Слоистая модель: сверка с многослойным методом (Craveiro et al., 2021)
ID: TEST-PLATE-LAYERED-CRAVEIRO-1
Статус: сверка выполнена
Эталон: M. V. Craveiro, T. N. Bittencourt, J. C. Della Bella. Design and verification of
reinforced concrete shell elements. Rev. IBRACON Estrut. Mater., 2021, vol. 14, no. 3,
e14305, раздел 3 (многослойный метод Kollegger), элемент 1, табл. 1, 13–16.
https://doi.org/10.1590/S1983-41952021000300005
Сравниваются: OpenCS — слоистая модель (PlateSection "layered", ShellStrainSolver)
с диаграммой бетона статьи и со штатными диаграммами L2, L3, ЕКБ
Результат: с диаграммой статьи НДС совпадает в пределах 0,3 %, внутренние усилия — в пределах
0,2 %, послойные θ, ε1, ε2, σ2 — в пределах точности таблиц статьи;
со штатными диаграммами L2, L3, ЕКБ силы в арматуре отличаются от статьи
не более чем на 2 %, в бетоне — не более чем на 6 %, деформации — в разы
(см. проверку 5)
Тест: CScore.Tests/ShellLayeredCraveiroTests.cs
В разделе 3 статьи описан многослойный метод проверки элемента оболочки. Элемент делится
по толщине на слои бетона. Деформации распределены линейно, в каждом слое находятся главные
деформации и угол главных осей. Прочность сжатого бетона снижается поперечным растяжением
(модель Vecchio–Collins). Главные напряжения поворачиваются в оси x, y и интегрируются по
толщине. Деформации срединной плоскости и кривизны, уравновешивающие заданные усилия,
находятся методом Ньютона. Слоистая модель OpenCS устроена так же (см.
описание метода). Поэтому таблицы статьи позволяют сверить не
только итоговое НДС, но и промежуточные величины по каждому слою.
Постановка
| Величина | Значение |
|---|---|
| Толщина | h = 1,50 м, 10 слоёв бетона по 0,15 м |
| Бетон | fck = 20 МПа, γc = 1,4, fcd = 14,29 МПа |
| Диаграмма бетона статьи | парабола-прямоугольник NBR 6118: σ = 0,85·β·fcd·[1 − (1 − ε/εc2)²] при |ε| ≤ εc2 = 2‰, далее 0,85·β·fcd до εcu = 3,5‰; растяжение не учитывается |
| Арматура | fyk = 500 МПа, γs = 1,15, fyd = 434,8 МПа, Es = 210 000 МПа, диаграмма Прандтля |
| Арматура x | Asx = 14,00 см²/м на z = +0,550 м; Asx = 39,70 см²/м на z = −0,477 м |
| Арматура y | Asy = 12,70 см²/м на z = −0,477 м (у верхней грани нет) |
| Снижение прочности бетона | Vecchio–Collins, εc2 = 2‰, см. ниже |
z отсчитывается от срединной плоскости вверх, как в OpenCS. Формулы статьи (42)–(46),
(57)–(59) используют ту же ось и то же правило знаков моментов: Mx = Σσx·hi·zi
(положительный момент растягивает грань z > 0). Пересчёт знаков не нужен.
Единицы
Усилия в статье даны в тоннах-силы. Пик диаграммы бетона в табл. 14 равен
857,14 тс/м². Это 0,85·β·fcd при β = 0,6/0,85 и fcd = 20/1,4 = 14,286 МПа, если
1 МПа = 100 тс/м². Значит, в статье 1 тс = 10 кН, и все величины ниже пересчитаны по этому
соотношению.
Усилия
Nx, кН/м |
Ny, кН/м |
Nxy, кН/м |
Mx, кН·м/м |
My, кН·м/м |
Mxy, кН·м/м |
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| Элемент 1, табл. 1 | 2024,6 |
−93,1 |
272,6 |
−287,9 |
−362,8 |
−166,6 |
Снижение прочности сжатого бетона
Ур. (50) статьи:
ε1 — главная растягивающая деформация того же слоя. Нижняя граница — отношение прочностей
растрескавшегося и нерастрескавшегося бетона fcd2/fcd1 по Model Code 1990. В OpenCS
применяется та же формула (см. описание метода).
В этом примере ε1 > 3,6‰ во всех слоях, поэтому β = 0,706 по всей толщине.
