Трещиностойкость плиты по Wood & Armer — пример 48

ID: TEST-PLATE-CRACK-WIDTH-EXAMPLE-48
Статус: контрольный численный тест — подтверждено
Вердикт: раскрытие трещин образуется в обоих методах, требования [1] выполнены в обоих
         методах; напряжение в арматуре ShellSimplSolver (ф. 8.134) отличается от пособия
         (φcrc, табл. 4.2) на 5%, итоговая ширина раскрытия — на 15% в меньшую сторону;
         методы принципиально разные (см. ниже)
Источник эталона: Пособие по проектированию бетонных и железобетонных конструкций
                  из тяжелого бетона без предварительного напряжения арматуры
                  (к СП 63.13330.2018), раздел 4, пример расчёта 48

ShellSimplSolver.ComputeStripSls — solver упрощённых методов Wood & Armer и Капра-Мори для плит (shell_simpl_wa_sls, shell_simpl_capri_sls): усилия плиты сводятся к полосе шириной 1 м в каждом направлении, и каждая полоса считается по формулам раскрытия трещин раздела 8.2 СП63 как обычное прямоугольное сечение. Пример 48 — не плита, а колонна, но именно поэтому подходит для сверки: пособие даёт готовый эталонный расчёт трещиностойкости прямоугольного сечения от совместного действия момента и продольной силы, а «полоса плиты шириной 1 м» — это то же самое прямоугольное сечение, только на единицу ширины.

Условие задачи

Железобетонная колонна промышленного здания: h=500 мм, b=400 мм, a=a'=50 мм. Бетон класса B15 (Eb=24000 МПа, Rb,ser=11 МПа, Rbt,ser=1,1 МПа). Симметричная арматура класса A400 As=A's=1232 мм² (2⌀28 у каждой грани). Усилия: от постоянных и длительных нагрузок Nl=500 кН, Ml=150 кН·м; от кратковременной (ветровой) нагрузки Nsh=0, Msh=90 кН·м.

Величина	Значение
Геометрия	b=0,400 м; h=0,500 м; h0=0,450 м; a=a'=0,050 м
Бетон B15	Rbt,ser=1,1 МПа; Rb,ser=11 МПа; Eb=24 000 МПа
Арматура A400	Rs,ser=400 МПа; Es=200 000 МПа
Армирование	As=A's=12,32 см² (2⌀28 у каждой грани)
Усилия, все нагрузки	M=240 кН·м; N=500 кН (сжатие)
Усилия, длительные	Ml=150 кН·м; Nl=500 кН (сжатие)

ComputeStripSls работает с усилиями и площадью арматуры НА МЕТР ширины (внутри всегда b=1), поэтому M, N и As делятся на фактическую ширину колонны b=0,4 м перед вызовом — результат (напряжение, ширина трещины) от этого не меняется, это интенсивные величины:

\[ M'=\frac{M}{b}=\frac{240}{0{,}4}=600\;\text{кН·м/м},\qquad N'=\frac{N}{b}=\frac{500}{0{,}4}=1250\;\text{кН/м},\qquad A_s'=\frac{A_s}{b}=\frac{12{,}32}{0{,}4}=30{,}8\;\text{см²/м}. \]

Важно: два разных допускаемых метода СП63

Пособие решает пример методом коэффициента φcrc из таблицы 4.2 (функция от e/h0 и μ·αs1):

\[ \sigma_s=\varphi_{crc}\,\frac{N\,e}{A_s\,h_0}. \]

ShellSimplSolver реализует другую, тоже допускаемую СП63 методику — прямую формулу (8.134) через приведённое сечение С ТРЕЩИНОЙ:

\[ \sigma_s=\alpha_{s1}\left[\frac{M_c\,(h_0-y_c)}{I_{red}}+\frac{N}{A_{red}}\right], \qquad \alpha_{s1}=\frac{E_s}{E_{b,red}}=\frac{300}{R_{b,ser}}. \]

По п. 8.2.16 Ared, yc и Ired определяются «по общим правилам расчёта геометрических характеристик сечений упругих элементов с учётом площади сечения только сжатой зоны бетона»: yc — расстояние от наиболее сжатого волокна до центра тяжести приведённого сечения с трещиной (сжатая зона бетона xm и арматура с αs1), Ired — момент инерции относительно этого центра тяжести. В отличие от ф. (8.129) для изгиба, yc здесь не равно высоте сжатой зоны. Внешний момент задан относительно середины высоты сечения, поэтому по тем же общим правилам он переносится к центру тяжести сечения с трещиной: Mc = M + N·(h/2 − yc) (N со знаком: растяжение положительно).

