Примеры IV.Г.2.1 и IV.Г.2.2 — круглое сечение: пособие Краковского, НДМ OpenCS и приложение Д

Идентификатор проверки: TEST-KRAKOVSKY-CIRCLE-IVG2.

Сравнительный тест внецентренно сжатого элемента круглого сечения из примеров IV.Г.2.1 и IV.Г.2.2 пособия Краковского к СП 63.13330.2012. В пособии сечение рассчитано по деформационной модели. Здесь тот же расчёт выполнен двумя путями OpenCS:

1. деформационной моделью (LimitForceSolver, поиск предельного множителя к моменту с учётом η);
2. формулами приложения Д СП 63.13330.2018 (Sp63CircularFormulas, пп. Д.2, (Д.6)–(Д.9)) — тот же аппарат, что и в задаче sp63_normal для формы «Круглое сплошное».

Автоматизированная проверка — CScore.Tests/Sp63Normal/Sp63CircularKrakovskyComparisonTests.cs.

Что проверяется

• вердикт прочности по НДМ для 6Ø25 (прочность обеспечена) и 6Ø22 (не обеспечена) при двух ориентациях стержней;
• кривизна и максимальные деформации сечения 6Ø25 при расчётном моменте в сопоставлении с числами пособия;
• вердикт по формулам приложения Д для тех же армирований;
• формальная неприменимость задачи sp63_normal к сечению с шестью стержнями.

Исходные данные

Рисунок 1 — сечение D = 400 мм с шестью стержнями на окружности Ø330 мм в двух крайних ориентациях.

Параметр	Пособие/эталон	OpenCS
Диаметр сечения D	400 мм	64-угольник, вписанный в окружность D = 400 мм
Бетон	B25, γb1 = 1,0	B25
R_b	14,5 МПа	14 500 кН/м²
E_b	30 000 МПа	30 000 000 кН/м²
Диаграмма бетона	двухлинейная	L2
Арматура	A400	A400
R_s = R_sc	350 МПа	350 000 кН/м²
E_s	200 000 МПа	200 000 000 кН/м²
Окружность стержней	Ø330 мм	r_s = 0,165 м
Армирование IV.Г.2.1	6Ø25, 29,45 см²	6Ø25
Армирование IV.Г.2.2	6Ø22, 22,81 см²	6Ø22
N (полная)	600 кН, сжатие	N = −600 кН
M (полный)	140 кН·м	M_x = 140 кН·м
N_l, M_l (длительные)	400 кН, 100 кН·м	через ψ, см. ниже
Расчётная длина l_0	4 м	4 м
Схема	статически неопределимая, усилия по недеформированной схеме	то же

R_s = 350 МПа принято по редакции СП 63.13330.2012, по которой составлено пособие.

Принятые допущения

Ориентация стержней. В пособии задана только окружность расположения стержней. При шести стержнях результат зависит от поворота раскладки относительно плоскости изгиба, поэтому НДМ OpenCS считается в двух крайних положениях: 0° — пара стержней на оси x, 30° — пара стержней на оси y (в плоскости изгиба). Формулы приложения Д от ориентации не зависят.

Учёт прогиба. По п. 8.1.2 влияние прогиба учитывается при l_0/i > 14. Для круга i = D/4 = 0,1 м, l_0/i = 40, поэтому коэффициент η по п. 8.1.15 обязателен. Порог гибкости остаётся значением по умолчанию — 14 в единицах l_0/i; пересчитывать его в доли диаметра не требуется.

Длительная часть нагрузки. Коэффициент φ_l = 1 + ψ по п. 8.1.15 определяется отношением моментов относительно крайнего стержня:

\[ \psi=\frac{M_l+N_l\,r_s}{M+N\,r_s}=\frac{100+400\cdot0{,}165}{140+600\cdot0{,}165}=0{,}6946. \]

Приложение Д и шесть стержней. Пп. Д.1 и Д.2 применимы при числе стержней не менее семи. Задача sp63_normal для этого сечения возвращает NotApplicable с кодом circular_insufficient_bars. Для сопоставления формулы (Д.6)–(Д.9) вызываются напрямую с теми же исходными данными; результат этой части следует рассматривать как оценку за пределами формальной области применения.