Решение в OpenCS
Сверка выполнена тестом CScore.Tests/ShellLayeredCraveiroTests.cs
(dotnet test CScore.Tests --filter ShellLayeredCraveiro):
- Плитное сечение:
h = 1,5 м,NLayers = 10, модельlayered, растянутый бетон не учитывается, снижение прочности Vecchio–Collins,εc2 = 0,002, два арматурных слоя по постановке. - Проверки 1–4: диаграмма бетона статьи задана в тесте отдельным классом (парабола-прямоугольник
с вершиной
0,85·fcd), арматура — диаграмма Прандтля. - Проверка 5: штатные диаграммы OpenCS
L2,L3,ЕКБ, построенные по характеристикам бетонаRb = 0,85·fcd = 12,14 МПа,Eb = 5600·√fck = 25 043 МПа(NBR 6118),εb0 = 2‰,εb2 = 3,5‰; арматура —L2сRs = Rsc = 434,8 МПа,Es = 210 000 МПа.
В интерфейсе те же расчёты со штатными диаграммами выполняются задачей
shell_strain_state (НДС оболочки) для плитного сечения с этими материалами. Диаграммы
«парабола-прямоугольник» в списке диаграмм плитного сечения нет — она используется только
в тесте как эталонная.
Проверка 1. Усилия по НДС статьи
В модель OpenCS подставлено НДС равновесия из табл. 16. Внутренние усилия должны совпасть с заданными нагрузками.
| Величина | Статья (нагрузки) | OpenCS по НДС статьи |
|---|---|---|
Nx, кН/м |
2024,6 |
2024,7 |
Ny, кН/м |
−93,1 |
−92,9 |
Nxy, кН/м |
272,6 |
272,5 |
Mx, кН·м/м |
−287,9 |
−287,9 |
My, кН·м/м |
−362,8 |
−362,8 |
Mxy, кН·м/м |
−166,6 |
−166,6 |
НДС в таблице статьи дано с пятью значащими цифрами. Отклонения не превышают 0,2 кН/м
при усилиях порядка 2000 кН/м.
Проверка 2. НДС по нагрузкам
Решатель OpenCS запущен по нагрузкам статьи из упругого начального приближения. Сходимость — за 6 итераций.
| Величина | Статья, табл. 16 | OpenCS | Отклонение |
|---|---|---|---|
ε0x, ‰ |
3,1494 |
3,1466 |
−0,09 % |
ε0y, ‰ |
1,0386 |
1,0385 |
−0,01 % |
γ0xy, ‰ |
2,4179 |
2,4163 |
−0,07 % |
κx, ‰/м |
2,2759 |
2,2704 |
−0,24 % |
κy, ‰/м |
−1,9826 |
−1,9832 |
+0,03 % |
κxy, ‰/м |
−3,3593 |
−3,3637 |
+0,13 % |
Проверка 3. Величины по слоям
Главные деформации, угол главных осей и главное сжимающее напряжение в середине каждого слоя
для НДС, найденного OpenCS. θ — угол направления ε1 к оси x.
| Слой | z, м |
θ, ° статья |
θ, ° OpenCS |
ε1, ‰ статья |
ε1, ‰ OpenCS |
ε2, ‰ статья |
ε2, ‰ OpenCS |
σ2, МПа статья |
σ2, МПа OpenCS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,675 |
0,86 |
0,84 |
4,687 |
4,680 |
−0,301 |
−0,301 |
−2,385 |
−2,387 |
| 2 | 0,525 |
4,28 |
4,26 |
4,369 |
4,363 |
−0,027 |
−0,027 |
−0,228 |
−0,229 |
| 3 | 0,375 |
8,67 |
8,66 |
4,091 |
4,086 |
0,207 |
0,207 |
0 |
0 |
| 4 | 0,225 |
14,22 |
14,22 |
3,872 |
3,868 |
0,382 |
0,382 |
0 |
0 |
| 5 | 0,075 |
20,85 |
20,86 |
3,733 |
3,729 |
0,477 |
0,478 |
0 |
0 |
| 6 | −0,075 |
28,07 |
28,08 |
3,691 |
3,688 |
0,475 |
0,475 |
0 |
0 |
| 7 | −0,225 |
35,02 |
35,03 |
3,749 |
3,748 |
0,373 |
0,373 |
0 |
0 |
| 8 | −0,375 |
41,02 |
41,03 |
3,896 |
3,895 |
0,182 |
0,182 |
0 |
0 |
| 9 | −0,525 |
45,86 |
45,86 |
4,109 |
4,109 |
−0,075 |
−0,075 |
−0,629 |
−0,630 |
| 10 | −0,675 |
49,63 |
49,62 |
4,369 |
4,370 |
−0,379 |
−0,379 |
−2,939 |
−2,938 |
Главные оси поворачиваются по толщине почти на 50°: у верхней грани ε1 направлена вдоль
x, у нижней — близко к диагонали. Поэтому угол и снижение β определяются для каждого слоя
по его собственным деформациям. Бетон сжат только в двух слоях у каждой грани. В слоях 3–8
обе главные деформации положительны, и бетон в равновесии не участвует.
