Амплитуда формы потери устойчивости по (5.9)–(5.11)

ID: TEST-IMP-03
Статус: сверка выполнена
Версия OpenCS: master e2f57082
Эталон: EN 1993-1-1 п. 5.3.2(11), ф. (5.9)–(5.11), χ по (6.49); для полусинуса η_init = e₀ (5.10);
        смысл (5.10): при N = χ·N_Rk сечение исчерпано, N/N_Rk + M/M_el,Rk = 1
Сравниваются: OpenCS — моменты формы постановки «Расчётные длины — CSfea»,
              амплитуда по (5.9) резолвера несовершенств, секущий расчёт CSfea второго порядка
Результат: моменты формы — +0,003 %, η_init — −0,002 %, прогиб середины при N = χ·N_Rk — −0,01 %;
           N/N_Rk + M/M_el,Rk = 1,004 (момент по усилиям КЭ, 4 КЭ)
Тест: CSfea.Tests/ImperfectionModesAmplitudeTests.cs, CScore.Tests/En1993ModeAmplitudeTests.cs

Задача проверяет несовершенство по формам потери устойчивости с амплитудой по EN 1993-1-1 п. 5.3.2(11). Амплитуда формы \(\eta_{init}\) подбирается так, чтобы в критическом сечении кривизна несовершенства соответствовала погиби \(e_0\) из (5.10). Для шарнирной колонны с полусинусом \(\eta_{init} = e_0\), и вся цепочка — форма, её моменты, \(\bar\lambda\), χ, \(e_0\), амплитуда, расчёт второго порядка — сверяется с замкнутыми формулами.

Постановка

Величина	Значение
Колонна	вертикальная, длина L = 6 м, оба конца шарнирные (верх свободен по вертикали)
Сечение	квадратная труба 300×300×10 мм, углы острые: A = 116,00 см², I = 16 278,7 см⁴, W_el = I/150 мм
Материал	сталь E = 206 ГПа, R_yn = f_y = 355 МПа
Сетка	4 стержневых КЭ; в постановке устойчивости — дробление 8 на КЭ
Раскрепление	промежуточные узлы закреплены по Y: форма — в плоскости XZ
Нагрузка	сжимающая сила на верхе: 1000 кН в задаче устойчивости, \(N = \chi N_{Rk}\) в расчёте второго порядка
Кривая	c (табл. 6.1: α = 0,49), \(\gamma_{M1} = 1{,}0\)

У квадратной трубы \(I_x = I_y\), поэтому первая критическая сила двукратная. Закрепление промежуточных узлов по Y оставляет одну форму — в плоскости XZ.

Эталон

Характеристики сечения и критическая сила:

\[ N_{Rk} = A f_y = 4118{,}0\ \text{кН}, \qquad M_{Rk} = M_{el,Rk} = W_{el} f_y = 385{,}262\ \text{кН·м}, \qquad N_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2} = 9193{,}6\ \text{кН}. \]

Гибкость и коэффициент устойчивости по (5.11) и (6.49) при \(\alpha_{ult,k} = N_{Rk}/N_{Ed}\), \(\alpha_{cr} = N_{cr}/N_{Ed}\):

\[ \bar\lambda = \sqrt{\frac{\alpha_{ult,k}}{\alpha_{cr}}} = \sqrt{\frac{N_{Rk}}{N_{cr}}} = 0{,}6693, \qquad \Phi = 0{,}5\left[1 + \alpha(\bar\lambda - 0{,}2) + \bar\lambda^2\right] = 0{,}8389, \qquad \chi = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar\lambda^2}} = 0{,}7436. \]

Погибь по (5.10) при \(\gamma_{M1} = 1\):

\[ e_0 = \alpha\,(\bar\lambda - 0{,}2)\,\frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} = 0{,}49\cdot 0{,}4693\cdot\frac{385{,}262}{4118{,}0} = 21{,}512\ \text{мм}. \]

Амплитуда формы по (5.9):

\[ \eta_{init} = e_0\,\frac{N_{cr}}{EI\,\lvert\eta''_{cr}\rvert}. \]

Форма шарнирной колонны \(\eta(z) = \sin(\pi z/L)\), нормированная на 1, в середине имеет \(EI\,\lvert\eta''\rvert = EI\pi^2/L^2 = N_{cr}\), поэтому \(\eta_{init} = e_0\).

Полусинус — собственная форма задачи, поэтому при \(N = \chi N_{Rk} = 3062{,}2\) кН расчёт второго порядка даёт

\[ y_{mid} = \frac{e_0}{1 - N/N_{cr}} = 32{,}256\ \text{мм}, \qquad M_{mid} = N\,y_{mid} = 98{,}776\ \text{кН·м}, \qquad \frac{N}{N_{Rk}} + \frac{M_{mid}}{M_{Rk}} = 0{,}7436 + 0{,}2564 = 1{,}0000 . \]

Это и есть смысл (5.10): погибь \(e_0\) подобрана так, чтобы при силе \(\chi N_{Rk}\) упругое сечение было исчерпано.

