Шарнирный стержень с начальным выгибом

ID: TEST-IMP-02
Статус: сверка выполнена
Версия OpenCS: master e2f57082
Эталон: замкнутое решение продольно-поперечного изгиба шарнирного стержня
        с начальным выгибом-параболой (эквивалентная равномерная нагрузка рис. 5.4)
Сравниваются: OpenCS — секущий расчёт CSfea второго порядка, физически линейный,
              загружение-несовершенство «погибь» по EN 1993-1-1 табл. 5.1
Результат: прогиб середины совпадает с точным решением до 0,007 %,
           момент середины по усилиям КЭ выше точного на 0,3–0,9 % (8 КЭ)
Тест: CSfea.Tests/ImperfectionArticleExamplesTests.cs
      (эквивалентность силам рис. 5.4 — CSfea.Tests/ImperfectionSecondOrderTests.cs)

Задача проверяет погибь — местное начальное несовершенство по EN 1993-1-1 п. 5.3.2(3)b. Погибь задаётся параболой по длине элемента (рис. 5.4) и в расчёт второго порядка входит правой частью \(-K_\sigma(N)\,u_0\), без изменения геометрии схемы (см. механизм).

Постановка

Величина	Значение
Стержень	вертикальный, длина L = 6 м; низ — шарнирно-неподвижный, верх — шарнир, свободный по вертикали
Сечение	квадратная труба 200×200×8 мм, углы острые: A = 61,44 см², I = 3781,4 см⁴
Материал	упругий, E = 210 ГПа; EI = 7941,0 кН·м²
Сетка	8 стержневых КЭ по длине
Нагрузка	сжимающая сила P на верхнем узле; P = α·P_cr, α = 0,25; 0,5; 0,75
Несовершенство	погибь по X, парабола со стрелкой e₀
Расчёт	секущий CSfea, физическая нелинейность снята, геометрическая нелинейность включена

Стрелка по табл. 5.1: горячекатаная труба из стали S355 — кривая a по табл. 6.2, упругий расчёт — \(e_0/L = 1/300\):

\[ e_0 = \frac{L}{300} = 20\ \text{мм}, \qquad w_0(z) = \frac{4 e_0\,z\,(L - z)}{L^2}. \]

Критическая сила:

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2} = 2177{,}1\ \text{кН}. \]

Эталон

Параболический выгиб эквивалентен равномерной поперечной нагрузке \(q = 8 P e_0 / L^2\) (рис. 5.4). Решение продольно-поперечного изгиба шарнирного стержня под такой нагрузкой при \(k = \sqrt{P/EI}\) даёт полный прогиб середины (выгиб плюс изгиб) и момент:

\[ y_{mid} = \frac{8 e_0}{(kL)^2}\left(\sec\frac{kL}{2} - 1\right), \qquad M_{mid} = P\,y_{mid}. \]

Для сравнения приводятся приближение полуволной синуса \(y \approx e_0/(1-\alpha)\) и момент первого порядка \(P e_0\).

Решение в OpenCS

1. Схема: узлы (0; 0; 0) и (0; 0; 6), КонЭ с сечением «квадратная труба 200×8» (упругая сталь E = 210 ГПа), 8 КЭ. Опоры: в нижнем узле запрещены перемещения X, Y, Z и поворот вокруг оси стержня; в верхнем — перемещения X, Y и поворот вокруг оси стержня.
2. Загружение «P»: узловая сила −P по Z в верхнем узле.
3. Загружение типа «Несовершенство»; в контекстном меню загружения — Добавить погибь…: Норма — «EN 1993-1-1 (сталь)», КонЭ — стойка, Плоскость — та местная ось, которая направлена по глобальной X, Стрелка e₀ — «L/e₀ по табл. 5.1», Кривая — a (или «авто — по сечению (табл. 6.2)»), «упругий расчёт», Знак — «авто — по прогибу первого порядка» (у прямого стержня без поперечной нагрузки равнозначен «+»).
4. Учитывать — «всегда». Критерий п. 5.3.2(6) «по п. 5.3.2(6) (N_Ed > 0,25·N_cr, конец с моментом)» здесь не выполнен: оба конца шарнирные, моментов на концах нет, и в проектной схеме такая погибь не учитывалась бы. В примере она нужна как сверка механики.
5. Комбинация «P + погибь» с коэффициентами 1 и 1.
6. Постановка Нелинейный секущий — CSfea: Физическая нелинейность снята, Геометрическая нелинейность включена; стадия — комбинация из п. 5, шаг λ 0,2.
7. Результат: перемещение середины по X, моменты стержней, вкладка «Несовершенства» (таблица Погиби: L, кривая, источник e₀, e₀, N_Ed, N_cr, учтена, знак), кнопка «Показать несовершенство» в 3D-виде (парабола).

Вкладка «Несовершенства»: погибь e₀ = 20 мм, N_Ed = 0,5·N_cr.

