Поверхность предельных усилий

Задача limit_surface («Поверхность предельных усилий N–Mx–My», группа 1-я ГПС) строит для железобетонного сечения замкнутую поверхность предельных усилий (N, Mx, My) по первой группе предельных состояний, показывает её в 3D и в плоских срезах и наносит на неё строки набора усилий с коэффициентом использования.

Тем же построением задача crack_surface («Поверхность образования трещин N–Mx–My», группа 2-я ГПС) даёт тело, внутри которого сечение работает без нормальных трещин, — см. раздел ниже. Задача acrc_surface («Поверхность ширины раскрытия трещин (ПС2)») строит тело, внутри которого выполнены условия по ширине раскрытия трещин и σs ≤ Rs,ser, — см. раздел.

Поверхность нужна для наглядности и отсева: сразу видно, какие сочетания близки к границе несущей способности, с какой стороны и по какому материалу. Нормативной проверкой она не заменяет задачи предельных усилий и пакетные проверки: из любой точки окна можно одной кнопкой перейти в одиночную задачу limit_force, limit_moment или limit_axial и получить полный результат с отчётом.

Кисп, а не η

Коэффициент использования в окне и на этой странице обозначен Кисп. Буква η в СП 63 занята коэффициентом, учитывающим влияние прогиба (п. 8.1.15); в этой задаче он не применяется (см. ограничения).

Как строится поверхность

Обычный путь к предельной точке — подобрать масштаб нагрузки, при котором сечение исчерпает несущую способность; на каждом шаге решается нелинейная задача равновесия. Поверхность строится наоборот: перебираются плоскости деформаций, а не усилия.

1. Область допустимых плоскостей. Плоскость деформаций ε(x, y) = ε₀ + κy·y + κz·x допустима, если в каждой контрольной точке сечения деформация не выходит за предел:
   • вершины внешних контуров и отверстий бетонных областей — сжатие не больше εb,ult бетона своей области; растяжение бетона не ограничивается (трещины);
   • стержни арматуры — удлинение не больше εs,ult − εp, где εp — начальная деформация преднапряжения; сжатую арматуру ограничивает бетон.
2. Граница по лучу — в замкнутом виде. Для направления d в пространстве (ε₀, κy, κz) множитель λ, при котором первая контрольная точка достигает предела, вычисляется прямо: λ = min(εlim,i / vi) по точкам, где vi — деформация точки на единичном шаге. Решатель и итерации не нужны.
3. Отображение в усилия. Каждая граничная плоскость λ·d один раз интегрируется по сечению тем же кодом, что и в остальных задачах (диаграммы материалов, преднапряжение, режим работы бетона на растяжение). Получается точка (N, Mx, My) поверхности.

Предельная деформация бетона назначается по п. 8.1.30 СП 63.13330.2018. При двузначной эпюре εb,ult = εb2. При однозначной эпюре сжатия (центральное и малоэксцентричное сжатие)

\[ \varepsilon_{b,ult} = \varepsilon_{b2} - (\varepsilon_{b2} - \varepsilon_{b0})\,\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}, \qquad (8.53) \]

где ε2 и ε1 — наибольшая и наименьшая по модулю деформации сжатых граней. Отношение ε1/ε2 зависит только от направления луча, поэтому граница и здесь находится в замкнутом виде — на схеме это кривой участок у полюса сжатия.

Сетка

Направления лучей задаются на сфере: угол θ идёт от равномерного растяжения (θ = 0) к равномерному сжатию (θ = π), угол φ — направление кривизны. Линия φ = const даёт меридиан поверхности от полюса растяжения до полюса сжатия, линия θ = const — параллель.

• Где у соседних узлов меридиана меняется активная контрольная точка, излом поверхности находится бисекцией и вставляется точным узлом.
• Соседние меридианы сшиваются треугольниками с опорой на общие изломы, поэтому рёбра поверхности не срезаются, а сама поверхность может быть невыпуклой — выпуклая оболочка облака точек здесь не используется.
• Сетка сгущается адаптивно по обоим направлениям: в середине каждого интервала по θ (включая интервалы у полюсов) и между соседними меридианами строится контрольная точка; если её отклонение от уже построенной сетки больше допуска, интервал делится.

Отклонение измеряется в усилиях, отнесённых к размаху N между полюсами и к наибольшему моменту. Сетка вписана в истинную поверхность, поэтому Кисп по сетке получается не меньше точного — оценка в запас.

Точность

Пользователь выбирает один параметр — точность:

Точность	Допуск отклонения	Меридианов, не более	Сечение примера: вершин / меридианов / время	Размер результата
обычная (по умолчанию)	0,2 % размаха	576	14 126 / 192 / 1,2 с	≈ 1 МБ
высокая	0,1 % размаха	1152	32 810 / 360 / 2,4 с	≈ 2,5 МБ

Стартовая сетка в обоих случаях — 24 меридиана по 24 интервала θ. Время — для сечения примера на обычном настольном компьютере; меридианы строятся параллельно.