Проверка 1. Вердикт прочности по НДМ

LimitForceSolver.MomentFactor(N = −600, M_x = 140, M_y = 0) с включённым η находит множитель k к моменту при фиксированной продольной силе; Кисп = 1/k.

Показатель	Пособие/эталон	OpenCS, 0°	OpenCS, 30°
6Ø25: η	не приведён	1,118	1,119
6Ø25: множитель k	—	1,055	1,095
6Ø25: Кисп	—	0,948	0,913
6Ø25: вердикт	требования выполнены	прочность обеспечена	прочность обеспечена
6Ø22: η	не приведён	1,132	1,133
6Ø22: множитель k	—	0,904	0,936
6Ø22: Кисп	—	1,107	1,068
6Ø22: вердикт	требования не выполнены	не обеспечена	не обеспечена

Вердикт совпадает с пособием для обоих армирований и обеих ориентаций.

Предельное состояние 6Ø25 (ориентация 0°): ε_0 = 0,000120, κ = 0,01808 1/м, крайняя сжатая фибра бетона ε = −0,0035.

Рисунок 2 — деформации ε в разрезе через стержни x = 82,5 мм, предельное состояние 6Ø25, ориентация 0°.

Рисунок 3 — напряжения σ в том же разрезе.

Проверка 2. Кривизна и деформации при расчётном моменте

Пособие для 6Ø25 приводит решение уравнений равновесия при расчётных усилиях. В OpenCS расчётный момент построен так же, как для приложения Д: M = η·N·e_0 = 156,21 кН·м (e_0 = 233,3 мм, η = 1,1158 по п. 8.1.15), после чего StrainSolver ищет плоскость деформаций при N = −600 кН. Значение η в пособии не приведено, поэтому расчётный момент может несколько отличаться.

Величина	Пособие/эталон	OpenCS, 0°	OpenCS, 30°
Кривизна κ, 1/м	0,01249	0,01177	0,01332
Отклонение κ от пособия	—	−5,7 %	+6,7 %
Максимальная деформация бетона	0,0024	0,00241	0,00269
Максимальная деформация арматуры	0,0023	0,00162	0,00217
Предельные деформации бетона / арматуры	0,0035 / 0,025	0,0035 / 0,025	0,0035 / 0,025

Кривизна пособия лежит между значениями двух ориентаций. Деформация арматуры при ориентации 0° меньше, так как ближайший к растянутой грани стержень находится на расстоянии 142,9 мм от центра, а не 165 мм. Относительная деформация ε_0 не сопоставляется: точка отсчёта и знаковая конвенция пособия отличаются от OpenCS.

Рисунок 4 — деформации ε при N = −600 кН, M_x = 156,21 кН·м, ориентация 0°.

Рисунок 5 — напряжения σ в том же разрезе.

Проверка 3. Формулы приложения Д

Трассировка для 6Ø25

Площадь бетона и арматуры:

\[ A=\frac{\pi D^2}{4}=0{,}125664\ м^2, \qquad A_{s,tot}=6\cdot\frac{\pi\cdot0{,}025^2}{4}=0{,}0029452\ м^2. \]

Случайный эксцентриситет и начальный эксцентриситет (п. 8.1.7, статически неопределимая схема):

\[ e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{D}{30};\ 10\ мм\right)=13{,}3\ мм, \qquad e_0=\max\left(\frac{M}{N};\ e_a\right)=233{,}3\ мм. \]

Условие (Д.7):

\[ 0{,}77R_bA+0{,}645R_sA_{s,tot}=0{,}77\cdot1822{,}1+0{,}645\cdot1030{,}8=2067{,}9\ кН\ \ge\ N=600\ кН, \]

