Консоль с начальным креном

ID: TEST-IMP-01
Статус: сверка выполнена
Версия OpenCS: master e2f57082
Эталон: замкнутое решение продольно-поперечного изгиба консоли с наклонной осью
Сравниваются: OpenCS — секущий расчёт CSfea второго порядка, физически линейный,
              загружение-несовершенство «крен» по EN 1993-1-1 (5.5)
Результат: смещение верха и момент заделки (по реакции) совпадают с точным решением
           до 0,001 % при P/P_cr = 0,25; 0,5; 0,75
Тест: CSfea.Tests/ImperfectionArticleExamplesTests.cs
      (эквивалентность силам рис. 5.3 — CSfea.Tests/ImperfectionSecondOrderTests.cs)

Задача проверяет крен — глобальное начальное несовершенство по EN 1993-1-1 п. 5.3.2(3)a. Крен не меняет геометрию схемы: в расчёт второго порядка он входит правой частью \(-K_\sigma(N)\,u_0\) (см. механизм). Результат должен совпасть с решением для стойки, ось которой изначально наклонена на угол φ.

Постановка

Величина	Значение
Стойка	вертикальная консоль, высота `H = 4 м`; внизу заделка, верх свободен
Сечение	квадратная труба 200×200×8 мм, углы острые: `A = 61,44 см²`, `I = 3781,4 см⁴`
Материал	упругий, `E = 210 ГПа`; `EI = 7941,0 кН·м²`
Сетка	8 стержневых КЭ по высоте
Нагрузка	вертикальная сила `P` на верхе, вниз; `P = α·P_cr`, `α = 0,25; 0,5; 0,75`
Несовершенство	крен по X, φ по EN 1993-1-1 (5.5)
Расчёт	секущий CSfea, физическая нелинейность снята, геометрическая нелинейность включена

Крен по (5.5):

\[ \varphi = \varphi_0\,\alpha_h\,\alpha_m = \frac{1}{200}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{200}, \qquad \alpha_h = \frac{2}{\sqrt{h}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = 1, \qquad \alpha_m = \sqrt{0{,}5\left(1 + \frac{1}{m}\right)} = 1 \;(m = 1). \]

В начальном положении верх смещён на \(\varphi H = 20\) мм. Критическая сила консоли:

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{4H^2} = 1224{,}6\ \text{кН}. \]

Эталон

Пусть \(w(z)\) — полное отклонение оси от вертикали (крен плюс изгиб), \(\delta = w(H)\). Изгибающий момент вызывает только изгиб сверх начального наклона, поэтому

\[ EI\,w'' = P\,(\delta - w), \qquad w(0) = 0, \qquad w'(0) = \varphi . \]

Решение при \(k = \sqrt{P/EI}\):

\[ w(z) = \delta\,(1 - \cos kz) + \frac{\varphi}{k}\,\sin kz, \qquad \delta = \frac{\varphi\,\tan kH}{k}, \qquad M_{base} = P\,\delta . \]

Для сравнения приводятся приближение через множитель \(1/(1 - P/P_{cr})\) (EN 1993-1-1 п. 5.2.2(5)B) \(\delta \approx \varphi H/(1-\alpha)\) и момент первого порядка \(\varphi P H\).

Решение в OpenCS

Схема: узлы (0; 0; 0) и (0; 0; 4), КонЭ-стойка с сечением «квадратная труба 200×8» (упругая сталь E = 210 ГПа), 8 КЭ; в нижнем узле — заделка.
Загружение «P»: узловая сила −P по Z в верхнем узле.
Загружение типа «Несовершенство»; в контекстном меню загружения — Добавить крен…: Норма — «EN 1993-1-1 (сталь)», Относительно — «Вся схема», Направление, ° от +X — 0, φ по EN 1993-1-1 (5.5), h, м — 4 (или пусто — размах z охвата), m — 1. Кнопка по (5.5) показывает ход вычисления φ = 1/200.
Комбинация «P + крен» с коэффициентами 1 и 1.
Постановка Нелинейный секущий — CSfea: Физическая нелинейность снята, Геометрическая нелинейность включена; стадия — комбинация из п. 4, шаг λ 0,2.
Результат: перемещение верха по X, реакция My заделки, вкладка «Несовершенства» (φ и его источник), кнопка «Показать несовершенство» в 3D-виде (наклон \(u_0 = \varphi z\)).

3D-вид консоли с кнопкой «Показать несовершенство»: поле u₀ = φ·z, мозаика ux от 0 до 20 мм у верха

Начальный крен консоли: u₀ = φ·z, 20 мм у верха.