Постановка задачи

Задача создаётся в группе 1-я ГПС дерева Задачи (вид «Поверхность предельных усилий N–Mx–My»).

Поле	Смысл
Сечение	Железобетонное сечение CrossSection, в том числе с преднапряжённой арматурой.
Тип расчёта	Характеристики материалов (C, CL, …) — как у задач предельных усилий. Работа бетона на растяжение — по настройкам расчёта, как у limit_force.
Нанести точки набора усилий	Флажок; по умолчанию включён. Выключенный — строится только поверхность.
Набор усилий	Набор стержневых усилий, строки которого наносятся на поверхность.
Точность	«обычная» или «высокая», см. выше.

Блок «Параметры поверхности» появляется в диалоге только для этого вида задачи.

Единицы — как в наборах усилий: N в кН (растяжение положительно), Mx, My в кН·м относительно центра тяжести сечения. Правила знаков — в разделе «Оси, знаки и единицы».

При расчёте строки набора копируются в результат. Последующая правка или удаление набора на сохранённый результат не влияет; чтобы учесть изменения, задачу нужно пересчитать.

Окно результата

Над вкладками расположены общие переключатели и сводка:

• Кисп по лучу — режим коэффициента использования: k·(N, Mx, My), N = const, k·M или M = const, k·N (см. ниже). По умолчанию первый. Переключение пересчитывает Кисп всех точек по сохранённой сетке без повторного построения.
• Оси — «относительные 0…1» (по умолчанию) или «абсолютные». В относительных осях каждая ось отнесена к размаху поверхности по ней: при N порядка тысяч кН и моментах порядка сотен кН·м поверхность иначе выглядела бы плоским диском. Подписи и подсказки при этом остаются в кН и кН·м, а точки снаружи могут выходить за пределы 0…1.
• Сводка — max Кисп, число точек снаружи и число неоднозначных.
• Предупреждения — жёлтые плашки: η продольного изгиба не учтена (для набора первого порядка) и есть точки с неоднозначным Кисп.

Точка выбирается щелчком по строке таблицы на вкладке «Точки» и дальше общая для всех вкладок: она крупнее в 3D, красная на срезе. В 3D наведение на точку только показывает подсказку.

Вкладка «3D»

Поверхность с легендой справа вверху и расшифровкой осей слева вверху. Вращение, сдвиг и масштаб — мышью, ориентация — кубом вида.

Сечение примера, относительные оси, полупрозрачная поверхность. Синим — участки, где предел достигнут по сжатому бетону, оранжевым — по растянутой арматуре (вершина поверхности — растяжение). Зелёные точки внутри, красные снаружи; чёрный кубик — начало координат; красноватая плоскость — текущий срез.

Раскраска	Что показывает
активное ограничение (по умолчанию)	какой предел достигнут на этом участке: «бетон, сжатие εb» или «арматура, растяжение εs»
зона (8.53)	красным — участки однозначной эпюры, где предел бетона снижен по ф. (8.53); голубым — двузначная эпюра
по N	десять полос по продольной силе от синего (сжатие) к красному (растяжение), подписи полос — в кН
однотонная	одна заливка — для чтения формы

Раскраска «зона (8.53)»: однозначная эпюра сжатия занимает небольшую область у полюса сжатия (внизу), на остальной поверхности предел бетона — εb2.

Флажки: меридианы и параллели (линии сетки φ = const и θ = const, включены по умолчанию), полупрозрачная (видны точки внутри тела), секущая плоскость (плоскость текущего среза со вкладки «Срезы»).

Точки набора — шарики: зелёные внутри, красные снаружи, серые — неоднозначные; выбранная точка крупнее. При наведении на точку внизу выводятся её имя, N, Mx, My и Кисп. В относительных осях начало координат отмечено чёрным кубиком.

Вкладка «Срезы»

Срез — сечение той же 3D-сетки плоскостью, а не отдельный расчёт.

Вид	Плоскость	Оси графика	Уровень
Mx–My при N	N = const	Mx, My	N, кН
N–My при Mx	Mx = const	My, N	Mx, кН·м
N–Mx при My	My = const	Mx, N	My, кН·м
N–M по направлению α	через ось N под углом α к оси Mx	M = Mx·cos α + My·sin α, N	α, °

• Уровень задаётся полем ввода или ползунком в пределах габарита поверхности (для α — от −180° до 180°); по умолчанию — середина диапазона.
• Через выбранную точку ставит уровень по координате выбранной точки; для среза N–M — α = atan2(My, Mx).
• Семейство 2…9 добавляет столько же уровней с равным шагом по диапазону — тонкими линиями под основным контуром.
• Скрыть прочие точки оставляет на графике только выбранную точку.