Решение в OpenCS

1. Схема: колонна из 4 КЭ с сечением «квадратная труба 300×10» (сталь с R_yn = 355 МПа), шарнирные опоры по концам, промежуточные узлы закреплены по Y; загружение «P» — сила 1000 кН вниз на верхе.
2. Постановка Расчётные длины — CSfea с этим загружением; выполнить расчёт устойчивости. Моменты формы и продольные силы задачи записываются в результат постановки.
3. Загружение типа «Несовершенство»; в контекстном меню — Формы потери устойчивости…: Постановка — из п. 2, Задача — «P»; в списке Формы и амплитуды — форма 1 с флажком по (5.9). Амплитуда по (5.9): γ_M1 — 1, Кривая — c, Крит. КЭ — пусто (автоматически). Кнопка Амплитуды показывает ход вычисления: α_ult,k, α_cr, λ̄, Φ, χ, e₀, критическое сечение, η_init.
4. Загружение «P» с силой \(N = \chi N_{Rk} = 3062{,}2\) кН и комбинация «P + формы» с коэффициентами 1 и 1.
5. Постановка Нелинейный секущий — CSfea: Физическая нелинейность снята, Геометрическая нелинейность включена; стадия — комбинация из п. 4.
6. Результат: вкладка «Несовершенства» (таблица Формы потери устойчивости: λ, амплитуда, источник с ходом (5.9)), прогиб и момент середины.

Амплитуда формы 1 по (5.9) — кнопка «Амплитуды» диалога.

Вкладка «Несовершенства»: форма 1, амплитуда 21,51 мм.

Тест выполняет ту же цепочку без базы данных: расчёт устойчивости CSfea, резолвер несовершенств CScore с сечением трубы и расчёт второго порядка.

Результаты

Моменты формы

Расчёт устойчивости записывает изгибающие моменты формы — момент продольно-поперечного изгиба подэлементов дробления \((K_e + \lambda K_\sigma)\,d\). Для формы, нормированной на 1:

Точка	Эталон \(EI\pi^2/L^2\cdot\sin(\pi z/L)\), кН·м	OpenCS, кН·м	Отклонение
Середина, z = 3 м	9193,6	9193,9	+0,003 %
Четверть, z = 1,5 м	6500,8	6501,0	+0,003 %
Шарнир, z = 0	0	2·10⁻¹⁵ доли момента середины	—

Продольная сила задачи у всех стержней равна заданной (−1 Н при единичной силе) — по ней считается \(\alpha_{ult,k}\).

Амплитуда по (5.9)

Величина	Эталон	OpenCS
\(\bar\lambda\)	0,6693	0,669
χ (кривая c)	0,7436	0,744
\(e_0\) по (5.10), мм	21,512	21,51
\(\eta_{init}\) по (5.9), мм	\(= e_0\) = 21,512	21,512 (−0,002 %)

Второй порядок при N = χ·N_Rk

Несовершенство — форма 1 с амплитудой \(\eta_{init}\); упругий расчёт второго порядка, 4 КЭ.

Величина	Эталон	OpenCS	Отклонение
Полный прогиб середины \(\eta_{init} + u_x\), мм	32,256	32,253	−0,01 %
Наибольший момент по усилиям КЭ, кН·м	98,776	100,336	+1,6 %
\(N/N_{Rk} + M/M_{el,Rk}\)	1,0000	1,0041	+0,4 %

Прогиб совпадает с эталоном. Момент по усилиям КЭ выше на 1,6 %: при геометрической нелинейности концевые усилия КЭ выдаются по \(K\,d\) без слагаемого \(K_\sigma d\). При 4 КЭ на полуволну это заметнее, чем при 8 КЭ в TEST-IMP-02 (+0,3…+0,9 %); отклонение убывает примерно как \(1/n^2\). На \(\eta_{init}\) и прогиб оно не влияет.

Ступенчатая продольная сила

Та же колонна с силами 500 кН на верхе и 500 кН в середине высоты: нижняя половина сжата силой 1000 кН, верхняя — 500 кН. Критическое сечение должно оказаться в нижней, сильнее сжатой части. Эталон — формулы (5.11), (6.49) при \(\alpha_{cr}\) из расчёта устойчивости.

Величина	Эталон	OpenCS
\(N_{Ed}\) нижних / верхних КЭ, кН	−1000 / −500	−1000 / −500
\(\alpha_{ult,k} = \min N_{Rk}/\lvert N_{Ed}\rvert\)	4118/1000 = 4,118	4,118
\(\alpha_{cr}\) (λ формы 1)	—	12,177
\(\bar\lambda = \sqrt{\alpha_{ult,k}/\alpha_{cr}}\)	0,5815	0,582
Φ	0,7626	0,763
χ	0,7963	0,796
Критическое сечение	нижняя половина (КЭ 100 или 101)	КЭ 101

Допуски теста

Проверка	Допуск
Моменты формы в середине и четверти против \(EI\pi^2/L^2\cdot\sin\)	1 %
Момент формы у шарнира, доля момента середины	0,01
\(\eta_{init}\) против \(e_0\) (5.10)	1 %
\(N/N_{Rk} + M/M_{el,Rk}\) при \(N = \chi N_{Rk}\)	2 %
Ступенчатая N: критическое сечение в нижней половине	точно
χ (6.49), \(e_0\) (5.10), исчерпание сечения по (5.10) для кривых a–d при \(\bar\lambda\) = 0,5…2,0 (En1993ModeAmplitudeTests)	10⁻⁹

Диагностика

• «Постановка не посчитана — выполните расчёт устойчивости»: у постановки нет записанных форм.
• «Формы устарели»: геометрия схемы изменилась после расчёта устойчивости или постановка посчитана до поддержки (5.9) — пересчитайте постановку.
• Если амплитуда заметно больше ожидаемой, проверьте критическое сечение в ходе вычисления: при малом моменте формы в критической точке выводится предупреждение.
• При \(\bar\lambda \le 0{,}2\) амплитуда по (5.9) равна нулю (предупреждение).
• У сечений с \(I_x = I_y\) без раскрепления форма может лечь в произвольной плоскости: сравнивайте модуль прогиба или раскрепите схему, как в постановке.