Перемещение узла отсчитывается от прямой оси схемы, поэтому полный прогиб середины — \(y = e_0 + u_x\).

Тест выполняет тот же расчёт без базы данных: модель схемы с элементом погиби передаётся в секущий расчёт CSfea с теми же параметрами.

Результаты

Прогиб середины

P/P_cr	P, кН	Точно \(y_{mid}\), мм	OpenCS \(e_0 + u_x\), мм	Отклонение	\(e_0/(1-\alpha)\), мм	Отклонение приближения
0,25	544,3	26,860	26,860	< 0,001 %	26,667	−0,7 %
0,50	1088,5	40,599	40,598	−0,002 %	40,000	−1,5 %
0,75	1632,8	81,858	81,852	−0,007 %	80,000	−2,3 %

Для параболического выгиба приближение полуволной синуса занижает прогиб на 0,7–2,3 %: парабола содержит высшие гармоники, которые усиливаются слабее первой, но её первая гармоника на 3 % больше \(e_0\) (\(32/\pi^3 \approx 1{,}032\)).

Момент середины

P/P_cr	Точно \(P\,y_{mid}\), кН·м	OpenCS: момент конца КЭ в середине, кН·м	Отклонение	Первый порядок \(P e_0\), кН·м
0,25	14,619	14,665	+0,32 %	10,885
0,50	44,193	44,472	+0,63 %	21,771
0,75	133,658	134,914	+0,94 %	32,656

Момент по усилиям КЭ немного больше точного: при геометрической нелинейности концевые усилия КЭ выдаются по \(K\,d\) в осях недеформированного КЭ, без слагаемого \(K_\sigma d\). Тот же момент получается в расчёте без несовершенства с эквивалентными силами рис. 5.4 (см. ниже), то есть отклонение относится к выдаче усилий КЭ, а не к погиби. С измельчением сетки оно убывает примерно как \(1/n^2\).

Погибь и эквивалентные силы

По EN 1993-1-1 рис. 5.4 погибь можно заменить погонной нагрузкой \(8 N e_0 / L^2\) и концевыми силами \(4 N e_0 / L\). В ImperfectionSecondOrderTests шарнирная колонна L = 6 м сечением 400×400 мм (E = 30 ГПа) при \(P = 0{,}5\,P_{cr}\) и \(e_0 = L/250\) считается дважды: с погибью и без несовершенства с эквивалентными силами — на 1 и на 8 КЭ.

Величина	1 КЭ	8 КЭ
Наибольшая относительная разность перемещений	3·10⁻¹⁶	1·10⁻¹⁵
Наибольшая разность моментов концов КЭ, доля \(P e_0\)	3·10⁻¹⁶	3·10⁻¹⁴
Наибольшая разность реакций, доля \(P\)	2·10⁻¹⁸	6·10⁻¹⁶

Эталон в каждой строке — расчёт с эквивалентными силами, разность — с расчётом OpenCS с погибью.

Справочно: проверка сечения

Результат второго порядка с несовершенством проверяется по прочности сечения (EN 1993-1-1 п. 5.2.2(7)a). При S355: \(N_{pl,Rk} = A f_y = 2181\) кН, \(M_{el,Rk} = W_{el} f_y = 134{,}2\) кН·м.

P/P_cr	\(N/N_{pl,Rk}\)	\(M/M_{el,Rk}\)	Кисп \(= N/N_{pl,Rk} + M/M_{el,Rk}\)
0,50	0,50	0,33	0,83
0,75	0,749	1,005	1,75

При α = 0,75 сечение перегружено. Это согласуется с проверкой устойчивости: при \(\bar\lambda \approx 1{,}0\) и кривой a \(\chi = 0{,}665\), несущая способность \(\chi N_{pl,Rk} \approx 1450\) кН ≈ 0,67·P_cr меньше 1633 кН. Строка α = 0,75 нужна только для сверки механики.

Допуски теста

Проверка	Допуск
Расчёт сошёлся при каждом α	—
Прогиб середины против \(y_{mid}\)	0,5 %
Момент середины против \(P\,y_{mid}\)	1 %
Погибь ≡ эквивалентные силы (1 и 8 КЭ): перемещения, моменты, реакции	10⁻⁶

Диагностика

• Если погибь не действует, откройте вкладку «Несовершенства»: столбцы Учтена и Почему показывают решение по п. 5.3.2(6). Для шарнирного стержня выберите Учитывать — «всегда».
• Если прогиб направлен в другую сторону, проверьте Плоскость (местная ось y или z) и Знак.
• Если прогиб близок к \(e_0/(1-\alpha)\), но не к точному решению, проверьте стрелку e₀ в таблице Погиби: при «авто» кривая определяется по сечению и стали КЭ.
• Отклонение момента порядка процента при 4–8 КЭ — свойство выдачи усилий КЭ; при сверке моментов используйте не меньше 8 КЭ на стержень.