Прочие точки набора показываются серыми проекциями на плоскость среза. Выбранная точка — красная; если луч её Кисп целиком лежит в плоскости среза (например, режим N = const на срезе Mx–My при N через эту точку), рисуется и отрезок луча от его начала до поверхности. Если плоскость пересекает поверхность несколькими контурами, показываются все.

Срез «Mx–My при N» через строку «Косой изгиб, за пределом» (N = −800 кН, Mx = −300, My = 220 кН·м): точка лежит снаружи контура. В режиме k·(N, Mx, My) луч идёт из начала координат и в плоскость N = −800 не попадает, поэтому отрезок луча не нарисован; в режиме N = const, k·M он появится.

Вкладка «Точки»

Таблица строк набора: №, строка, N, Mx, My, Кисп по текущему режиму, положение («внутри», «снаружи», «неоднозначно»), активное ограничение в точке пересечения луча с поверхностью (с пометкой «(8.53)» для зоны однозначной эпюры). Столбцы сортируются; ∞ при сортировке Кисп оказывается в конце.

Выбор строки выделяет точку в 3D и ставит срез через неё. Кнопка → одиночная задача создаёт и запускает задачу предельного усилия по выбранной строке:

Режим Кисп	Одиночная задача
k·(N, Mx, My)	limit_force
N = const, k·M	limit_moment
M = const, k·N	limit_axial

Сечение и тип расчёта берутся из задачи поверхности, усилия — из сохранённой в результате строки (как ручные усилия). Имя задачи — «сечение — строка». Повторное нажатие для той же строки в том же режиме не плодит копии: прежняя задача пересчитывается, если изменилась, иначе открывается.

Коэффициент использования Кисп

Кисп точки F = (N, Mx, My) считается по сохранённой сетке: из начала B проводится луч B + t·D, точке соответствует t = 1.

Режим	Начало луча B	Направление D	Что масштабируется
k·(N, Mx, My)	(0, 0, 0)	(N, Mx, My)	все три усилия
N = const, k·M	(N, 0, 0)	(0, Mx, My)	моменты при постоянной N
M = const, k·N	(0, Mx, My)	(N, 0, 0)	продольная сила при постоянных моментах

Если пересечение луча с поверхностью находится при t = tC, то

\[ \text{Кисп} = \frac{1}{t_C} = \frac{|BF|}{|BC|}. \]

• Точка внутри — берётся ближайшее пересечение за точкой, Кисп < 1.
• Точка снаружи — последнее пересечение перед точкой, Кисп > 1; если до точки луч поверхность не пересекал — Кисп = ∞.
• Поверхность может быть невыпуклой, поэтому внутри/снаружи определяется по чётности числа пересечений, а не по одному ближайшему.

Режимы те же, что у задач предельных усилий, и у одной точки они дают разные Кисп — это ответы на разные вопросы.

Неоднозначные точки

Кисп как отношение длин имеет смысл, только если начало луча B лежит внутри тела поверхности. Иначе точка помечается «неоднозначно» (серая, в таблице Кисп со знаком «?»), а в шапке появляется предупреждение. Типичные случаи:

• преднапряжённое сечение — нулевая плоскость деформаций не даёт нулевых усилий, и начало координат может оказаться вне тела;
• режим N = const, когда N строки за пределами несущей способности при нулевых моментах (сильное сжатие или растяжение);
• режим M = const, когда моменты строки не воспринимаются сечением при N = 0.

Если в выбранном режиме масштабировать нечего (N = 0 в режиме M = const или Mx = My = 0 в режиме N = const), луч вырожден: точка внутри получает Кисп = 0, снаружи — ∞. Для таких строк смотрите другой режим.

Пример

Сечение «Балка 400×600»: бетон B25, арматура A500 — 3⌀25 снизу, 2⌀18 сверху, 2⌀16 по боковым граням; тип расчёта C. Набор «РСУ балки» — 20 строк от чистого изгиба до центрального сжатия и внецентренного растяжения.

Поверхность при обычной точности: N от −4433 до +1037 кН, Mx от −463 до +455 кН·м, My ±285 кН·м. В режиме k·(N, Mx, My) сводка — max Кисп = 2,135, снаружи 6 точек из 20, неоднозначных нет. В режиме N = const две строки становятся неоднозначными: у них N (−4300 и +1500 кН) при нулевых моментах уже за пределами тела.