Высота сжатой зоны xm — по п. 8.2.28: изгибная составляющая xM по ф. (8.151) от M и N не зависит, а продольная сила учитывается поправкой (8.154):

\[ \frac{x_M^2}{2}=\alpha_{s1}\!\left[A_s(h_0-x_M)-A_s'(x_M-a')\right], \qquad x_m=x_M\pm\frac{I_{red}\,N}{A_{red}\,M}, \]

где во второй формуле Ired, Ared — характеристики полного сечения (без трещин), знак «+» — при сжимающей N.

Обе методики нормативно допустимы, но независимы друг от друга, поэтому точного совпадения чисел ожидать нельзя — сравнение ниже идёт по порядку величины для промежуточных шагов и по практической близости для итоговой ширины раскрытия трещин.

Момент образования трещин тоже посчитан по-разному. Пособие использует уточнённый (по армированию) коэффициент из своей таблицы 4.1, Wpl/Wred=1,75; ShellSimplSolver — общий блокированный коэффициент, который сама норма (п. 8.2.9, ф. 8.122) прямо разрешает для прямоугольных сечений как более простую, но и заведомо более консервативную (заниженную) альтернативу таблице:

\[ W_{pl}=1{,}3\,W_{red} \qquad\text{(вместо }1{,}75\,W_{red}\text{ у пособия)}. \]

Поэтому Mcrc в OpenCS ниже, чем в пособии, — это ожидаемое следствие выбора более простого коэффициента, а не расхождение методов.

Расчёт

var concrete = new MaterialChars { E = 24_000_000.0, Fc = -11_000.0, Ft = 1_100.0 };
var rebar    = new MaterialChars { E = 200_000_000.0, Fc = -400_000.0, Ft = 400_000.0 };

const double h = 0.5, h0 = 0.45, aPrime = 0.05, b = 0.4;
const double asT = 1232e-6 / b;         // м²/м
const double m = 240.0 / b;             // кН·м/м, все нагрузки
const double n = -500.0 / b;            // кН/м, сжатие — отрицательно по конвенции OpenCS

var r = ShellSimplSolver.ComputeStripSls(
    M_des: m, N_des: n, h, h0, aPrime, As_t: asT, As_c: asT, ds: 0.028,
    concrete, rebar, phi1: 1.0, phi2: 0.5, acrcLimMm: 0.4);

Тест: CScore.Tests/ShellSimplSolverTests.cs → ComputeStripSls_EccentricCompression_ReferenceExample48_SameOrderOfMagnitude.

Приведённое сечение с трещиной и напряжение в арматуре

Все величины — на полосу b = 1 м, в метрах; N — со знаком проекта (сжатие отрицательно). Модульное отношение и изгибная составляющая высоты сжатой зоны:

\[ \alpha_{s1}=\frac{300}{R_{b,ser}}=\frac{300}{11}=27{,}27, \qquad x_M=167{,}0\;\text{мм}. \]

Поправка (8.154) на сжимающую силу (полное сечение: Ared = 0,668 м, Ired = 0,01714 м³, Ired/Ared = 0,02565 м²):

\[ x_m=0{,}1670+0{,}02565\cdot\frac{1250}{600}=0{,}1670+0{,}0534=0{,}2204\;\text{м}\;(0{,}490\,h_0). \]

Приведённое сечение с трещиной — площадь, центр тяжести и момент инерции относительно него:

\[ A_{red}=x_m+\alpha_{s1}\left(A_s+A_s'\right)=0{,}2204+27{,}27\times(2\times0{,}00308)=0{,}3884\;\text{м}, \]

\[ y_c=\frac{x_m^2/2+\alpha_{s1}\left(A_s h_0+A_s' a'\right)}{A_{red}}=0{,}1707\;\text{м}, \]

\[ I_{red}=\frac{x_m^3}{12}+x_m\left(y_c-\frac{x_m}{2}\right)^2+\alpha_{s1}A_s(h_0-y_c)^2+\alpha_{s1}A_s'(y_c-a')^2 =0{,}009475\;\text{м}^3. \]

Момент относительно центра тяжести сечения с трещиной и напряжение в растянутой арматуре (M' = 600 кН·м/м, N' = −1250 кН/м, h0 − yc = 0,2793 м):

\[ M_c=M'+N'\left(\frac{h}{2}-y_c\right)=600-1250\times(0{,}25-0{,}1707)=500{,}8\;\text{кН·м/м}, \]

\[ \sigma_s=\alpha_{s1}\left[\frac{M_c(h_0-y_c)}{I_{red}}+\frac{N'}{A_{red}}\right] =27{,}27\left[\frac{500{,}8\times0{,}2793}{0{,}009475}+\frac{-1250}{0{,}3884}\right] =27{,}27\times(14\,764-3\,218)=314{,}9\;\text{МПа}. \]

Для контроля: точный расчёт упругого сечения с трещиной (бетон не работает на растяжение, нейтральная ось подбирается по эксцентриситету M/N) даёт σs = 315,2 МПа. Отличие 0,1 % — следствие приближённой поправки (8.154) для xm.

