момента.
var solver = new CrackWidthSolver(section,
    calcCrc: CalcType.N, calcService: CalcType.N, calcServiceLong: CalcType.N,
    phi2: 0.5, acrcUltLong: 0.3, acrcUltShort: 0.4);

var result = solver.Compute(N: 0.0, mxLong: -50.0, mxTotal: -60.0);

(знак момента — отрицательный: в конвенции OpenCS Mx>0 растягивает верхнюю грань, а арматура книги — у нижней, см. TestSections.RectWithBottomRebar).

Тест: CScore.Tests/CrackWidthSolverExample47Tests.cs → Compute_Example47_LongTermGoverns_MatchesBookWithinMethodTolerance.

Момент образования трещин и плоскость деформаций

CrackingSolver ищет момент, при котором максимальная растягивающая деформация крайнего волокна бетона достигает предельной по диаграмме (Et2=0,00015 — точка разрыва трёхлинейной ветви растяжения):

\[ M_{crc}=36{,}26\;\text{кН·м}\qquad(\text{книга: }33{,}22\;\text{кН·м},\;+9{,}1\,\%). \]

M=50 кН·м > Mcrc — трещины образуются. Разница с книгой ожидаема и не является ошибкой: пособие использует эмпирический табличный коэффициент Wpl/Wred=1,75 (приближение к нелинейной работе бетона у грани), а НДМ решает нелинейное равновесие для КОНКРЕТНОЙ трёхлинейной диаграммы (Ec0=-0,002, Ec1=-0,000275, Ec2=-0,0035, Et1=0,0000275, Et0=0,0001, Et2=0,00015) без какого-либо приближающего коэффициента вообще — 9% расхождения отражают разницу между эмпирической аппроксимацией и точным решением для выбранных параметров диаграммы, а не погрешность метода.

Плоскость деформаций от длительной нагрузки (Ньютон с аналитическим якобианом, сошёлся; диаграмма — кратковременная, п. 6.1.26):

\[ \varepsilon(y)=e_0+k_y\,y,\qquad e_0=5{,}345\times10^{-4},\quad k_y=-5{,}480\times10^{-3}\;\text{м}^{-1}. \]

Нейтральная ось (ε=0) — на 97,5 мм выше центра сечения, т.е. высота сжатой зоны от верхней (сжатой) грани xm=52,5 мм (у упрощённой проверки — 86,6 мм по линейной приведённой формуле; НДМ на реальной, более жёсткой у начала координат трёхлинейной диаграмме бетона даёт заметно более узкую сжатую зону).

Напряжение в арматуре, ψs

\[ \sigma_s=225{,}27\;\text{МПа}\qquad(\text{книга: }235{,}9\;\text{МПа},\;-4{,}5\,\%), \]

\[ \sigma_{s,crc}=163{,}32\;\text{МПа}\;\text{(в арматуре в момент трещинообразования)}, \]

\[ \psi_s=1-0{,}8\,\frac{\sigma_{s,crc}}{\sigma_s}=1-0{,}8\times\frac{163{,}32}{225{,}27}=0{,}420 \qquad(\text{книга: }0{,}468,\;-10{,}2\,\%). \]

Обратите внимание: ψs у НДМ практически не отличается от того, что дала бы (ошибочно) длительная диаграмма бетона (см. диагностику ниже) — потому что ψs зависит от ОТНОШЕНИЯ σs,crc/σs, а это отношение при упругой (доразрушающей) работе бетона близко к Mcrc/M и слабо чувствительно к абсолютной жёсткости диаграммы. А вот сама σs (и, соответственно, acrc) от выбора диаграммы зависит напрямую — именно поэтому ошибка в выборе диаграммы незаметна по ψs, но заметна по итоговой ширине трещины.

ls не отличается от упрощённой проверки и книги — оба метода упираются в абсолютный предел ls=400 мм (Abt=0,14835 м², h0=0,258 м, тот же порядок расчёта площади растянутого бетона).

Ширина раскрытия трещин — официальная трёхчленная сумма (п. 8.2.7)

В отличие от упрощённой проверки (один коэффициент φ1 для одного переданного момента), НДМ считает acrc1, acrc2 и acrc3 отдельно — все три на ОДНОЙ и той же кратковременной диаграмме бетона (различаются только рассматриваемый момент и φ1) — и складывает по официальной формуле:

\[ a_{crc,1}=0{,}1325\;\text{мм (от }M_l\text{, }\varphi_1=1{,}4\text{ — длительное действие)},\qquad a_{crc,2}=0{,}1408\;\text{мм (от }M\text{, }\varphi_1=1{,}0\text{ — кратковременное действие)}, \]

\[ a_{crc,3}=0{,}0946\;\text{мм (от ТОГО ЖЕ }M_l\text{, что и }a_{crc,1}\text{, но с }\varphi_1=1{,}0 \text{ — вычитается, чтобы не учитывать длительную часть момента дважды)}, \]

\[ a_{crc}^{long}=a_{crc,1}=0{,}132\;\text{мм},\qquad a_{crc}^{short}=a_{crc,1}+a_{crc,2}-a_{crc,3}=0{,}179\;\text{мм}. \]

Книга даёт только продолжительное значение 0,155 мм (после проверки условия (4.32) она явно исключает кратковременную проверку как заведомо не определяющую) — сравнение ниже идёт по acrc,long. Кратковременное значение acrc,short=0,179 мм — то, что упрощённая проверка в принципе не умеет считать (документированное ограничение — см. раздел «Диагностика» на странице упрощённой проверки); здесь оно доступно как часть штатного результата, без дополнительной постановки.