Кисп по поверхности сопоставлен с одиночными задачами (limit_force для режима k·(N, Mx, My), limit_moment для N = const):

Строка	N, кН	Mx, кН·м	My, кН·м	Режим	Кисп, поверхность	Кисп, одиночная задача	Разница
Изгиб, средний	0	−280	10	k·(N, Mx, My)	0,7799	0,7798	+0,01 %
Сжатие малое	−400	−200	30	k·(N, Mx, My)	0,4893	0,4888	+0,09 %
Сжатие среднее	−1200	−250	60	k·(N, Mx, My)	0,7267	0,7267	0,00 %
Косой изгиб	−800	−180	120	k·(N, Mx, My)	0,7042	0,7041	+0,02 %
Косой изгиб, за пределом	−800	−300	220	k·(N, Mx, My)	1,2687	1,2684	+0,03 %
Изгиб вокруг Y	−500	0	200	k·(N, Mx, My)	0,8718	0,8713	+0,05 %
Сочетание 20	−150	−330	−40	k·(N, Mx, My)	0,8917	0,8914	+0,04 %
Сжатие большое	−2500	−150	40	N = const, k·M	0,5658	0,5656	+0,04 %
Растяжение	600	−60	0	N = const, k·M	0,2725	0,2724	+0,04 %

В приведённых строках с двузначной эпюрой расхождение не больше 0,1 %, и Кисп поверхности не меньше — сетка вписанная.

В зоне однозначной эпюры сжатия поверхность заметно строже:

Строка	N, кН	Mx, кН·м	My, кН·м	Режим	Кисп, поверхность	Кисп, одиночная задача	Разница
Сжатие почти предел	−3600	−40	10	k·(N, Mx, My)	0,9346	0,9321	+0,27 %
Сжатие за пределом	−4300	−60	0	k·(N, Mx, My)	1,1282	1,1246	+0,32 %
Центральное сжатие	−3000	0	0	k·(N, Mx, My)	0,7415	0,7405	+0,14 %
Сжатие почти предел	−3600	−40	10	N = const, k·M	0,4211	0,4159	+1,26 %

Причина — методическая: поверхность снижает предел бетона по ф. (8.53), а решатели задач limit_* принимают εb2 при любой эпюре. Плоскость деформаций, найденная одиночной задачей для этих строк, выходит за границу области по (8.53) — её множитель до границы λ равен 0,92–0,97. Поверхность под решатель не подгоняется.

Поверхность образования трещин

Задача crack_surface строит в пространстве (N, Mx, My) тело, внутри которого в сечении не образуются нормальные трещины. Построение, сетка, окно и Кисп — те же, что описаны выше; отличаются область допустимых плоскостей деформаций и модель материалов.

Норма

По п. 8.2.14 СП 63.13330.2018 момент образования трещин определяется по нелинейной деформационной модели с учётом работы растянутого бетона по диаграмме п. 6.1.22; характеристики материалов — для второй группы предельных состояний. Деформация бетона у растянутой грани принимается равной предельной εbt,ult по п. 8.1.30:

• при двузначной эпюре εbt,ult = εbt2;
• при растяжении одного знака по всему сечению

\[ \varepsilon_{bt,ult} = \varepsilon_{bt2} - (\varepsilon_{bt2} - \varepsilon_{bt0})\,\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}, \qquad (8.54) \]

где ε2 и ε1 — наибольшая и наименьшая деформации растяжения на противоположных гранях. При центральном растяжении предел равен εbt0.

Область деформаций

Контрольные точки	Растяжение	Сжатие
вершины внешних контуров и отверстий бетонных областей	до εbt,ult: εbt2, при растяжении одного знака — по ф. (8.54)	до εb,ult: εb2, при сжатии одного знака — по ф. (8.53)

• Предел сжатия замыкает тело: без него область «нет трещины» открыта в сторону сжатия (при большом сжатии трещина не образуется вовсе). На поверхности поэтому два вида участков — «трещина» (растянутая грань достигла εbt,ult) и «сжатие бетона».
• Арматура контрольных точек не даёт: пока бетон в пределах εbt,ult, стержни внутри контура работают упруго. Поэтому поверхность строится и для бетонного сечения без арматуры.
• Пределы относятся к полной деформации бетона, включая обжатие преднапряжением. Если обжатие само растягивает грань сверх εbt,ult, ненагруженное сечение уже лежит вне тела: точки набора помечаются «неоднозначно», и в шапке выводится пояснение.
• Интегрирование — с работой бетона на растяжение всегда (параметра нет), характеристики — N или NL из постановки задачи.

Постановка

Задача создаётся в группе 2-я ГПС (вид «Поверхность образования трещин N–Mx–My»). Поля — как в постановке поверхности предельных усилий, но тип расчёта — только N (по умолчанию) или NL. У бетона в характеристиках выбранного типа должны быть заданы εbt0 и εbt2 (в справочных материалах проекта они есть); иначе задача завершается ошибкой с именем области.