Через критическую точку (полное загружение, M=240 кН·м, N=500 кН) построены эпюры деформаций и напряжений — тем же кодом, что использует приложение (SectionCutBuilder/SectionCutSvgExporter), по плоскости деформаций, восстановленной из xm и σs (линейная плоскость: ε=0 на глубине xm, ε=σs/Es у растянутой арматуры; бетон — двухлинейная диаграмма с εb1,red = 0,0015, на растяжение не работает):

Растянутая грань — снизу (B), сжатая — сверху (A). Арматура каждой грани показана одним эквивалентным точечным маркером (объединённая площадь 2⌀28), как её видит ComputeStripSls — без разбивки по ширине. Крайнее сжатое волокно бетона ε=-0,00151, σ=-11,0 МПа: деформация лишь немного превышает εb1,red = 0,0015, то есть сжатая грань находится на границе линейного участка приведённой диаграммы (Rb,ser = 11 МПа) и далеко от предельной деформации 0,0035. Растянутая арматура снизу ε=+0,00157, σ=+314,9 МПа — то самое значение, что и в формуле выше. Сжатая арматура сверху ε=-0,00117, σ=-233,8 МПа.

Результат

Показатель	Пособие (φcrc, табл. 4.2)	OpenCS (ComputeStripSls, ф. 8.134)
Mcrc	83,65 кН·м (коэфф. 1,75 по табл. 4.1)	73,77 кН·м (коэфф. 1,3 по ф. 8.122)
Трещины образуются? (M=240 > Mcrc)	Да	Да
σs, все нагрузки	331,2 МПа	314,9 МПа
σs,crc (п. 8.2.18)	— (метод не выделяет)	8,8 МПа
ψs	0,94	0,978
ls	400 мм (ограничение 40ds)	400 мм (то же ограничение)
acrc (непродолжительное)	0,36 мм	0,308 мм
Допустимо (≤0,4 мм)?	Да	Да

Напряжение σs у OpenCS на 4,9 % ниже книжного, ψs — на 4 % выше, итоговая ширина раскрытия — на 14,5 % ниже (0,308 против 0,36 мм). Расхождение такого порядка ожидаемо для двух самостоятельных, но обе нормативно обоснованных методик.

ψs замыкается по общему определению п. 8.2.18 (1 − 0,8·σs,crc/σs), где σs,crc — то же напряжение по п. 8.2.16 с подстановкой M = Mcrc = 73,77 кН·м. При таком моменте большая сжимающая сила почти целиком закрывает сечение, поэтому σs,crc мало (8,8 МПа), и ψs близко к единице.

ShellSimplSolver считает непродолжительное раскрытие трещин через один коэффициент φ1 (здесь φ1=1,0), а не через официальную сумму acrc1+acrc2−acrc3 п. 8.2.7 — это документированное упрощение полосового метода Wood & Armer/Капра-Мори; полная трёхчленная сумма реализована отдельно для слоистой модели shell_layered_sls (см. расчёты по плитам и оболочкам).

Критерий прохождения

• ComputeStripSls.Cracked=true при M=240 кН·м (совпадает с пособием — трещины образуются в обоих методах);
• σs ∈ [331,2×0,75; 331,2×1,25]=[248; 414] МПа (допуск ±25% между двумя независимыми нормативными методиками для σs);
• σs ≤ Rs,ser=400 МПа (арматура не течёт);
• σs = 314,9 МПа (книга 331,2 МПа), acrc = 0,3078 мм (значение закреплено в тесте; книга даёт 0,36 мм);
• acrc ≤ acrc,ult=0,4 мм в обоих методах.

Диагностика

• при сравнении σs между табличным методом (φcrc, табл. 4.2 пособия) и формулой (8.134) не ищите точного совпадения — это независимые допускаемые упрощения одной и той же нормы, расхождение в 5-15% при заметном N ожидаемо и не является браком;
• при сверке σs по ф. (8.134) с ручным расчётом проверьте, что yc взято как центр тяжести приведённого сечения с трещиной (а не как xm), Ired — относительно него, и момент перенесён к этому центру тяжести; при N = 0 обе записи совпадают, при заметной N — нет;
• если Mcrc в OpenCS заметно НИЖЕ, чем в стороннем расчёте по табличному коэффициенту — проверьте, не использует ли сторонний расчёт коэффициент Wpl/Wred из таблицы (обычно >1,3, вплоть до 1,75) вместо блокированного 1,3 по ф. 8.122 — заниженный (но нормативно допустимый) Mcrc в OpenCS означает более раннее срабатывание проверки по трещинам, а не ошибку;
• расхождение на порядок (не в разы, а в 5-10 раз) в σs или acrc — повод искать реальную ошибку (единицы, знак N, перепутанные As_t/As_c), а не списывать на разницу методов.

Связанные страницы: плиты и оболочки, нормативная база — образование трещин, внецентренное сжатие прямоугольного сечения, раздел тестов.