поэтому ξ_cir определяется из уравнения (Д.8):

\[ \xi_{cir}=\frac{N+R_sA_{s,tot}+R_bA\dfrac{\sin 2\pi\xi_{cir}}{2\pi}}{R_bA+2{,}55R_sA_{s,tot}} \ \Rightarrow\ \xi_{cir}=0{,}4035, \]

\[ \varphi=1{,}6(1-1{,}55\xi_{cir})\xi_{cir}=0{,}2418. \]

Предельный момент по (Д.6):

\[ M_{ult}=\frac{2}{3}R_bAr\frac{\sin^3\pi\xi_{cir}}{\pi} +R_sA_{s,tot}\left(\frac{\sin\pi\xi_{cir}}{\pi}+\varphi\right)r_s =160{,}04\ кН\cdotм. \]

Расчётный момент с учётом прогиба: η = 1,1158 (N_cr = 5783,4 кН, D = 9375,6 кН·м² по п. 8.1.15), M = η·N·e_0 = 156,21 кН·м ≤ M_ult.

Сопоставление

Показатель	6Ø25	6Ø22
A_{s,tot}, см²	29,45	22,81
Правая часть (Д.7), кН	2067,9	1917,9
Уравнение для ξ_cir	(Д.8)	(Д.8)
ξ_cir	0,4035	0,4048
φ	0,2418	0,2413
η	1,1158	1,1363
M = η·N·e_0, кН·м	156,21	159,08
M_ult по (Д.6), кН·м	160,04	139,33
Кисп = M/M_ult	0,976	1,142
Вердикт по приложению Д	прочность обеспечена	не обеспечена
Вердикт пособия (НДМ)	требования выполнены	не выполнены

Все моменты в таблице — относительно центра сечения; для осесимметричного сечения это одна точка отсчёта и для НДМ, и для приложения Д.

Итог сравнения

Армирование	Пособие (НДМ)	НДМ OpenCS, Кисп 0° / 30°	Приложение Д, Кисп
6Ø25	прочность обеспечена	0,948 / 0,913	0,976
6Ø22	не обеспечена	1,107 / 1,068	1,142

Все три расчёта дают одинаковый вердикт. Формулы приложения Д для этого сечения несколько консервативнее деформационной модели OpenCS: Кисп выше на 3–7 % для обоих армирований.

Как воспроизвести в OpenCS

1. Создать круглый контур D = 400 мм (шаблон «Круг», не менее 32 сегментов) и назначить бетон B25 с двухлинейной диаграммой.
2. Добавить шесть стержней Ø25 на окружности Ø330 мм, арматура A400 (R_s = 350 МПа).
3. НДМ: задача предельных усилий limit_moment с N = −600 кН, M_x = 140 кН·м, включённой поправкой η: длина 4 м, μ = 1, ψ = 0,6946, порог гибкости — по умолчанию. Ожидаемый множитель — около 1,05–1,10 в зависимости от ориентации стержней.
4. Повторить для 6Ø22: множитель — около 0,90–0,94.
5. Приложение Д: задача sp63_normal, форма «Круглое сплошное». Для сечения с шестью стержнями ожидается NotApplicable с сообщением о минимуме семи стержней — это корректное поведение.

Критерий прохождения

• вердикт НДМ совпадает с пособием для 6Ø25 и 6Ø22 при обеих ориентациях;
• кривизна 6Ø25 при расчётном моменте отличается от 0,01249 1/м не более чем на ±10 %;
• вердикт формул (Д.6)–(Д.9) совпадает с пособием; выполняется условие (Д.7);
• задача sp63_normal возвращает NotApplicable с кодом circular_insufficient_bars.

При расхождении проверить знак N (сжатие отрицательно), включение η (порог гибкости — по умолчанию), ψ, значение R_s = 350 МПа и диаметр окружности стержней.