Окно и Кисп

• Режим Кисп по умолчанию — N = const, k·M: это условие п. 8.2.4 (M > Mcrc при данной продольной силе). Кисп в этом режиме — отношение момента строки к моменту образования трещин при той же N и том же направлении момента.
• Раскраска «активное ограничение» различает «трещина: бетон, растяжение εbt» и «бетон, сжатие εb»; раскраска «зона (8.53)/(8.54)» выделяет участки однозначной эпюры. В таблице точек активное ограничение помечается «(8.54)» или «(8.53)».
• Кнопка → одиночная задача работает только в режиме N = const, k·M и создаёт задачу cracking с усилиями строки и типом расчёта поверхности. В режимах k·(N, Mx, My) и M = const, k·N одиночной задачи нет — кнопка недоступна, подсказка предлагает переключить режим.

Сверка с задачей cracking

Поверхность сопоставлена с решателем задачи cracking (CrackingSolver, режим N = const) в случайных точках по всему диапазону N — половина точек в растянутой части. Мера — разность моментов трещинообразования, отнесённая к наибольшему моменту поверхности. Эталон принимается, только если его плоскость деформаций лежит на границе области.

Сечение	Наибольшая разность: поверхность с пределом как у решателя (εbt2 всегда)	Наибольшая разность: поверхность по норме
300×500, B25, 4⌀16 симметрично	0,17 %	0,22 %
300×500, B25, 3⌀25 снизу, 2⌀12 сверху	0,21 %	0,10 %
300×500, B25, без арматуры	0,22 %	0,20 %
300×500, преднапряжённый канат с эксцентриситетом	0,10 %	1,09 %, поверхность ниже: на луче раньше трещины достигнуто сжатие по (8.53)

Допуск сверки — 0,6 %; где поверхность по норме ниже решателя по одной из причин ниже, проверяется только, что она не выше. Методические отличия, при которых поверхность даёт меньший Mcrc, чем cracking, и это ожидаемо:

• растяжение одного знака — решатель cracking принимает εbt2 при любой эпюре, поверхность снижает предел по ф. (8.54);
• большое сжатие — на луче N = const раньше трещины достигается предел сжатия по ф. (8.53), которого у cracking нет;
• преднапряжение — cracking ищет трещину только на грани, которую растягивает внешняя нагрузка, а поверхность учитывает и грань, растрескавшуюся от обжатия.

Поверхность ширины раскрытия трещин

Задача acrc_surface («Поверхность ширины раскрытия трещин (ПС2)», группа 2-я ГПС) строит в пространстве полных усилий (N, Mx, My) тело, внутри которого выполняются все условия второй группы по раскрытию нормальных трещин. Тело охватывает поверхность образования трещин: внутри неё трещин нет и ширина раскрытия равна нулю.

Норма и условия

Ширина раскрытия — по п. 8.2.15 СП 63.13330.2018, как в задаче crack_width:

\[ a_{crc,i} = \varphi_1\,\varphi_2\,\varphi_3\,\psi_s\,\frac{\sigma_s}{E_s}\,l_s, \qquad (8.128) \]

где ls — по ф. (8.136), ψs — по ф. (8.137) с ограничением ψs ≥ 0,2 (или по деформациям, п. 8.2.32, если так выбрано в настройках), φ1 = 1,4 для продолжительного и 1,0 для непродолжительного действия нагрузки, φ2 = 0,5 или 0,8 по профилю арматуры, φ3 = 1,0 при изгибе и сжатии и 1,2 при растяжении. В точке тела проверяются:

Условие	Формула	Цвет в окне
продолжительное раскрытие	acrc,1 ≤ acrc,ult продолжительное (п. 8.2.6)	фиолетовый
непродолжительное раскрытие	acrc,1 + acrc,2 − acrc,3 ≤ acrc,ult непродолжительное (п. 8.2.7)	коричневый
напряжение в арматуре	σs ≤ Rs,ser (п. 8.2.16)	жёлтый
сжатие бетона в сечении с трещиной	εb в пределах п. 8.1.30, ф. (8.53)	синий
граница образования трещин	раскрытие сразу после образования трещины уже превышает предел или раньше трещины достигнуто сжатие	серый

Граница тела — точки, где наибольшее из отношений «величина / предел» равно 1.

Доля длительной нагрузки. Одна точка тела — одна тройка полных усилий, поэтому длительная часть задаётся одним числом k ∈ (0; 1] на всё тело: длительные усилия — (N, k·Mx, k·My), так же, как в режиме «доля» задачи crack_width. Строки набора, у которых доля длительной нагрузки другая, проверяйте задачей crack_width (кнопка «→ одиночная задача» создаёт её с той же долей k, а долю можно поменять в её параметрах).