3D-вид результата консоли при P = 0,5·P_cr: мозаика ux, под видом «ux, мм: min 0 (узел 1) · max 16.337 (узел 2)»

Результат: перемещение верха u_x = 16,337 мм; с креном δ = 20 + 16,337 = 36,337 мм.

Вкладка «Несовершенства» результата консоли: max|u₀| = 20 мм; крен X — φ = 1/200, h = 4 м, α_h = 1, m = 1, α_m = 1, источник: (5.5), h вручную, φ = 1/200 · 1 · 1 = 1/200

Вкладка «Несовершенства»: крен φ = 1/200 по (5.5).

Перемещение узла в результате отсчитывается от прямой оси схемы, поэтому полное смещение верха — \(\delta = \varphi H + u_x\).

Тест выполняет тот же расчёт без базы данных: модель схемы с элементом крена передаётся в секущий расчёт CSfea с теми же параметрами.

Результаты

Смещение верха

P/P_cr	P, кН	Точно \(\varphi\tan(kH)/k\), мм	OpenCS \(\varphi H + u_x\), мм	Отклонение	\(\varphi H/(1-\alpha)\), мм	Отклонение приближения
0,25	306,2	25,465	25,465	< 0,001 %	26,667	+4,7 %
0,50	612,3	36,337	36,337	< 0,001 %	40,000	+10,1 %
0,75	918,5	68,827	68,827	< 0,001 %	80,000	+16,2 %

Для консоли приближение \(1/(1-\alpha)\) идёт в запас и завышает смещение тем сильнее, чем ближе сила к критической.

Момент заделки

P/P_cr	Точно \(P\delta\), кН·м	OpenCS: реакция `My`, кН·м	OpenCS: момент конца КЭ у заделки, кН·м	Первый порядок \(\varphi P H\), кН·м
0,25	7,796	7,796	7,802 (+0,08 %)	6,123
0,50	22,249	22,249	22,284 (+0,16 %)	12,246
0,75	63,214	63,214	63,364 (+0,24 %)	18,369

Реакция заделки совпадает с точным решением до 0,001 %. Концевой момент нижнего КЭ немного больше: усилия КЭ при геометрической нелинейности выдаются по \(K\,d\) в осях недеформированного КЭ, без слагаемого \(K_\sigma d\). Это свойство выдачи усилий КЭ, а не несовершенства; с измельчением сетки разница убывает. При \(P = 0{,}5\,P_{cr}\) момент заделки в 1,8 раза больше момента первого порядка.

Крен и эквивалентные силы

По EN 1993-1-1 рис. 5.3 крен можно заменить парой горизонтальных сил \(\varphi P\) на верхе и у основания. В ImperfectionSecondOrderTests консоль H = 6 м сечением 400×400 мм (E = 30 ГПа, 8 КЭ) при \(P = 0{,}3\,P_{cr}\) считается дважды: с креном φ = 1/200 и без несовершенства с парой сил φ·P.

Величина	Расчёт с парой сил φ·P	OpenCS с креном
Смещение верха \(u_x\), мм	10,532	10,532
Наибольшая разность моментов концов КЭ, доля \(\varphi P H\)	—	4·10⁻¹⁴
Наибольшая разность реакций, доля \(P\)	—	4·10⁻¹⁷
\(\lvert My \rvert\) заделки, кН·м	\(\varphi P H + P u_x\) = 53,338	53,338
\(\lvert\Sigma R_x\rvert\), доля \(\varphi P\)	0	3·10⁻¹³

Горизонтальной реакции у схемы с креном нет: крен — геометрия, а не нагрузка.

Допуски теста

Проверка	Допуск
Расчёт сошёлся при каждом α	—
Смещение верха против \(\varphi\tan(kH)/k\)	0,5 %
Реакция `My` заделки против \(P\delta\)	0,5 %
Крен ≡ пара сил φ·P: смещение верха	10⁻⁶ (отн.)
Крен ≡ пара сил φ·P: моменты концов КЭ, реакции	10⁻⁶ доли φ·P·H и P
\(\lvert\Sigma R_x\rvert / (\varphi P)\) у схемы с креном	10⁻⁹

Диагностика

Если смещение верха равно приближению \(\varphi H/(1-\alpha)\), а не точному решению, проверьте, что включена геометрическая нелинейность: без неё несовершенство не действует (сообщение в результате).
Если результат отличается на \(\varphi H\), сравнивается перемещение узла \(u_x\), а не полное смещение \(\varphi H + u_x\).
Если смещение направлено не туда, проверьте Направление, ° от +X и коэффициент загружения-несовершенства в комбинации (−1 разворачивает крен).