Напряжения в арматуре (в статье — деформации εsxi, εsyi табл. 14):
| Арматура | ε, ‰ статья |
ε, ‰ OpenCS |
σ, МПа OpenCS |
|---|---|---|---|
x, z = +0,550 |
4,4011 |
4,3953 |
434,8 (текучесть) |
x, z = −0,477 |
2,0638 |
2,0636 |
433,4 |
y, z = −0,477 |
1,9842 |
1,9845 |
416,7 |
Проверка 4. Вклад бетона и арматуры
Суммы по слоям (табл. 15 статьи) против разложения усилий в OpenCS.
| Величина | Статья, табл. 15 | OpenCS |
|---|---|---|
Nsx, кН/м |
2329,3 |
2329,1 |
Nsy, кН/м |
529,2 |
529,3 |
Ncx, кН/м |
−304,7 |
−304,7 |
Ncy, кН/м |
−622,3 |
−622,9 |
Ncxy, кН/м |
272,6 |
272,5 |
Msx, кН·м/м |
−485,9 |
−485,9 |
Msy, кН·м/м |
−252,4 |
−252,5 |
Mcx, кН·м/м |
198,0 |
198,0 |
Mcy, кН·м/м |
−110,4 |
−110,7 |
Mcxy, кН·м/м |
−166,6 |
−166,7 |
Проверка 5. Штатные диаграммы бетона
Те же нагрузки рассчитаны со штатными диаграммами OpenCS. Характеристики бетона подобраны
так, чтобы вершина диаграммы совпадала с диаграммой статьи (Rb = 0,85·fcd).
При одной и той же прочности диаграммы сильно различаются по жёсткости на начальном участке.
Начальный модуль параболы-прямоугольника 2·Rb/εc2 = 12,1 ГПа, у L2 — Rb/εb1,red =
8,1 ГПа, у L3 — Eb = 25,0 ГПа, у ЕКБ — 1,05·Eb = 26,3 ГПа. В этом примере сжатый бетон работает именно на
начальном участке: |ε2| < 0,71‰.
НДС.
| Величина | Статья | Парабола (OpenCS) | L2 |
L3 |
ЕКБ |
|---|---|---|---|---|---|
ε0x, ‰ |
3,149 |
3,147 |
3,482 |
2,297 |
2,499 |
ε0y, ‰ |
1,039 |
1,039 |
1,008 |
1,130 |
1,110 |
γ0xy, ‰ |
2,418 |
2,416 |
2,442 |
2,402 |
2,402 |
κx, ‰/м |
2,276 |
2,270 |
2,956 |
0,534 |
0,946 |
κy, ‰/м |
−1,983 |
−1,983 |
−2,050 |
−1,865 |
−1,880 |
κxy, ‰/м |
−3,359 |
−3,364 |
−3,479 |
−3,354 |
−3,321 |
Разложение усилий.
| Величина | Статья, табл. 15 | L2 |
L3 |
ЕКБ |
|---|---|---|---|---|
Nsx, кН/м |
2329,3 |
2334,8 |
2311,6 |
2316,0 |
Nsy, кН/м |
529,2 |
529,5 |
538,7 |
535,3 |
Ncx, кН/м |
−304,7 |
−311,1 |
−288,0 |
−291,5 |
Ncy, кН/м |
−622,3 |
−623,6 |
−632,2 |
−628,4 |
Msx, кН·м/м |
−485,9 |
−488,6 |
−477,5 |
−479,6 |
Msy, кН·м/м |
−252,4 |
−252,6 |
−257,0 |
−255,3 |
Mcx, кН·м/м |
198,0 |
201,1 |
190,3 |
191,7 |
Mcy, кН·м/м |
−110,4 |
−110,8 |
−105,7 |
−107,5 |
Деформации у граней и угол главных осей в крайних слоях.