Как строится

В отличие от поверхностей ПС1 и образования трещин, граница здесь не выражается в замкнутом виде через пределы контрольных точек: ls зависит от площади растянутого бетона, а ψs — от напряжения в арматуре в момент образования трещины. Поэтому тело строится по колоннам (N, ψ): при постоянной N из точки оси колонны момент увеличивается в направлении ψ.

flowchart LR
    A["Тело образования трещин<br/>(поверхность crack_surface)"] --> B["Колонна (N, ψ):<br/>Mcrc и плоскость трещинообразования"]
    B --> C["g(m) = max условий<br/>при m > Mcrc"]
    C --> D{"g(Mcrc) ≥ 1?"}
    D -- да --> E["граница = тело<br/>образования трещин"]
    D -- нет --> F["удвоение шага и уточнение<br/>корня g(m) = 1"]
    F --> G["узлы колонн → сетка<br/>(как меридианы)"]
    E --> G

1. Сначала строится тело образования трещин с теми же характеристиками N/NL. По нему для каждой колонны находятся момент трещинообразования Mcrc (при той же N и том же направлении момента, как в п. 8.2.4) и плоскость деформаций в момент образования трещины.
2. Дальше по колонне считается сечение с трещиной (бетон на растяжение не работает) — длительная плоскость на диаграмме N или NL, полная — на диаграмме N; из них — σs, σs,crc, ψs, ls, Abt и три слагаемых ширины раскрытия. Корень g(m) = 1 уточняется методом ложного положения; соседние пробы служат начальным приближением друг другу.
3. Ось колонн — M = 0 там, где точка (N, 0, 0) лежит внутри тела образования трещин. За этими пределами (у несимметричного сечения крайние по N точки тела лежат при M ≠ 0) ось ведётся к вершинам тела с наименьшим и наибольшим N; здесь сечение трещиновато уже от продольной силы, и точка трещинообразования берётся по лучу полной нагрузки — по тому же правилу, что в crack_width. Сжатый полюс тела — вершина тела образования трещин с наименьшим N, растянутый — точка на продолжении оси, где g = 1.
4. Ступень при N = 0. Коэффициент φ3 скачком меняется с 1,0 на 1,2 при переходе к растяжению, поэтому на каждой колонне при N = 0 два узла и между ними вертикальная полоса: при малом растяжении граница ближе, чем при малом сжатии. Это свойство нормы, а не погрешность сетки.
5. Длительная часть ниже Mcrc. Если длительные усилия ещё не образуют трещин, а полные образуют, продолжительное раскрытие равно нулю, а непродолжительное — acrc,2 от полных усилий.
6. Нет растянутой арматуры. При большом сжатии трещина может раскрыться только в защитном слое, а стержни ещё сжаты: тогда σs ≤ 0 и ширина раскрытия равна нулю, момент увеличивается дальше. Если растянутая арматура так и не появилась, граница берётся по телу образования трещин, а в окне выводится предупреждение.
7. Колонны собираются в сетку теми же средствами, что меридианы поверхности ПС1: изломы — по смене условия, адаптация — по N и по направлению с тем же допуском точности.

Постановка

Поля — как в постановке поверхности предельных усилий (сечение, точность, набор усилий для нанесения точек) плюс блок «Параметры расчёта трещин»:

Поле	Значение
Тип расчёта	N (по умолчанию) или NL — характеристики тела образования трещин; C/CL недоступны
acrc,ult продолжительное / непродолжительное, мм	по умолчанию 0,3 / 0,4 (п. 8.2.6)
φ2	0,5 — периодический профиль и канаты, 0,8 — гладкая арматура
Доля длительной нагрузки k	0 < k ≤ 1, по умолчанию 0,7
Длительная часть по диаграмме NL	как в crack_width; полная нагрузка всегда по N

У бетона в характеристиках выбранного типа должны быть заданы εbt0 и εbt2 — как у поверхности образования трещин. Построение при обычной точности занимает порядка минуты: в каждой пробе решается сечение с трещиной.

Окно и Кисп

• Режим Кисп по умолчанию — N = const, k·M: отношение момента строки к моменту на границе при той же N и том же направлении момента.
• Раскраска «активное ограничение» показывает пять категорий из таблицы условий; раскраски «зона (8.53)» нет.
• В шапке: плашка с долей k и пределами acrc,ult, для которых построено тело; число узлов без сходимости (в них граница взята по последней сошедшейся пробе — оценка с запасом); предупреждение об узлах без растянутой арматуры.
• Кнопка → одиночная задача работает только в режиме N = const, k·M и создаёт задачу crack_width с усилиями строки, режимом «доля» с той же k и параметрами поверхности.

Отличия от задачи crack_width

• Момент трещинообразования берётся из тела образования трещин, то есть с пределом растяжения по ф. (8.54) и с учётом сжатия по ф. (8.53). Задача crack_width использует решатель cracking с пределом εbt2 при любой эпюре — при растяжении одного знака её Mcrc больше.
• Доля длительной нагрузки — одна на всё тело.
• Если обжатие преднапряжением растрескивает грань уже при нулевой нагрузке (начало координат вне тела образования трещин), луч полной нагрузки из нуля не определяет точку трещинообразования. В этом случае она берётся на выходе колонны из тела образования трещин. Это принятое в OpenCS доопределение: норма этот случай прямо не описывает.
• У несимметричного сечения при почти центральном растяжении сечение с трещиной может не уравновешивать даже усилия трещинообразования (верхние стержни малого сечения должны были бы работать выше предела текучести). Граница там совпадает с телом образования трещин, а узлы учитываются в счётчике «без сходимости».