Через критическую точку (длительная плоскость деформаций) построены эпюры деформаций и напряжений тем же кодом, что использует приложение (SectionCutBuilder/ SectionCutSvgExporter) — не восстановленным приближением, а напрямую по плоскости, которую нашёл сам решатель:

Эпюра деформаций сечения примера 47 (НДМ) при продолжительном моменте Ml=50 кН·м

Эпюра напряжений сечения примера 47 (НДМ) при продолжительном моменте Ml=50 кН·м

Сжатая грань — сверху (A), растянутая — снизу (B); разрез проходит через реальный стержень ⌀14 (координата x=90 мм — один из шести, шаг 180 мм). Крайнее сжатое волокно бетона ε=-0,00029, σ=-6,63 МПа (короткая ветвь между Ec1=-0,000275 и Ec0=-0,002, 0,6Rb,ser…Rb,ser) — заметно ниже Rb,ser=11 МПа. Растянутая арматура ε=+0,00113, σ=+225,27 МПа — то же значение, что и в формуле выше, без поправок (арматура здесь считается по собственной, не разностной диаграмме).

Результат

Три метода на одном и том же исходном сечении и одной и той же долгосрочной нагрузке (M=Ml=50 кН·м):

Показатель	Пособие	OpenCS упрощённая (`sp63_crack_width`)	OpenCS НДМ (`crack_width`)
`Mcrc`, кН·м	`33,22`	`25,91` (`-22,0 %`)	`36,26` (`+9,1 %`)
Трещины образуются?	Да	Да	Да
`σs`, МПа	`235,9`	`236,4` (`+0,2 %`)	`225,3` (`-4,5 %`)
`ψs`	`0,468`	`0,585` (`+25,0 %`)	`0,420` (`-10,2 %`)
`ls`, мм	`400`	`400`	`400`
`acrc` (продолжительное), мм	`0,155`	`0,194` (`+25,2 %`)	`0,132` (`-14,5 %`)
`acrc` (кратковременное), мм	не считалось (не определяющий случай)	не считается (ограничение метода)	`0,179`
Допустимо (`≤0,3 мм`)?	Да	Да	Да

По Mcrc НДМ ближе к книге (+9,1 % против -22,0 % у упрощённой проверки) — ожидаемо: НДМ решает нелинейное равновесие напрямую по заданной диаграмме, тогда как упрощённая проверка ограничена блокированным коэффициентом Wpl=1,3Wred. Но по итоговой acrc знак отклонения у НДМ и упрощённой проверки РАЗНЫЙ: упрощённая идёт выше книги (+25,2 %, в запас надёжности), а НДМ — ниже (-14,5 %, не в запас). Оба отклонения нормативно объяснимы (три независимых, но допустимых метода: табличный коэффициент книги, блокированный коэффициент упрощённой проверки, точное решение НДМ для конкретной диаграммы) — важно не путать это с ошибкой: расхождение на порядок (не на 10-25%, а в разы) было бы поводом искать реальный дефект.

Критерий прохождения

CrcConverged=true, Cracked=true при M=50 кН·м (совпадает со всеми методами);
сходимость по сетке: acrc при ny=12 отличается от ny=400 не более чем на 1,3 %, при ny=200 — не более чем на 0,01 % (см. таблицу выше);
Mcrc ∈ [33,22×0,85; 33,22×1,15]=[28,2; 38,2] кН·м;
σs ∈ [235,9×0,9; 235,9×1,1]=[212,3; 259,5] МПа;
ls=400 мм точно;
acrc(long) ∈ [0,155×0,70; 0,155×1,0]=[0,109; 0,155] мм (верхняя граница не отпускается выше книги — НДМ здесь идёт устойчиво ниже, а не выше);
acrc(short) = acrc1+acrc2-acrc3 (официальная сумма п. 8.2.7, точно, до 6 знаков);
acrc ≤ acrc,lim в обоих временных срезах.

Диагностика

диаграмма бетона в расчёте раскрытия трещин по НДМ — только кратковременная (п. 6.1.26 СП63.13330): calcCrc, calcService И calcServiceLong должны указывать на C/N. Длительная (CL/NL, пониженный Eb, увеличенные предельные деформации от ползучести) диаграмма в самом расчёте раскрытия трещин не участвует вовсе — параметр CrackWidthSolver.calcServiceLong (и опция задачи LongPartUseNL) существует для другого, необязательного варианта трактовки норм и НЕ должен включаться по умолчанию. Если включить calcServiceLong=NL (как было ошибочно сделано в одной из промежуточных версий этой страницы), σs завышается (более мягкая диаграмма → больше кривизна при том же моменте), а ψs при этом почти не меняется (см. врезку выше) — из-за чего ошибка легко остаётся незамеченной, если сверять только ψs, а не σs/acrc напрямую;
расхождение Mcrc/acrc с книгой на ~10-25 % в любую сторону — ожидаемая методическая особенность (три самостоятельных нормативных метода), а не брак; расхождение на порядок — уже повод искать реальную ошибку (знак момента, не тот CalcType, не построена сетка волокон);
отрицательный mxLong/mxTotal — не опечатка: арматура книги снизу, а конвенция OpenCS Mx>0 растягивает верхнюю грань (см. TestSections.RectWithBottomRebar);
если PlaneLong не сошёлся (Compute тихо возвращает Cracked=false при M>Mcrc) — почти всегда означает физически неразрешимую постановку (растянута грань без арматуры), а не дефект метода Ньютона;
сетка SliceXY(nx, ny) обязана быть построена ДО вызова ResolveAndBuildDiagramms/ CrackWidthSolver — без неё бетон учитывается только контурным интегралом (путь без сетки), который EvalWithTangent не видит вовсе (см. Compute_MeshlessConcreteArea_... в CrackWidthSolverTests.cs).

Связанные страницы: упрощённая проверка того же примера, трещины и кривизна, нормативная база — раскрытие трещин, раздел тестов.