| Величина | Статья | Парабола (OpenCS) | L2 |
L3 |
ЕКБ |
|---|---|---|---|---|---|
ε2 на грани z = +0,75, ‰ |
— | −0,449 |
−0,530 |
−0,270 |
−0,300 |
ε2 на грани z = −0,75, ‰ |
— | −0,543 |
−0,701 |
−0,266 |
−0,319 |
εs арматуры x у верхней грани, ‰ |
4,401 |
4,395 |
5,108 |
2,591 |
3,019 |
θ, слой 1, ° |
0,86 |
0,84 |
0,46 |
1,42 |
1,39 |
θ, слой 10, ° |
49,63 |
49,62 |
50,35 |
47,77 |
48,19 |
β в слоях |
0,706 |
0,706 |
0,706 |
0,706…0,803 |
0,706…0,765 |
Арматура x у верхней грани течёт при любой диаграмме, у нижней находится на пороге текучести
(fyd/Es = 2,07‰). Поэтому силы в арматуре почти не зависят от диаграммы бетона и отличаются
от статьи не более чем на 2 %. Усилия в бетоне уравновешивают ту же нагрузку за вычетом
арматуры и отличаются не более чем на 6 % (Ncx при L3). Все линии εx на рисунке проходят около уровня нижней
арматуры z = −0,477 м при εx ≈ 2,07‰.
Кривизна κx при этом меняется в 5,5 раза — от 0,53 (L3) до 2,96‰/м (L2). Чем
жёстче начальный участок диаграммы, тем меньше деформация сжатого бетона при той же силе, тем
меньше кривизна и растяжение верхней арматуры. С меньшими ε1 у L3 и ЕКБ снижение
прочности бетона слабее: β выше нижней границы в средних слоях. Для проверки прочности по
п. 8.1.30 СП 63 это различие здесь несущественно: сжатие бетона у граней не превышает
0,71‰ при предельной 3,5‰. Для деформаций, жёсткостей и трещин выбор диаграммы при таком
уровне сжатия существен.
Чувствительность к нижней границе β
В этом примере нижняя граница β ≥ 0,6/0,85 действует во всех слоях. Без неё β в сжатых
слоях был бы 0,62…0,65, и результат заметно меняется:
| Величина | Статья | OpenCS, β ≥ 0,706 |
OpenCS, без нижней границы |
|---|---|---|---|
Ny по НДС статьи, кН/м |
−93,1 |
−92,9 |
−32,2 |
Mx по НДС статьи, кН·м/м |
−287,9 |
−287,9 |
−303,4 |
κx по нагрузкам, ‰/м |
2,276 |
2,270 |
2,512 |
ε0x по нагрузкам, ‰ |
3,149 |
3,147 |
3,265 |
Критерий прохождения
| Проверка | Допуск в тесте |
|---|---|
Формула β |
точное совпадение с ур. (50), включая границы |
| Усилия по НДС статьи | 1 % от наибольшего усилия группы (Nx для сил, My для моментов) |
| НДС по нагрузкам | 2 % от компоненты + 2·10⁻⁵ |
| Штатные диаграммы: равновесие | 0,5 % от наибольшего усилия группы |
| Штатные диаграммы: силы в арматуре | 2,5 % от табл. 15 |
Штатные диаграммы: θ в крайних слоях |
±2,5° от табл. 14 |
| Штатные диаграммы: предельные деформации | ε2 > −3,5‰, εs < 25‰ |
Ограничения сверки
- Сверяется один элемент статьи: растяжение по
x, у обеих граней сжат бетон, сдвиг и кручение значительны. Элементы 2–4 статьи не рассчитывались. - Проверка прочности по п. 8.1.30 СП 63 со статьёй не сравнивается: в статье предельные
деформации приняты по NBR 6118 (
εcu = 3,5‰,εsu = 10‰) и лишь констатируется, что они не превышены. - Пересчёт тонн-силы в килоньютоны (
1 тс = 10 кН) выведен из пика диаграммы в табл. 14; в тексте статьи он не оговорён.
Диагностика
- Если усилия по НДС статьи не совпадают, проверьте знак
zарматуры, знакκxyи то, что растянутый бетон выключен. - Если не совпадают только
NyиMx, проверьте нижнюю границуβи значениеεc2(выше). - Если
θпо слоям совпадает, аσ2нет, проверьте вершину диаграммы:0,85·fcd, а неfcd.