Сверка с задачей crack_width

Поверхность сопоставлена в режиме N = const в случайных точках по всему диапазону N с двумя эталонами: с колонной, посчитанной заново в той же точке (расхождение — только погрешность сетки), и с решателем задачи crack_width (CrackWidthSolver) там, где точка трещинообразования не от одной продольной силы. Мера — разность моментов на границе, отнесённая к наибольшему моменту поверхности; эталон принимается, только если его расчёт сошёлся. Параметры — по умолчанию: k = 0,7, φ2 = 0,5, acrc,ult 0,3 / 0,4 мм.

Сечение	Сетка против колонны	Сетка против CrackWidthSolver
300×500, B25, 4⌀16 симметрично	0,055 %	0,060 %
300×500, B25, 3⌀25 снизу, 2⌀12 сверху	0,054 %	0,48 %
300×500, преднапряжённый канат с эксцентриситетом	0,032 %	0,015 %

Допуск — 0,6 %. На границе условие, вычисленное решателем crack_width, равно 1 с точностью до 10⁻³. При уменьшении допуска точности с 0,004 до 0,001 наибольшее расхождение сетки с колонной падает с 1,39 % до 0,025 %. Тело образования трещин выступает за тело ширины раскрытия не более чем на 0,67 % наибольшего момента — это сумма погрешностей двух сеток.

Ограничения

• Продольный изгиб не учитывается. Строки набора наносятся как заданы, без увеличения моментов на η по п. 8.1.15. Для набора первого порядка в окне выводится предупреждение; гибкие элементы проверяйте одиночной задачей с учётом η (кнопка «→ одиночная задача» и параметры учёта гибкости) либо набором второго порядка (P-Δ).
• Вторая группа — по деформационной модели. Поверхности строятся для образования трещин (п. 8.2.14) и ширины раскрытия (пп. 8.2.6–8.2.18); упрощённый способ пп. 8.2.10–8.2.13 поверхностью не воспроизводится. У поверхности ширины раскрытия доля длительной нагрузки — одна на всё тело, построение занимает порядка минуты.
• Не строится для стадийных сечений и пластин. Для сечения без растянутой арматуры (бетонный элемент, раздел 7 СП 63) поверхность не замкнута — задача завершается ошибкой с этим пояснением. Ошибкой завершается и случай, когда начальная деформация преднапряжённого стержня не меньше его предельной.
• Отчёт по этой задаче пока не формируется; полный отчёт даёт одиночная задача по точке.
• Окно не позволяет править точки и не экспортирует сетку.
• Результат хранит сетку в базе проекта (CalcResult.DataJson, сжатый двоичный блок): около 1 МБ при обычной точности. Результат старого формата окно не открывает и предлагает пересчитать задачу. Результаты, построенные до появления меридианов и параллелей, показывают вместо них рёбра треугольников.

Тесты

Что проверяется	Где
Граница области по лучу против прямого перебора; правило (8.53) — равномерное сжатие даёт εb0, двузначная эпюра — εb2; преднапряжение сдвигает предел; ошибки незамкнутой области	CScore.Tests/LimitSurface/StrainDomainTests.cs, UlsStrainCriterionTests.cs
Сетка: замкнута (эйлерова характеристика 2, нормали наружу), вершины лежат на поверхности, полюса — равномерные деформации, изломы вставлены и связаны между меридианами, адаптация по θ и φ добавляет узлы, параллельная и последовательная сборки совпадают; сечение без арматуры — ошибка	CScore.Tests/LimitSurface/StrainDomainMesherTests.cs
Сшивка меридианов по общим изломам, расстояние точка–треугольник, ориентация треугольников	CScore.Tests/LimitSurface/SurfaceMeshGeometryTests.cs
Срезы и Кисп на эталонной геометрии: куб, невыпуклая призма, проход луча через вершину и ребро, начало луча вне тела, вырожденный луч — во всех трёх режимах	CScore.Tests/LimitSurface/LimitSurfaceMeshTests.cs
Сверка с быстрым решателем предельных усилий на симметричном, несимметричном и преднапряжённом сечениях: в двузначной зоне — в допуске сетки, в зоне (8.53) поверхность не больше решателя; эталон принимается, только если его плоскость лежит на границе области; при уменьшении допуска ошибка не растёт	CScore.Tests/LimitSurface/LimitSurfaceVerificationTests.cs
Сохранение сетки без потерь, Кисп по восстановленной сетке равен исходному, чужая версия формата — понятная ошибка	OpenCS.Tests/LimitSurfaceResultDataTests.cs
Обработчик: сетка и снимок строк в результате, высокая точность даёт не меньше меридианов, предупреждение об η только у набора первого порядка, ненайденный набор — ошибка, группа 1-я ГПС	OpenCS.Tests/StrainSurfaceHandlerTests.cs
Сцена окна: внутри/снаружи и сводка, точка на поверхности даёт Кисп = 1, относительные оси, раскраски покрывают каждый треугольник ровно один раз, меридианы и параллели, срез через вершину проходит через неё; смена режима сохраняет выбранную точку, результат старого формата — предложение пересчитать	OpenCS.Tests/LimitSurfaceSceneTests.cs, LimitSurfaceResultVMTests.cs
Переход в одиночную задачу: режим → вид задачи, усилия строки, сечение, повторный выбор находит прежнюю задачу; у поверхности трещинообразования — только N = const → cracking	OpenCS.Tests/LimitSurfaceRowTaskFactoryTests.cs
Трещинообразование: правило (8.54) — центральное растяжение даёт εbt0, нулевая деформация противоположной грани — εbt2; пределы из характеристик N/NL и совпадение εbt2 с концом ветви растяжения диаграммы; запрет C/CL; сетка замкнута, в том числе без арматуры; полюса — εbt0 и εb0	CScore.Tests/LimitSurface/StrainDomainTests.cs, CrackStrainCriterionTests.cs
Сверка поверхности трещинообразования с CrackingSolver (см. таблицу); преднапряжение: при умеренном обжатии начало координат внутри тела, при сильном — вне	CScore.Tests/LimitSurface/CrackSurfaceVerificationTests.cs
Обработчик crack_surface: критерий «crack», ошибка при C/CL и без εbt0, группа 2-я ГПС; сцена — режим по умолчанию, легенды «трещина» и «(8.53)/(8.54)»	OpenCS.Tests/StrainSurfaceHandlerTests.cs, LimitSurfaceCrackSceneTests.cs
Ширина раскрытия, колонна: на границе условие crack_width равно 1, при большом сжатии и малом пределе граница — тело образования трещин, g(m) не убывает, за растянутым краем — трещина от продольной силы	CScore.Tests/LimitSurface/AcrcSurfaceTests.cs
Ширина раскрытия, сетка: замкнута, ступень при N = 0 (m*(0⁺) ≤ m*(0⁻)), полюса, тело образования трещин внутри, замер времени	CScore.Tests/LimitSurface/AcrcSurfaceTests.cs
Сверка поверхности ширины раскрытия с колонной и CrackWidthSolver (см. таблицу); убывание расхождения с точностью	CScore.Tests/LimitSurface/AcrcSurfaceVerificationTests.cs
Ядро ширины раскрытия: изгиб My равен изгибу Mx повёрнутого сечения, косой изгиб, центральное растяжение, длительная часть ниже Mcrc, трещина от продольной силы, σs ≤ Rs,ser; геометрия Abt по направлению плоскости	CScore.Tests/CrackWidth/CrackWidthFindingsTests.cs, CrackSectionGeometryTests.cs
Обработчик acrc_surface: критерий «acrc» и параметры в результате, ошибка при C/CL, группа 2-я ГПС; переход в crack_width с долей k; сцена — режим по умолчанию и категории условий	OpenCS.Tests/StrainSurfaceHandlerTests.cs, LimitSurfaceRowTaskFactoryTests.cs, LimitSurfaceCrackSceneTests.cs

Где это в коде

Что	Где
Область деформаций и правила (8.53), (8.54)	CScore/LimitSurface/StrainDomain.cs, UlsStrainCriterion.cs, CrackStrainCriterion.cs
Построение сетки	CScore/LimitSurface/StrainDomainMesher.cs, LimitSurfaceOptions.cs
Поверхность ширины раскрытия	CScore/LimitSurface/AcrcSurfaceCriterion.cs, AcrcColumnMesher.cs; ядро — CScore/CrackWidth/CrackWidthCore.cs, CrackSectionGeometry.cs
Сетка, срезы и Кисп	CScore/LimitSurface/LimitSurfaceMesh.cs, SurfaceMeshGeometry.cs
Обработчик задачи	OpenCS.App/Tasks/StrainSurfaceHandler.cs
Параметры и формат результата	OpenCS.App/LimitSurface/LimitSurfaceTaskParams.cs, LimitSurfaceResultData.cs
Модель сцены окна (без WPF)	OpenCS.App/LimitSurface/LimitSurfaceScene*.cs
Окно результата	OpenCS/Views/LimitSurfaceResultView.xaml(.cs), OpenCS/ViewModels/LimitSurfaceResultVM.cs
Одиночная задача по точке	OpenCS.App/Tasks/LimitSurfaceRowTaskFactory.cs

Благодарность

Подход — строить поверхность как образ границы области допустимых плоскостей деформаций, а не поиском предельных точек в пространстве усилий, — предложен Н. Цыбиным.